प्रश्नावली-7.4(ऐच्छिक)
1. बिंदुओं A(2,-2) और B(3,7) को जोड़ने वाले रेखा खंडों को 2x+y-4=0 जिस अनुपात में विभाजित करती है उसे ज्ञात कीजिए|
उत्तर:—–
A(2,-2) B(3,7)
x1=2 y1=-2
x2=3 y2=7
x= m1×3+m2×2 = 3m1+2m2
m1+m2 m1+m2
y= m1×7+m2×(-2) = 7m1-2m2
m1+m2 m1+m2
2x+y-4=0
2×( 3m1+2m2 )+ 7m1-2m2 -4=0
m1+m2 m1+m2
6m1+4m2+7m1-2m2-4m1-4m2 =0
m1+m2
9m1=2m2 m1:m2=2:9
2. x और y में एक संबंध ज्ञात कीजिए,यदि बिंदु (x, y), (1, 2) और (7, 0) संरेखी हैं|
उत्तर:—-
(x, y), (1, 2) और (7, 0)
x1=x x2=1 x3=7
y1=y y2=2 y3=0
क्षेत्रफल ABC=
1 [x(2-0)+1(0-y)+7(y-2)]=0
2
1 [2x-y+7y-14]=0
2
2x+6y-14=0 x+3y-7=0
3. बिंदुओं (6,-6), (3,-7) और (3, 3) से होकर जानेवाले वृत्त का केन्द्र ज्ञात कीजिए|
उत्तर:—
माना कि A(6,-6), B(3,-7) और C(3, 3) है|
माना कि P(x,y) वृत्त का वांछित केन्द्र है|
PA=PB=PC
(PA)2=(PB)2=(PC)2
(PA)2=(PB)2 (PB)2=(PC)2
(PA)2=(PB)2
(x-6)2+(y-(-6)2=(x-3)2+(y-(-7)2
(x-6)2+(y+6)2=(x-3)2+(y+7)2
x2-12x+36+y2+12y+36=x2-6x+9+y2+14y+49
-6x-2y+14=0 3x+y-7=0 —-(1)
PB2=PC2
(x-3)2-(y-(-7)2=(x-3)2+(y-3)2
x2-6x+9+y2+14y+49=x2-6x+9+y2-6y+9
20y+40=0 y=-40/20=-2
y का मान समी० (1) में देने पर,
3x+y-7=0 3x-2-7=0
3x-9=0 3x=9 x=9/3=3
4. किसी वर्ग के दो सम्मुख शीर्ष (-1, 2) और (3, 2) है| वर्ग के अन्य दोनों शीर्ष ज्ञात कीजिए|
उत्तर:—
A(-1, 2) C(3, 2) B(x, y)
AB=BC=> AB2=BC2
(x+1)2+(y-2)2=(3-x)2+(2-y)2
x2+2x+1+y2-4y+4=9-6x+x2+4-4y+y2
8x=8 x=1
AB2+BC2=AC2
(x+1)2+(y-2)2+(3-x)2+(2-y)2=(3+1)2+(2-2)2
x2+2x+1+y2-4y+4+9-6x+x2+4-4y+y2=16
2×2+2y2-4x-8y+18=16
x2+y2-2x-4y+1=0 —–(1)
x का मान समी० (1) में देने पर,
x2+y2-2x-4y+1=0
(1)2+y2-2×1-4y+1=0
1+y2-2-4y+1=0
y2-4y=0 y=0 y=4
Points (1, 0) (1, 4)
5. कृष्णानगर के एक सेकेंडरी स्कूल के कक्षा X के विद्यार्थियों को उनके बागवानी क्रियाकलाप के लिए, एक आयताकार भूखंड दिया गया है| गुलमोहर की पौधे(Sapling) को परस्पर 1m की दूरी पर इस भूखंड की परिसीमा (boundary) पर लगाया जाता है| इस भूखंड के अंदर एक त्रिभुजाकार घास लगा हुआ लान(lawn) है, जैसा कि पाठ्यपुस्तक के पृष्ठ 189 पर की आकृति 7.14 में दर्शाया गया है| विद्यार्थियों को भूखंड के शेष भाग में फूलों के पौधे के बीज बोने है|
(i) A को मूलबिंदु मानते हुए, त्रिभुज के शीर्षों के निर्देशांक ज्ञात कीजिए|
(ii)यदि मूलबिंदु C हो, तो ∆PQR के शीर्षों के निर्देशांक क्या होंगे?
