प्रश्नावली-7.2
1. उस बिंदु के निर्देशांक ज्ञात कीजिए, जो बिंदुओं (-1,7) और (4,-3) को मिलाने वाले रेखा खंड को 2:3 के अनुपात में विभाजित करता है|
Answer:—-
(-1,7) और (4,-3) 2:3
x1=-1 y1=7 m1=2
x2=4 y2=-3 m2=3
x= m1x2+m2x1 = 2×4+3×(-1)
m1+m2 2+3
= 8-3 =1
5
y= m1y2+m2y1 = 2×(-3)+3×7
m1+m2 2+3
= -6+21 = 15 =3
5 5
2. बिंदुओं (4, -1) और (-2, -3) को जोड़ने वाले रेखा खंड को समत्रिभाजित करने वाले बिंदुओं के निर्देशांक ज्ञात कीजिए|
उत्तर:—-
A P Q B
(4, -1) (-2, -3)
P निर्देशांक द्वारा 1:2
x1=4 y1=-1 m1=1
x2=-2 y2=-3 m2=2
P= 1×(-2) +2×4 , 1×(-3) +2×(-1)
1+2 1+2
= -2+8 , -3-2 = 2 , -5
3 3 3
Q निर्देशांक द्वारा 2:1
x1=4 y1=-1 m1=2
x2=-2 y2=-3 m2=1
Q= 2×(-2) +1×4 , 2×(-3) +1×(-1)
2+1 2+1
= -4+4 , -6-1 =0, -7
3 3 3
3. आपके स्कूल में खेल कूद क्रियाकलाप आयोजित करने के लिए, एक आयताकार मैदान ABCD में, चूने से परस्पर 1m की दूरी पर पंक्तियाँ बनाई गई है| AD के अनुदिश परस्पर 1m की दूरी पर 100 गमले रखे गए हैं, जैसा कि पाठ्यपुस्तक के पृष्ठ 184 पर आकृति 7.12 में दर्शाया गया है| निहारिका दूसरी पंक्ति में AD के 1/4 भाग के बराबर की दूरी दौड़ती है और वहाँ एक हरा झंडा गाड़ देती है| प्रीत आठवीं पंक्ति में AD के 1/5 भाग के बराबर की दूरी दौड़ती है और वहाँ एक लाल झंडा गाड़ देती है| दोनों झंडों के बीच की दूरी क्या है? यदि रश्मि को एक नीला झंडा इन दोनों झंडों को मिलाने वाले रेखा खंड पर ठीक आधी दूरी (बीच में) पर गाड़ना हो तो उसे अपना झंडा कहाँ गाड़ना चाहिए?
उत्तर:—-
चूंकि आयताकार मैदान ABCD (देखिए पाठ्यपुस्तक के पृष्ठ 184 की आकृति 7.12 ) में चुने से परस्पर की दूरी पर पंक्तियाँ बनायी गयी है तथा AD के अनुदिश परस्पर 1m की दूरी पर 100 गमले रखे गए हैं| इसिलिए AD के अनुदिश 100m की दूरी हुई | इस प्रकार, निहारिका द्वारा गाड़े गए हरे झंडे का स्थान G(2, 1 ×100)
4
अर्थात G(2,25) है
तथा प्रीत द्वारा गाड़े गए लाल झंडे का स्थान
R(8, 1 ×100) अर्थात R(8, 20)
5
अत: दोनों झंडों के बीच की दूरी GR दूरी सूत्र द्वारा प्राप्त की जा सकती है|
GR=√(8-2)2+(20-25)2=√(6)2+(-5)2
=√36+25=√61
फलतः दोनों झंडों के बीच की दूरी=√61
पुनः रश्मि द्वारा एक नीला झंडा इन दोनों झंडों के बीच में गाड़ना हो, तो अभीष्ट दूरी GR की आधी होगी| माना, रश्मि बिंदु B पर नीला झंडा गाड़ती है जिससे रेखा खंड GR को बिंदु B द्वारा 1:1 में विभाजित किया जाता है| फलतः बिंदुओं G (2,25) और R(8,20) को जोड़ने वाले रेखा खंड GR के मध्य बिंदु के निर्देशांक
B( 2+8 , 25+20 )
2 2
अर्थात B(5, 45 ) या है(5,22.5)|अर्थात रश्मि
2
