प्रश्नावली-7.1
1. बिंदुओं के निम्नलिखित युग्मों के बीच की दूरियाँ ज्ञात कीजिए:
(i)(2, 3), (4, 1)
Answer:—-
(2, 3), (4, 1)
x1=2 y1=3
x2=4 y2=1
दूरियाँ=√(x2-x1)2+(y2-y1)2
=√(4-2)2+(1-3)2
=√(2)2+(-2)2
=√4+4=√8=2√2
(ii) (-5, 7), (-1, 3)
Answer:—
(-5, 7), (-1, 3)
x1=-5 y1=7
x2=-1 y2=3
दूरियाँ=√(x2-x1)2+(y2-y1)2
=√(-1+5)2+(3-7)2
=√(4)2+(-4)2
=√16+16=√32=4√2
(iii) (a, b), (-a, -b)
Answer:—-
(a, b), (-a, -b)
दूरियाँ=√(x2-x1)2+(y2-y1)2
=√(-a-a)2+(-b-b)2
=√(-2a)2+(-2b)2
=√4a2+4b2
=√4(a2+b2)=2√a2+b2
2. बिंदुओं (0, 0) और (36, 15) के बीच की दूरी ज्ञात कीजिए| क्या अब अनुच्छेद 7.2 में दिए गए दोनों शहर A और B के बीच की दूरी ज्ञात कर सकते हैं?
Answer:—-
(0, 0), (36, 15)
x1=0 y1=0
x2=36 y2=15
दूरियाँ=√(x2-x1)2+(y2-y1)2
=√(36-0)2+(15-0)2
=√1296+225=√1521=39
3. निर्धारित कीजिए कि क्या बिंदु (1,5),(2,3) और (-2,-11) संरेखी हैं|
Answer:—-
A(1,5) B(2,3) C(-2, -11)
A(1,5) B(2,3)
AB=√(x2-x1)2+(y2-y1)2
=√(2-1)2+(3-5)2
=√(1)2+(-2)2=√1+4=√5
B(2,3) C(-2, -11)
BC=√(-2-2)2+(-11-3)2
=√(-4)2+(-14)2
=√16+196=√212=2√53
C(-2, -11) A(1,5)
CA=√(1-(-2)2+(5-(-11)2
=√(1+2)2+(5+11)2=√9+256=√265
AB+BC IS NOT EQUAL TO AC
NOT
4. जांच कीजिए कि क्या बिंदु (5,-2), (6,4) और (7, -2) समद्विबाहु त्रिभुज के शीर्ष है|
Answer:—
A(5,-2) B(6,4) C(7, -2)
A(5,-2) B(6,4)
AB=√(x2-x1)2+(y2-y1)2
=√(6-5)2+(4-(-2)2
=√(1)2+(6)2=√37
B(6,4) C(7, -2)
BC=√(7-6)2+(-2-4)2
=√(1)2+(-6)2=√1+36=√37
AB=BC; समद्विबाहु त्रिभुज के शीर्ष है|
5. किसी कक्षा में, चार मित्र बिंदुओं A, B, C, D पर बैठे हुए हैं, जैसा कि पाठ्यपुस्तक के पृष्ठ 177 पर आकृति 7.8 में दर्शाया गया है| चंपा और चमेली कक्षा के अंदर आती है और कुछ मिनट तक देखने के बाद, चंपा से पूछती है, ‘क्या तुम नहीं सोचती हो कि ABCD एक वर्ग है? ‘ चमेली इससे सहमत नहीं है| दूरी सूत्र का उपयोग करके, बताइये कि इनमें कौन सही है?