साथ ही, उपर्युक्त दोनों स्थितियों में, त्रिभुज के क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए| आप क्या देखते हैं?
उत्तर:::—पाठ्यपुस्तक के पृष्ठ 189 की आकृति 7.14 के ध्यान पूर्वक अवलोकन पर, पाते हैं
(i) यदि A मूलबिंदु लेते हैं, तो त्रिभुज के शीर्षों P, Q और R के निर्देशांक क्रमशः P(4,6), Q(3,2) और R(6,5) है जबकि AD और AB को निर्देशांक अक्षों के रूप में लेते हैं|
(ii) यदि मूलबिंदु C लेते हैं तो निर्देशांक अक्ष CB और CD होंगे| तब सुस्पष्ट है कि बिंदुओं P, Q और R के निर्देशांक क्रमशः P(12,2), Q(13,6) और R(10,3) है|
हम जानते हैं कि किसी त्रिभुज का क्षेत्रफल, जिसके शीर्ष के निर्देशांक (x1,y1), (x2,y2) और (x3,y3) हो तो 1 [x1(y2-y3)+x2(y3-y2)+x3(y3-y1)]
2
के संख्यात्मक मान के रूप में दिया जाता है|
∆PQR का क्षेत्रफल
= 1 [4(2-5)+3(5-6)+6(6-2)]
2
= 1 (-12-3+24)= 9
2 2
∆PQRका क्षेत्रफल
= 1 [12(6-3)+13(3-2)+10(2-6)]
2
= 1 (36+13-40)= 9
2 2
6. एक त्रिभुज ABC के शीर्ष A(4,6), B(1,5) और C(7,2)है| भुजाओं AB और AC को क्रमशः D और E पर प्रतिच्छेद करते हुए एक रेखा इस प्रकार खींची गयी है कि AD = AE = 1
AB AC 4
है| ∆ADE का क्षेत्रफल परिकलित कीजिए और इसकी तुलना ∆ABC के क्षेत्रफल से कीजिए|
उत्तर:—
∆ABC जिसके शीर्ष A(4, 6), B(1, 5), C(7, 2)
AD = AE = 1
AB AC 4
AD = 1 => AD = 1
AB 4 AD+AB 4
4AD-AD=DB
DB=3AD
AD = 1 1:3
DB 3
D= 1×1+3×4 , 1×5+3×6 = 13 , 23
1+3 1+3 4 4
AE = 1 => AE = 1 1:3
AC 3 AE+EC 3
E = 1×7+3×4 , 1×2+3×6 = 19 , 5
1+3 1+3 4
∆ADE का क्षेत्रफल
= 1 [4( 23 -5)+ 13 (5-6)+ 19 (6- 23 )]
2 4 4 4
= 1 [4× 3 – 13 + 19 × 1 ]
2 4 4 4 4
= 1 [3- 13 + 19 ]
2 4 16
= 1 [ 48-52+19 ]= 15
2 16 32
∆ABC का क्षेत्रफल
= 1 [4(5-2)+1(2-6)+7(6-6)]
2
= 1 [12-4+7]
2
= 15
2
∆ADE का क्षेत्रफल = 15/32 =1:16
∆ABC का क्षेत्रफल 15/2
7. मान लीजिए A(4,2), B(6,5) और C(1,4) एक त्रिभुज ABC के शीर्ष है|
(i) A से होकर जाने वाली माध्यिका BC, D पर मिलती है| बिंदु D के निर्देशांक ज्ञात कीजिए|
(ii)AD पर स्थित ऐसे बिंदु क निर्देशांक ज्ञात कीजिए कि AP:PD=2:1 हो|
(iii) माध्यिकाओं BE और CF पर ऐसे बिंदुओं Q और R के निर्देशांक ज्ञात कीजिए कि BQ:QE=2:1 और CR:RF=2:1 हो
(iv( आप क्या देखते हैं?
