प्रश्नावली-12E
1. यदि किसी वृत की त्रिज्या r हो, तो उस वृत का क्षेत्रफल निम्नलिखित में कौन सा होगा?
(i)πr² (ii)2πr² (iii)½πr² (iv)4πr²
उत्तर:– (i)
2. यदि किसी वृत का क्षेत्रफल A हो, तो त्रिज्या r के लिए निम्नांकित में कौन सा होगा?
(i)r=π/A (ii)r=√π/A
(iii)r=√A/π (iv)r=A/π
उत्तर:–
वृत का क्षेत्रफल=πr²
A=πr², A/π=r², r=√A/π
3. 4.2 मीटर त्रिज्या वाले एक वृत का क्षेत्रफल निम्नलिखित में से कौन सा होगा?
(i)5.544 (ii)554.4 (iii)55.44 (iv)0.5444
उत्तर:–
वृत का क्षेत्रफल=πr²
=22/7×(4.2)×(4.2)=22×0.6×4.2=55.44
4. दो संकेन्द्रीय वृतों के व्यास क्रमशः 8 सेमी और 10 सेमी है| उनके बीच के भाग का क्षेत्रफल निम्नलिखित में से कौन होगा?
(i)π(5²-4²) (ii)π(10²-8²) (iii)π(20²-16²)
(iv)π(10-8)
वलय का क्षेत्रफल=π(R²-r²)
π{(10/2)²-(8/2)²}=π(5²-4²)
5. एक साइकिल के पहिए का क्षेत्रफल 13 वर्ग मीटर है| पहिए की त्रिज्या निम्नलिखित में से कौन सी होगी?
(i)13/π (ii)13/2π (iii)√13/π (iv)13π
वृत का क्षेत्रफल=πr²
13=πr², 13/π=r², r=√13/π
6. उन वृतों के क्षेत्रफल निकालें जिनकी त्रिज्याएं निम्नलिखित हैं–
(i)7m (ii) 35/3m
(i)वृत का क्षेत्रफल=πr²
=22/7×7×7=22×7=154
(ii) वृत का क्षेत्रफल=πr²
=22/7×35/3×35/3=22×5×35/9
=110×35/9=3850/9=427.7m²
7. उन वृतों के क्षेत्रफल निकालिए जिनके व्यास निम्नांकित है?
(i)28 सेमी (ii)10.5 मी
(i)वृत का व्यास= 28
त्रिज्या=28/2=14
वृत का क्षेत्रफल=πr²=22/7×14×14=22×2×14=616
(ii) (i)वृत का व्यास= 10.5
त्रिज्या=10.5/2=105/20
वृत का क्षेत्रफल=πr²=22/7×105/20×105/20
=105×105×22/2800=1166550/2800
=86.625m²
8. एक वृत्ताकार टीन के टुकड़े का व्यास 21 सेमी है| जमीन पर चपटा रखने पर यह कितना क्षेत्र ढकेगा?
उत्तर:—
व्यास=21 सेमी, त्रिज्या=21/2 सेमी
वृत का क्षेत्रफल=πr²=22/7×21/2×21/2
=11×3×21/2=33×21/2=693/2=346.5
9. एक गाय 7 मीटर लंबी रस्सी द्वारा एक स्थिर खूंटे से बंधी है| बताइये वह अधिक से अधिक कितने क्षेत्रफल की घास चर जाएगी|
उत्तर:—
रस्सी की लंबाई= वृत की त्रिज्या=7 मी
क्षेत्रफल=πr²=22/7×7×7=22×7=154
10. उन वृतों की त्रिज्याएं ज्ञात कीजिए जिनके क्षेत्रफल निम्नलिखित हैं|
(i)3850 वर्ग मीटर(ii)15400 वर्ग सेमी
उत्तर:—
(i)वृत का क्षेत्रफल=πr²
3850=22/7×r²
3850×7=22×r², 175×7=r²,
r=√175×7=√5×5×7×7=5×7=35
(ii)वृत का क्षेत्रफल=πr²
15400=22/7×r²
15400×7/22=r², √700×7=r²
√10×10×7×7=r, r=10×7=70
11. एक वृत्ताकार मैदान का क्षेत्रफल 616 वर्ग मी है| मैदान के केन्द्र पर एक व्यक्ति खड़ी है| मैदान पर खड़े एक दूसरे व्यक्ति की अधिक से अधिक दूरी पहले व्यक्ति से क्या होगी?
