प्रश्नावली-5.1
1. निम्नलिखित संख्याओं का वर्ग ज्ञात करें
(i)42 (ii) 46 (iii) 58 (iv) 98
(v) 94 (vi) 45
उत्तर:—
(i)(42)2=42×42=1764
(ii) (46)2=46×46=2116
(iii) (58)2=58×58=3364
(iv) (98)2=98×98=9604
(v) (94)2=94×94=8836
(vi) (45)2=45×45=2025
2. निम्नलिखित का वर्ग निकाले
(i)25 (ii) 55 (iii) 95(iv) 105 (v)115
उत्तर:—
(i)(25)2=2×3×100+(5)2=600+25=625
(ii)(55)2=5×6×100+(5)2=3000+25=3025
(iii)(95)2=9×10×100+(5)2=9000+25=9025
(iv)(105)2=10×11×100+(5)2=11000+25=11025
(v)(115)2=11×12×100+(5)2=13200+25=13225
3. निम्नलिखित संख्याओं में से कौन सी संख्या पूर्ण वर्ग है? जांच कीजिए|
(i)256 (ii)360 (iii)324 (iv)400
उत्तर:—
(i)256=2×2×2×2×2×2×2×2
=2×2×2×2=16 yes
(ii) 360
2|360
2|180
2|90
5|45
3| 9
3
360= 2×2×2×5×3×3 not
(iii) 324
2|324
2|162
3|81
3|27
3|9
3
324=2×2×3×3×3×3
=2×3×3=18 yes
(iv) 400
2|400
2|200
2|100
2|50
5|25
5
400=2×2×2×2×5×5=2×2×5=20 Yes
4. निम्नलिखित संख्याओं में से कौन कौन पूर्ण वर्ग है?
13, 16, 17, 48, 49, 64, 72, 343, 373, 758
उत्तर:–
16=2×2×2×2=2×2=4
49=7×7=7
64=2×2×2×2×2×2=2×2×2=8
5.निम्नलिखित में से कौन सम संख्या के वर्ग है?
169,196,256,1296,6531
उत्तर:—
सम संख्या- 2 से विभाजित हो|
196=13×13=13
256=16×16=16
1296=36×36=36
6. निम्नलिखित संख्याओं में से कौन सी पूर्ण वर्ग है?
400,4000,330550,12345600000
उत्तर:— 400
7. कोस्ठक में सही संख्या लिखे:-
(i)(24)2-(23)2=…….
(ii)(102)2-(101)2=……
(iii)(501)2-(500)2=…..
(iv)(400)2-(399)2=…..
उत्तर:—
(i)(24)2-(23)2=(24+23)(24-23)
=47×1=47
(ii)(102)2-(101)2=(102+101)(102-101)
=203×1=203
(iii)(501)2-(500)2=(501+500)(501-500)
=1001×1=1001
(iv)(400)2-(399)2=(400+399)(400-399)
=799×1=799
8.निम्नलिखित में कौन सा त्रिक पाइथागोरस त्रिक है?
(1, 2,3) , (3, 4,5), (6, 8,10), (1, 1,1), (2, 2,3), (15, 36,39)
उत्तर:—
(3, 4,5)—>(3)2+(4)2=9+16=25=(5)2
(6, 8,10)–>(6)2+(8)2=36+65=100=(10)2
(15, 36,39)–>(15)2+(36)=225+1296=(39)2
9. निम्नलिखित प्रतिरूप का प्रेक्षण करके छुटी हुई संख्याओं को ज्ञात करें:
(1)2+(2)2+(2)2=(3)2
(2)2+(3)2+(6)2=(7)2
(3)2+(4)2+(12)2=(13)2
(4)2+(5)2+(20)2=(21)2
(5)2+(6)2+(7)2=(31)2
(6)2+(7)2+(8)2=(43)2
10. विषम संख्याओं के क्रमिक घटाव की क्रिया द्वारा निम्नलिखित संख्याओं की जांच करें कि कौन सी संख्या पूर्ण वर्ग संख्या है?
(i)81 (ii)121 (iii)144 (iv)36
उत्तर:—
(i)81
81-1=80,
80-3=77,
77-5=72,
72-7=65,
65-9=56,
56-11=45,
45-13=32,
32-15=17,
17-17=0
81 एक पूर्ण वर्ग संख्या है|
(ii)121
121-1=120,
120-3=117,
117-5=112,
112-7=105,
105-9=96,
96-11=85,
85-13=72,
72-15=57,
57-17=40,
40-19=21,
21-21=0,
121 एक पूर्ण वर्ग संख्या है|
(iii)144
144-1=143,
143-3=140,
140-5=135,
135-7=128,
128-9=119,
119-11=108,
108-13=95,
95-15=80,
80-17=63,
63-19=44,
44-21=23,
23-23=0,
144 एक पूर्ण वर्ग संख्या है|
(iv)36
36-1=35,
35-3=32
32-5=27
27-7=20
20-9=11
11-11=0
36 एक पूर्ण वर्ग संख्या है|
11. निम्नलिखित संख्याओं में से किन किन संख्या का वर्ग विषम संख्या होगी?
(i)531 (ii)5436 (iii)3249 (iv)82004
उत्तर:—
जिन संख्याओं का इकाई अंक विषम होता है, उनका वर्ग भी विषम होगा| अत: संख्या 531 और 3249 का वर्ग विषम होगा|
12.योग संक्रिया किये बिना योगफल ज्ञात कीजिए
(i)1+3+5+7+9+11
(ii)1+3+5+……. +51
(iii)1+3+5+7+….. +101
(iv)7+9+11+13+….. 21
उत्तर:—
(i)1+3+5+7+9+11
n=6
n2=(6)2=6×6=36
(ii)1+3+5+……. +51
n= n+1 = 51+1 =26
2 2
n2=(26)2=26×26=676
(iii)1+3+5+7+….. +101
n= n+1 = 101+1 =51
2 2
n2=(51)2=51×51=2601
(iv)7+9+11+13+….. 21
1+3+5+7+9+11+13+….21 – (1+3+5)
1+3+5+7+9+11+13+….21
n= n+1 = 21+1 =11
2 2
n2=(11)2=11×11=121
अभीष्ट योग=121-(1+3+5)=121-9=112
13. निम्नलिखित संख्याओं के वर्गों के इकाई के अंक क्या होंगे?
(i)25 (ii)64 (iii)272 (iv)799 (v)5423
(vi)2477 (vii)5438 (viii)99880 (ix)43546
उत्तर:—-
संख्या इकाई अंक
25 5
64 6
272 4
799 1
5423 9
2477 9
5438 4
99880 0
43546 6
14. निम्नलिखित संख्याएँ स्पष्ट रूप से पूर्ण वर्ग संख्याएँ नहीं है, इसका कारण दीजिए|
(i)1052 (ii)2347 (iii) 54328
(iv)325427 (v) 25000 (vi) 753522
उत्तर:—
संख्याओं के इकाई अंक 2,3,7 या 8 होने पर तथा संख्या के अंत में शून्यों की संख्या विषम होने पर संख्याएँ पूर्ण वर्ग नहीं होती है| अत: प्रश्न में दी गई संख्याएँ पूर्ण वर्ग नहीं है|
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