(v)यदि A(x1,y1), B(x2,y2) और C(x3,y3) त्रिभुज ABC के शीर्ष है, तो इस त्रिभुज के केन्द्रक (Centroid) के निर्देशांक ज्ञात कीजिए|
उत्तर:—
∆ABC के शीर्ष A(4,2) B(6,5) और C(1,4)है|
(i)चूंकि AD ∆ABC के शीर्ष A से होकर जाने वाली माध्यिका BC को D पर प्रतिच्छेद करती है| इसिलिए, बिंदु D भुजा BC का मध्य बिंदु है| अत: D के निर्देशांक ( 6+1 , 5+4 ) अर्थात 7 , 9
1+1 1+1 2 2
(ii)माध्यिका AD पर P एक ऐसा बिंदु है कि AP:PD=2:1 अर्थात बिंदु P, AD को 2:1 के अनुपात में विभाजित करता है| अत: P के निर्देशांक
(2× 7 +1×4 2× 9 +1×2)
2 , 2
2+1 2+1
अर्थात 11 , 11
3 3
(iii) चूंकि माध्यिका BE, भुजा AC से E बिंदु पर मिलती है| इसिलिए, भुजा AC का E मध्य बिंदु है|
फलतः E के निर्देशांक
4+1 , 2+4 = 5 , 3
2 2 2
अब, माध्यिका BE पर Q एक ऐसा बिंदु है कि
BQ:QE=2:1 अर्थात बिंदु Q, माध्यिका BE को 2:1 के अनुपात में विभाजित करती है|
अत: Q के निर्देशांक=2× 5 +1×6, 2×3+1×5
2 2+1
2+1
अर्थात 11 , 11
3 3
पुनः चूंकि, माध्यिका CF, भुजा AB से F बिंदु पर मिलती है| इसिलिए, भुजा AB का F मध्य बिंदु है|
F= 4+6 , 2+5 अर्थात् (5, 7 ) है|
2 2 2
अब, माध्यिका CF पर R एक ऐसा बिंदु है कि
CR:RF=2:1 है| अर्थात बिंदु R माध्यिका CF को 2:1 के अनुपात में विभाजित करती है|
अत: बिंदु R के निर्देशांक 2×5 +1×1,2×7/2+1×4
2+1 2+1
अर्थात 11 , 11 है|
3 3
(iv) यहाँ, हम देखते हैं उपर्युक्त तीनों ही स्थितियों में P, Q और R के निर्देशांक समान है| अत: P, Q और R संपाती है अर्थात एक ही बिंदु है|
(v) यदि A(x1,y1), B(x2,y2) और C(x3,y3) त्रिभुज ABC के शीर्ष है, तो इस त्रिभुज के केन्द्रक के निर्देशांक
x1+x2+x3 , y1+y2+y3
3 3
8. बिंदुओं A(-1,-1), B(-1,4), C(5,4) और D(5,-1) से एक आयत ABCD बनता है| P, Q, R और S क्रमशः भुजाओं AB, BC, CD और DA के मध्य बिंदु है| क्या चतुर्भुज PQRS एक वर्ग है? क्या यह एक आयत है? क्या यह एक एक सम चतुर्भुज है? सकारण उत्तर दीजिए|
उत्तर:—
P के निर्देशांक= -1-1 , -1+4 = -1, 3
2 2 2
Q के निर्देशांक= -1+5 , 4+4 =2, 4
2 2
R के निर्देशांक= 5+5 , 4-1 =5, 3
2 2 2
S के निर्देशांक= 5-1 , -1-1 =2, -1
2 2
PQ=√(2+1)2+(4- 3 )2=√(3)2+( 5 )2
2 2
=√ 61
4
QR=√(5-2)2+( 3 -4)2=√(3)2+( -5 )2
2 2
=√ 61
4
RS=√(2-5)2+(-1- 3 )2=√(-3)2+( -5 )2
2 2
=√ 61
4
SP=√(-1-2)2+( 3 +1)2=√(-3)2+( 5 )2
2 2
=√ 61
4
PQ=QR=RS=SP=√ 61
4
PR=√(5+1)2+( 3 – 3 )2
2 2
=√(6)2+0=√36=6
QS=√(2-2)2+(-1-4)2
=√(0)2+(-5)2=√25=5
PR IS NOT EQUAL TO QS
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