प्रश्नावली- 8.4
1. निम्नलिखित अनुपातों sinA, secA और tanA को cotA के पदों में व्यक्त कीजिए|
Answer:—
cotA=x
आधार = x
लंब 1
आधार=x
लंब=1
कर्ण=√x2+1
sinA= लंब = 1 = 1
कर्ण √x2+1 √cot2A+1
secA= कर्ण = √x2+1 = √cot2+1
आधार x cotA
tanA= लंब = 1 = 1
आधार x cotA
2. <A के अन्य सभी त्रिकोणमितीय अनुपातों को secA के पदों में लिखिए|
Answer:–
secA=x
कर्ण =x
आधार
कर्ण=x
आधार=1
लंब=√x2-1
sinA= लंब = √x2-1 = √sec2A-1
कर्ण x secA
cosA= आधार = 1 = 1
कर्ण x secA
tanA= लंब = √x2-1 = √sec2A-1
आधार 1 1
cotA= आधार = 1 = 1
लंब √x2-1 √sec2A-1
cosecA= कर्ण = x = secA
लंब √x2-1 √sec2A-1
3. मान निकालिए:
(i) sin2 63°+sin2 27°
cos2 17°+cos2 73°
Answer:—-
sin2 63°+sin2 27°
cos2 17°+cos2 73°
= sin2(90-27)+sin2 27
cos2(90-73)+cos2 73
= cos2 27+sin2 27 = 1 =1
sin2 73+ cos2 73 1
(ii) sin25cos65+cos25sin65
Answer:—
sin25cos(90-25)+cos25sin(90-25)
sin25sin25+cos25cos25
sin2 25° + cos2 25°=1
4. सही विकल्प चुनिए और अपने विकल्प की पुष्टि कीजिए:
(i)9sec2A-9tan2A बराबर है:
(A)1 (B)9 (C)8 0
Answer:—
9sec2A-9tan2A
9(1+tan2A) -tan2A
9+9tan2A-tan2A=9
(ii) (1+tanA+secA)(1+cotA-cosecA) बराबर है:
(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) -1
Answer:::::—
(1+tanA+secA)(1+cotA-cosecA)
(1+ sinA + 1 )(1+ cosA – 1 )
cosA cosA sinA sinA
( cosA+sinA+1 )( sinA+cosA-1)
cosA sinA
{(cosA+sinA) +1) (sinA+cosA) -1}
cosAsinA
(cosA+sinA)2-(1)2
cosAsinA
cos2A+2sinAcosA+sin2A-1
sinAcosA
2sinAcosA =2
sinAcosA
(iii) (secA+tanA)(1-sinA) बराबर है:
(i)secA (ii)sinA(iii) cosecA(iv) cosA
Answer:—
(secA+tanA)(1-sinA)
( 1 + sinA ) (1-sinA)
cosA cosA
( 1+sinA) (1-sinA)
cosA
(1) 2-(sin2A) = cos2A =cosA
cosA cosA
(iv) 1+tan2A बराबर है:
1+cot2A
Answer:—
1+tan2A = sec2A = 1/cos2A =tan2A
1+cot2A cosec2A 1/sin2A
5. निम्नलिखित सर्वसमिकाएँ सिद्ध कीजिए, जहाँ वे कोण, जिनके लिए व्यंजक परिभाषित है, न्यून कोण है:
(i) (cosecA-cotA)= 1-cosA
1+cosA
Answer:—
LHS=(cosecA-cotA)2
=( 1 – cosA )2= (1-cosA)2
sinA sinA (sinA)
= (1-cosA)2 = (1-cosA)2
sin2A 1-cos2A
= (1-cosA)2 = 1-cosA =RHS
(1+cosA)(1-cosA) 1+cosA
(ii) cosA + 1+sinA =2secA
1+sinA cosA
Answer:—
LHS=
cosA + 1+sinA
1+sinA cosA