उत्तर:—
वृत्ताकार मैदान का क्षेत्रफल=616
πr²=616
22/7×r2=616, r²=616×7/22=28×7
r=√28×7=2×7×2×7=2×7=14
12. उन वृतों के क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए जिनकी परिधियां निम्नांकित है—
(i)22 मी (ii)110 सेमी
उत्तर:–
(i)वृत की परिधि=2πr
22=2×22/7×r
22×7=2×22×r, r=22×7/2×22=7/2
क्षेत्रफल=πr²=22/7×7/2×7/2=11×7/2=77/2=38.5 m²
(ii)वृत की परिधि=2πr
110=2×22/7×r
110×7=2×22×r, r=110×7/2×22=35/2
क्षेत्रफल=πr²=22/7×35/2×35/2=22×35×35/7×2×2=26950/28=962.5
13. एक गोल पहिया एक पूरे चक्कर में 8.8 मीटर चलता है| पहिए का क्षेत्रफल ज्ञात करें|
उत्तर:–
वृत की परिधि=2πr
8.8=2×22/7×r
8.8×7=2×22×r, r=2.8/2=1.4
क्षेत्रफल=πr²=22/7×1.4×1.4
=22×0.2×1.4=4.4×1.4=6.16m²
14. उन वृतों की परिधियां कीजिए जिनके क्षेत्रफल निम्नांकित है|
(i)81466 वर्ग डेसी मीटर
(ii)616 वर्ग मीटर
उत्तर:–
(i)क्षेत्रफल=πr²
81466=22/7×r²
81566×7=22×r²
r²=81566×7/22=25921, r=√25921=161
वृत की परिधि=2πr=2×22/7×161=2×22×23=1012
(ii)क्षेत्रफल=πr²
616=22/7×r²
616×7=22×r², r²=616×7/22=28×7
r=√28×7=√2×2×7×7=2×7=14
वृत की परिधि=2πr=2×22/7×14=2×22×2=88
15. किसी वृत की परिधि उसके व्यास का 22/7 गुणा है तो वृत की परिधि निकालिए जबकि इसका क्षेत्रफल 1386 वर्ग मीटर है|
उत्तर:–
क्षेत्रफल=πr²
1386=22/7×r²
1386×7=22×r²
r²=1386×7/22=63×7
r=√63×7=√3×3×7×7=3×7=21
वृत का व्यास=2×21=42
वृत की परिधि=2πr=2×22/7×21=2×22×3=132m
15. (ii)किसी वृत का क्षेत्रफल एक अन्य वृत के क्षेत्रफल से 100 गुना है, उनकी परिधियों में क्या अनुपात है?
उत्तर:–
वृत का क्षेत्रफल=πr²
दूसरे वृत का क्षेत्रफल A
r²=A/π, r=√A/π
r²=100A/π, r=√100A/π=10√A/π
पहले वृत का क्षेत्रफल 2πr
=2π×√A/π
पहले वृत का परिधि 2πr²
2π×√A/π
अनुपात=2π×√A/π/2π×10√A/π
=1/10=1:10
16. एक आयताकार खेत की लंबाई और चौड़ाई क्रमशः 56 मीटर और 44 मीटर है| उसके समान क्षेत्रफल वाले वृत्ताकार खेत की त्रिज्या ज्ञात कीजिए-
उत्तर:–
आयताकार खेत का क्षेत्रफल= लंबाई× चौड़ाई
50×44=
वृत्ताकार खेत का क्षेत्रफल πr²
56×44=22/7×r²
56×44×7=22×r²
r²=56×44×7/22=56×2×7=7×7×2×2×2×2
r=√7×7×2×2×2×2=7×2×2=28
त्रिज्या 28
17. एक वृत की त्रिज्या 18 मी है| उसके क्षेत्रफल के पांचवे हिस्से के क्षेत्रफल वाले वृत की त्रिज्या होगी?