Answer:—-
A(3,4) B(6,7) C(9,7) D(6, 1)
AB=√(6-3)2+(7-4)2=√(3)2+(3)2
=√9+9=√18=3√2
BC=√(9-6)2+(4-7)2=√(3)2+(-3)2
=√9+9=√18=3√2
CD=√(6-9)2+(1-4)2=√(-3)2+(-3)2
=√9+9=√18=3√2
DA=√(3-6)2+(4-1)2=√(-3)2+(3)2
=√9+9=√18=3√2
AC=√(9-3)2+(4-4)2=√(6)2+(0)2
=√36=6
BD=√(6-6)2+(1-7)2=√(0)2+(-6)2
=√36=6
AB=BC=CD=DA & AC=BD
अत: चंपा सही कह रही है|
6. निम्नलिखित बिंदुओं द्वारा बनने वाले चतुर्भुज का प्रकार (यदि कोई है तो) बताइए तथा अपने उत्तर के लिए कारण भी दीजिए:
(i)(-1, -2), (1, 0), (-1, 2), (-3, 0)
Answer:—
A(-1, -2), B(1, 0), C(-1, 2), D(-3, 0)
AB=√(1-(-1)2+(0+(-2)2=√(2)2+(2)2
=√4+4=√8=2√2
BC=√(-1-1)2+(2-0)2=√(-2)2+(2)2
=√4+4=√8=2√2
CD=√(-3-(-1)2+(0-2)2=√(-2)2+(-2)2
=√4+4=√8=2√2
DA=√(-1-(-3)2+(0-(-2)2=√(2)2+(2)2
=√4+4=√8=2√2
AC=√(-1-(-1)2+(2-(-2)2
=√(-1+1)2+(2+2)2=√16=4
BD=√(-3-1)2+(0-9)2=√(-4)2
=√16=4
AB=BC=CD=DA & AC=BD
चतुर्भुज एक वर्ग है|
(ii) (-3, 5), (3, 1), (0, 3), (-1, -4)
Answer:—
A(-3, 5), B(3, 1), C(0, 3), D(-1, -4)
AB=√(3-(-3)2+(1-5)2=√(3+3)2+(-4)2
=√36+16=√52
BC=√(0-3)2+(3-1)2=√(-3)2+(2)2
=√13
CD=√(-1-0)2+(-4-3)2=√(-1)2+(-7)2
=√1+49=√50
DA=√(-3-(-1)2+(5-(-4)2=√(-2)2+(9)2
=√4+81=√85
AC=√(0-(-3)2+(3-5)2=√(3)2+(-2)2
=√13
चारों भुजाओं के बराबर नहीं होने के कारण चतुर्भुज नहीं है
(iii) (4, 5), (7, 6), (4, 3), (1, 2)
Answer:—-
A(4, 5), B(7, 6), C(4, 3), D(1, 2)
AB=√(7-4)2+(6-5)2=√(3)2+(1)2=√10
BC=√(4-7)2+(3-6)2=√(-3)2+(-3)2=√18
CD=√(1-4)2+(2-3)2=√(-3)2+(-1)2=√10
DA=√(4-1)2+(5-2)2=√(3)2+(3)2=√18
AC=√(4-4)2+(3-5)2=√(0)2+(-2)2=√2
BD=√(1-7)2+(2-6)2=√(-6)2+(-4)2=√52
AB=CD & BC=DA
अत: दिए गए बिंदुओं से एक समांतर चतुर्भुज बनता है| हां
7. x-अक्ष पर वह बिंदु ज्ञात कीजिए जो (2,-5) और (-2,9) से समदूरस्थ है|
Answer:—-
x-अक्ष पर y=0 (x,0)
A(2, -5) P(x,0) B(-2, 9)
PA=PB
(PA)2=(PB)2
(x-2)2+(0+5)2=(x+2)2+(0-9)2
x2-4x+4+25=x2+4x+4+81
-4x-4x=81-25
-8x=56
x=56/-8=-7
8. y का वह मान ज्ञात कीजिए, जिसके लिए बिंदु P(2,-3) और Q(10,y) के बीच की दूरी 10 मात्रक है|
Answer:—
दूरी=10 P(2, -3) Q(10, y)
x1=2 y1=-3
x2=10 y2=y
दूरियाँ=√(x2-x1)2+(y2-y1)2
दूरियाँ2=(x2-x1)2+(y2-y1)2
(10)2=(10-2)2+(y+3)2
100=64+y2+6y+9
y2+6y-27=0
y2+9y-3y-27=0
y(y+9)-3(y+9)=0
(y+9)(y-3)=0
y-3=0 y+9=0
y=3 y=-9
10. यदि Q(0,1) बिंदुओं P(5,-3) और R(x,6) से समदूरस्थ है, तो x के मान ज्ञात कीजिए| दूरियाँ QR और PR भी ज्ञात कीजिए|
Answer:—-
Q(0, 1) P(5, -3) R(x, 6)
QP=QR
(QP)2=(QR)2
(5-0)2+(-3-1)2=(x-0)2+(6-1)2
25+16=x2+25
x2=16 x=+-4
P(5, -3) Q(0, 1) R(4, 6) R(-4, 6)
QR=√(4-0)2+(6-1)2=√(4)2+(5)2
=√16+25=√41
PR=√(4-5)2+(6-(-3)2=√(-1)+(9)2
=√1+81=√82
PR=√(-4-5)2+(6-(-3)2=√(-9)2+(9)2
=√81+81=√162=9√2
10. x और y में एक ऐसा संबंध ज्ञात कीजिए कि बिंदु (x, y) बिंदुओं (3, 6) और (-3, 4) से समदूरस्थ हो|
उत्तर:—
A(3, 6) P(x, y) B(-3, 4)
PA=PB
(PA)2=(PB)2
(3-x)2+(6-y)2=(x+3)2+(y-4)2
9+x2-6x+36+y2-12y=x2+6x+9+y2-8y+16
= -6x-6x-12y+8y+36-16= -12x-4y+20
= -4(3x+y-5)=0 3x+y-5=0
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