अपना नीला झंडा पांचवीं रेखा में 22.5 मी की दूरी पर गाड़ेगी|
4. बिंदुओं (-3, 10) और (6, -8) को जोड़ने वाले रेखा खंड को बिंदु (-1, 6) किस अनुपात में विभाजित करता है|
उत्तर:—
(-3, 10) और (6, -8) (-1, 6)
x1=-3 y1=10 x=-1
x2=6 y2=-8 y=6
x= m1x2+m2x1
m1+m2
-1= m1×6+m2×(-3)
m1+m2
-1= 6m1-3m2
m1+m2
-m1-m2=6m1-3m2
-7m1=-2m2
m1:m2=2:7
5. वह अनुपात ज्ञात कीजिए जिसमें बिंदुओं A(1,-5) और B(-4,5) को मिलाने वाला रेखा खंड x-अक्ष से विभाजित होता है| इस विभाजन बिंदु के निर्देशांक भी ज्ञात कीजिए|
Answer:—
x-अक्ष पर y=0 अर्थात (x, 0)
A(1,-5) और B(-4,5)
x1=1 y1=-5 x2=-4 y2=5
y= m1y2+m2y1 = m1×5+m2×(-5)
m1+m2 m1+m2
0= 5m1-5m2
m1+m2
5m1-5m2=0
m1:m2=5:5=1:1
x= m1x2+m2x1
m1+m2
= 1×(-4) +1×1 = -4+1 = -3
1+1 1+1 2
6. यदि बिंदु (1, 2), (4,y), (x,6) और (3,5) इसी क्रम में लेने पर एक समांतर चतुर्भुज के शीर्ष हों, तो x और y ज्ञात कीजिए|
Answer:—-
A (1, 2), B(4,y), C(x,6) और D(3,5)
ACके मध्य बिंदु = BD के मध्य बिंदु
x1+x2 , y1+y2
2 2
1+x = 4+3 2+6 = y+5
2 2 2 2
1+x=7 2+6=y+5
x=7-1=6 y=2+6-5=3
7. बिंदु A के निर्देशांक ज्ञात कीजिए, जहाँ AB वृत्त का व्यास है, जिसका केन्द्र (2,-3) है तथा B के निर्देशांक (1,4) है|
Answer:—–
A O B
(x, y) (2, -3) (1, 4)
x1+x2 , y1+y2
2 2
x+1 =2 y+4 =-3
2 2
x+1=4 y+4=-6
x=4-1=3 y=-6-4=-10
8. यदि A और B क्रमशः (-2,-2) और (2,-4) हो, तो बिंदु P के निर्देशांक ज्ञात कीजिए ताकि
AP= 3 AB हो और P रेखा खंड AB पर स्थित
7
हो|
Answer:—-
A P B
AP= 3 AB => AP = 3
7 AB 7
AP = 3
AP+PB 7
7AP=3AP+3PB
7AP-3AP=3PB
4AP=3PB
AP = 3
PB 4
AP:PB=3:4
P= 3×2+4×(-2) , 3×(-4) +4×(-2)
3+4 3+4
= 6-8 , -12-8 = -2 , -20
7 7 7 7
9. बिंदुओं A(-2,2) और B(2,8) को जोड़ने वाले रेखा खंड AB को चार बराबर भागों में विभाजित करने वाले बिंदुओं के निर्देशांक ज्ञात कीजिए|
उत्तर:–
A P Q R B
(-2, 2) (2, 8)
मध्य बिंदु, Q
x1+x2 , y1+y2
2 2
-2+2 , 2+8 =0, 5 Q(0, 5)
2 2
बिंदु P, रेखा खंड AQ मध्य बिंदु
P= -2+0 , 2+5 P(-1, 7 )
2 2 2
बिंदु R, रेखा खंड QB मध्य बिंदु
R= 0+2 , 5+8 R(1, 13 )
2 2 2
10. एक सम चतुर्भुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए जिसके शीर्ष, इसी क्रम में, (3, 0), (4, 5), (-1, 4), और (-2, -1) है|
उत्तर:—-
A(3, 0), B (4, 5), C(-1, 4), और D (-2, -1)
AC=√(-1-3)2+(4-0)2=√(-4)2+(4)2
=√16+16=√32=4√2
BD=√(-2-4)2+(-1-5)2=√(-6)2+(-6)2
=√36+36=√72=6√2
क्षेत्रफल ABCD= 1 ×AC×BD
2
= 1 ×4√2×6√2=2×2×6=24
2
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