उत्तर:–
18 मी त्रिज्या वाले वृत का क्षेत्रफल πr²
22/7×(18)²
वृत का क्षेत्रफल 22/7×(18)²×1/5
πr²=22/7×18×18×1/5
r=√18×18/5, r=18/√5
18.(a) दो वृतों की त्रिज्या क्रम से 12 मीटर और 14 मीटर है, तो उस वृत की परिधि निकालिए जिसका क्षेत्रफल उन दोनों वृतों के क्षेत्रफल के योग
के बराबर है|
उत्तर:–
12 मीटर त्रिज्या वाले वृत का क्षेत्रफल πr²
=π×(12)²=144π
16 मीटर त्रिज्या वाले वृत का क्षेत्रफल πr²
=π×(16)²=256π
नये बड़ी वृत का क्षेत्रफल πR²
πR²=144π+256π
πR²=400π
R2=400, R=√400=20m
वृत की परिधि 2πr=2×22/7×20=880/7
(b) . दो वृतों की त्रिज्याएं क्रम से 6 मीटर और 8 मीटर है, तो उस वृत की त्रिज्या बताइये जिसका क्षेत्रफल दोनों वृतों के क्षेत्रफलों के योग के बराबर है|
उत्तर:—
6 मीटर त्रिज्या वाले वृत का क्षेत्रफल=πr²
π(6)²=36π
8 मीटर त्रिज्या वाले वृत का क्षेत्रफल πr²
π(8)²=64π
बड़े वृत की त्रिज्या R
बड़े वृत की क्षेत्रफल πR²
36π+64π=πR²
100π=πR², R2=100, R=√100=10
19.(a)एक वृत्ताकार मैदान की त्रिज्या 65 मीटर है, उसके साथ बाहर की ओर 7 मीटर चौड़ी सड़क है| सड़क का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए|
उत्तर:–
बाहरी वृत की त्रिज्या 65+7=72cm
बड़े वृत का क्षेत्रफल πr²
=22/7×72×72
छोटे वृत का क्षेत्रफल πr2
π×65×65=
सड़क का क्षेत्रफल π×72×72-π×65×65
=π(72×72-65×65)=π(72+65)(72-65)
=π×137×7=22/7×137×7=22×137=3014m²
(b)एक गोल मैदान के चारों ओर एक सड़क गयी है| उस सड़क की बाहरी परिधि ½ किमी और भीतरी परिधि 3/10 किमी है, तो सड़क का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए|
उत्तर:–
वृतों की बाहरी त्रिज्या R= तथा बाहरी भीतरी त्रिज्याr
बड़े वृत की त्रिज्या 2πR
½=2πR, R=2×½π=¼π
छोटे वृत की परिधि 2πr
3/10=2πr, r=3/20π
बड़े वृत का क्षेत्रफल πR²
π×¼π×¼π=1/16π
छोटे वृत का क्षेत्रफल πR²
π×3/20π×3/20π=9/400π
सड़क का क्षेत्रफल 1/16π – 9/400π
=25-9/400π=16/400π=16/400×22/7
=16×7/400×22=1000000×7/25×22
=140000/11
20. (a) एक वृत्ताकार छल्ले की बाहरी गोलाई की त्रिज्या 42 सेमी है| यदि छल्ले का क्षेत्रफल 1694 वर्ग सेमी हो, तो उसकी त्रिज्या ज्ञात कीजिए|
उत्तर:–
वृत्ताकार छल्ले की भीतरी त्रिज्या r
छल्ले का बाहरी क्षेत्रफल πR²=π(42)²
भीतरी क्षेत्रफल πr²
छल्ले का क्षेत्रफल π (42)² – πr²
1694=π(42² – r²)
1694=22/7(42²-r²)
1694×7/22=1764-r²
77×7=1764-r²
r²=1764-539=1225, r=√1225=35
(b)एक गोल छल्ले की बाहरी गोलाई की त्रिज्या 20 मीटर है| यदि छल्ले का क्षेत्रफल 3168/7 वर्ग मीटर हो, तो उसकी भीतरी त्रिज्या ज्ञात कीजिए|