cos2A+(1+sinA)2
(1+sinA)cosA
cos2A+1+2sinAcosA+sin2A
(1+sinA)cosA
2(1+sinA) = 2 =2secA=RH
(1+sinA)cosA cosA
(iii) tanA + cotA =1+secAcosecA
1-cotA 1-tanA
Answer:—-
LHS=
tanA + cotA
1-cotA 1-tanA
sinA cosA
cosA + sinA
1- cosA 1- sinA
sinA cosA
sinA cosA
cosA + sinA
sinA-cosA cosA-sinA
sinA cosA
sin2A + cos2A
cosA (sinA-cosA) sinA(cosA-sinA)
sin3A-cos3A
cosAsinA(sinA-cosA)
(sinA-cosA)(sin2A+cos2A+sinAcosA)
cosAsinA(sinA-cosA)
(1+sinAcosA)
cosAsinA
1 sinAcosA
cosAsinA cosAsinA
=1+cosecAsecA=rhs
(iv) 1+secA = sin2A
secA 1-cosA
LHS= 1+secA = 1+ 1
secA cosA
1
cosA
cosA+1 × cosA =1+cosA
cosA 1
RHS= sin2A = 1-cos2A
1-cosA 1-cosA
(1+cosA)(1-cosA) =1+cosA
1-cosA
LHS=RHS
(v) सर्वसमिका cosec2A=1+cot2A को लागू करके
cosA-sinA+1 =cosecA+cotA
cosA+sinA-1
Answer:—-
cosA-sinA+1
cosA+sinA-1
sinA से भाग देने पर,
cotA-1+cosecA
cotA+1-cosecA
cotA+cosecA-(cosec2A-cot2A)
cotA-cosecA+1
cotA+cosecA-(cosecA+cotA)(cosecA-cotA)
cotA-cosecA+1
cotA+cosecA (1-cosecA+cotA)
cotA-cosecA+1
=cosecA+cotA RHS
(vi) √ 1+sinA =secA+tanA
√ 1-sinA
Answer:—
LHS=
√ 1+sinA × 1+sinA =√(1+sinA)2
√ 1-sinA 1+sinA 1-sin2A
= √(1+sinA)2 = 1+sinA = 1 + sinA
cos2A cosA cosA cosA
=secA+tanA=rhs
(vii) sinA-2sin3A =tanA
2cos3A-cosA
LHS=
sinA-2sin3A = sinA(1-2sin2A)
2cos3A-cosA cosA(2cos2A-1)
sinA(sin2A+cos2A-2sin2A)
cosA (2cos2A-sin2A-cos2A)
sinA (cos2A-sin2A) =tanA
cosA(cos2A-sin2A)
(viii) (sinA+cosecA)2+(cosA+secA)2=7+tan2A+cot2A
Answer:—
(sinA+cosecA)2+(cosA+secA)2
=sin2A+cosec2A+2sinAcosecA+cos2A+sec2A+2cosAsecA
=sin2A+1+cot2A+2+cos2A+1+tan2A+2
=7+tan2A+cot2A
(ix) (cosecA-sinA)(secA-cosA)
= 1
tanA+cotA
LHS=(cosecA-sinA)(secA-cosA)
=( 1 -sinA) ( 1 -cosA)
sinA cosA
= 1-sin2A × 1-cos2A
sinA cosA
= cos2A × sin2A
sinA cosA
=sinAcosA
RHS= 1 = 1
tanA+cotA sinA + cosA
cosA sinA
1 = 1
sin2A+cos2A 1
cosAsinA cosAsinA
=sinAcosA
(x) ( 1+tan2A )( 1-tanA)2=tan2A
1+cot2A (1-cotA)
Answer:—
LHS=
( 1+tan2A ) = sec2A = 1/cos2A
1+cot2A cosec2A 1/sin2A
=sin2A/cos2A=tan2A
RHS=
(1-tanA)2=(1-tanA)2=( 1-tanA)2×tan2A
(1-cotA) (1- 1 ) (tanA-1)
tanA
(1-tanA)2 ×(-tanA)2=tan2A
(1-tanA)
0 टिप्पणियाँ