प्रश्नावली-7.3
1. उस त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए जिसके शीर्ष निम्नलिखित हैं:
(i)(2, 3), (-1, 0), (2, -4)
Answer:—
(2, 3), (-1, 0), (2, -4)
x1=2 x2=-1 x3=2
y1=3 y2=0 y3=-4
त्रिभुज का क्षेत्रफल
= 1 [x1(y2-y3)+x2(y3-y1)+x3(y1-y2)]
2
= 1 [2(0-(-4)+(-1)(-4-3)+2(3-0)]
2
= 1 (2×4+7+6)= 1 ×21= 21
2 2 2
(ii) (-5, -1), (3, -5), (5, 2)
Answer:—
(-5, -1), (3, -5), (5, 2)
x1=-5 x2=3 x3=5
y1=-1 y2=-5 y3=2
त्रिभुज का क्षेत्रफल
= 1 [x1(y2-y3)+x2(y3-y1)+x3(y1-y2)]
2
= 1 [(-5)(-5-2)+3(2-(-1)+5((-1)-(-5)]
2
= 1 [(-5)×(-7)+3×3+5×(4)]
2
= 1 [35+9+20]= 1 ×64=32
2 2
2. निम्नलिखित में से प्रत्येक में k का मान ज्ञात कीजिए, ताकि तीनों बिंदु संरेखी हों:
(i)(7, -2), (5, 1), (3, k)
Answer:—
(7, -2), (5, 1), (3, k)
x1=7 x2=5 x3=3
y1=-2 y2=1 y3=k
त्रिभुज का क्षेत्रफल
= 1 [x1(y2-y3)+x2(y3-y1)+x3(y1-y2)]
2
= 1 [7(1-k)+5(k-(-2)+3(-2-1)]=0
2
=[7-7k+5k+10-9]=0
8-2k=0
2k=8
k=4
(ii) (8, 1), (k, -4), (2, -5)
Answer:—
(8, 1), (k, -4), (2, -5)
x1=8 x2=k x3=2
y1=1 y2=-4 y3=-5
त्रिभुज का क्षेत्रफल
= 1 [x1(y2-y3)+x2(y3-y1)+x3(y1-y2)]
2
= 1 [8(-4-(-5)+k(-5-1)+2(1-(-4)]=0
2
= 1 [8(-4+5)+k×(-6)+2(1+4)]=0
2
= 1 (8-6k+10)
2
=8-6k+10=0
-6k=-18 k=-18/-6=3
3. शीर्षों (0, -1), (2, 1) और (0, 3) वाले त्रिभुज वाले त्रिभुज की भुजाओं के मध्य बिंदुओं से बनने वाले त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए| इस क्षेत्रफल का दिए हुए त्रिभुज के क्षेत्रफल के साथ अनुपात ज्ञात कीजिए|
उत्तर:—
A(0, -1), B(2, 1) और C(0, 3)
D= 0+2 , -1+1 = (1, 0)
2 2
E= 2+0 , 1+3 =(1, 2)
2 2
F= 0+0 , -1+3 =(0, 1)
2 2
त्रिभुज ABC के क्षेत्रफल=
1 [1(2-1)+1(1+0)+0(0-2)]
2
= 1 (1+1+0)=1
2
त्रिभुज DEF के क्षेत्रफल=
1 [0(1-3)+2(3+1)+0(-1-1)]
2
1 (0+8+0)=4
2
त्रिभुज DEF के क्षेत्रफल = 1 =1:4
त्रिभुज ABC के क्षेत्रफल 4
4. उस चतुर्भुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए जिसके शीर्ष, इसी क्रम में, (-4, -2), (-3, -5), (3, -2) और (2, 3) है|
उत्तर:—
A(-4, -2), B(-3, -5), C(3, -2) और D(2, 3)
B को D से मिलाने पर,
∆ABD के क्षेत्रफल=
1 [-4(-5-3)+(-3)(3+2)+2(-2+5)]
2
1 [32-15+6]= 1 ×23= 23
2 2 2
∆BCD के क्षेत्रफल=
1 [-3(-2-3)+3(3+5)+2(-5+2)]
2
1 (15+24-6) = 33
2 2
ABCD के क्षेत्रफल=∆ABD+∆BCD के क्षेत्रफल
= 23 + 33 = 56 =28
2 2 2
5. कक्षा IX में आपने पढा है (अध्याय 9, उदाहरण 3) कि किसी त्रिभुज की एक माध्यिका उसे बराबर क्षेत्रफलों वाले दो त्रिभुजों में विभाजित करती है| उस त्रिभुज ABC के लिए इस परिणाम का सत्यापन कीजिए जिसके शीर्ष A(4,-6), B(3,-2) और C(5,2) है|
Answer:—
A(4,-6), B(3,-2), C(5,2)
AB का मध्य बिन्दु या D= 3+5 ,-2+2 =4,0
2 2
A(4,-6), B(3,-2), D(4, 0)
∆ABD के क्षेत्रफल
= 1 [4(-2-0)+3(0+6)+4(-6+2)]
2
= 1 [-8+18-16]= 1 ×(-6)=-3
2 2
∆ADC के क्षेत्रफल
= 1 [4(0-2)+4(2+6)+5(-6-0)]
2
= 1 [-8+32-30]= 1 ×(-6)=-3
2 2
∆ABD के क्षेत्रफल=∆ADC के क्षेत्रफल
PROVED
0 टिप्पणियाँ