उत्तर:–
बड़े वृत का क्षेत्रफल πR²=π×(20)²
छोटे वृत का क्षेत्रफल πr²
छल्ले का क्षेत्रफल π(20)² – πr²
3168/7=π(20² – r²)
3168/7=22/7(400-r²)
3168/22=400-r²
144=400-r², 400-144=r², 256=r²
r=√256=16m
(c)एक गोल छल्ले की भीतरी गोलाई की त्रिज्या 6 मीटर है| यदि छल्ले का क्षेत्रफल 88 वर्ग मीटर है, तो इसकी बाहरी त्रिज्या ज्ञात कीजिए|
उत्तर:–
बाहरी वृत का क्षेत्रफल=πR²
भीतरी वृत का त्रिज्या π(6)²
छल्ले का क्षेत्रफल πR² – πr²
88=π(R²-6²)
88=22/7(R²-36)
88×7/22=R²-36
28=R²-36, R²=28+36=64, R=√64=8
21. 88 सेमी परिमिति वाले वर्ग तथा 88 सेमी परिधि वाले वृत में किसका क्षेत्रफल अधिक है और कितना अधिक है?
उत्तर:–
वर्ग की परिमिति=4× भुजा
88=4× भुजा, भुजा=88/4=22
वर्ग का क्षेत्रफल= भुजा2=22²=484
वृत की परिधि 2πr
88=2×22/7×r
88×7=2×22r, r=88×7/2×22=7×2=14
वृत का क्षेत्रफल πr²
22/7×14×14=22×14×2=616
वृत का क्षेत्रफल अधिक है 616-484=132
22. एक आयताकार लोहे की चादर 110 मीटर लंबी और 5 मीटर चौड़ी है| उसमें से 28 वृत्ताकार ऐसे टुकड़े काटकर निकाले जाते हैं जिनका व्यास 7 मीटर है| चादर का कितना भाग बच जाएगा|
उत्तर:–
लोहे के आयताकार चादर का क्षेत्रफल=लंबाई×चौड़ाई
110×5=550
28 वृत्ताकार टुकड़े का क्षेत्रफल=28×π×(½)²
=28×22/7×1/2×1/2=28×22/28=22
बचे हुए चादर का क्षेत्रफल 550-22=528
23 उस वृत की परिधि निकालिए जिसका क्षेत्रफल उन दो वृतों के क्षेत्रफलों के योगफल के बराबर है जिनके व्यास क्रम से 84 मी और 56 मी है|
उत्तर:–
84 मीटर वाले वृत का क्षेत्रफल πR²
=π(84/2)²=π(42)²=1764π
56 मीटर व्यास वाले वृत का क्षेत्रफल πR²
=π(56/2)²=π(28)²=784π
बड़े वृत का क्षेत्रफल πR²
πR²=1784π+784π
πR²=2548π, R²=2548, R=√2548=√2×2×7×7×13=2×7√13=14×3.6=50.4
वृत की परिधि 2πr
=2×22/7×50.4=44×504/70=22176/70=316.8m
24. दिए गए की परिमिति ज्ञात कीजिए-
परिमिति=2×2 वृत्ताकार भाग का परिधि
=2×2πr=4πr=4×22/7×7=4×22=88
25. एक बगीचा अर्द्ध वृत के रूप का है जिसका सीधा भाग 28 मीटर लंबा है| इस बगीचे को घेरने में क्या खर्च होगा यदि खर्च 20 रू प्रति मीटर हो| फिर बगीचे का क्षेत्रफल भी बताइये|
उत्तर:–
बगीचे की परिमिति= अर्द्ध वृत की परिमिति +28
½×2π×28/2+28=½×2×22/7×14+28
22×2+28=44+28=72
बगीचे को घेरने में कुल खर्च 72×20=1440
अर्द्ध वृत्ताकार भाग का क्षेत्रफल ½πr2
½×22/7×14×14
=11×2×14=22×14=308m²
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