प्रश्नावली-5.3
1. निम्नलिखित समांतर श्रेणियों का योग ज्ञात कीजिए:
(i)2,7,12,…….10 पदों तक
Answer:—–
a=2 d=7-2=5 n=10
sn= n [2a+(n-1)d]
2
= 10 [2×2+(10-1)×5]
2
=5[4+9×5]
=5×(4+45)=5×49=245
(ii) -37, -33, -29,….. 12 पदों तक
Answer:—-
a=-37 d=-33+37=4 n=12
sn= n [2a+(n-1)d]
2
= 12 [2×(-37)+(12-1)×4]
2
=6[-74+11×4]
=6(-74+44)=6×(-30)=-180
(iii)0.6,1.7,2.8,………100 पदों तक
Answer:—-
a=0.6 d=1.7-0.6=1.1 n=100
Sn= n [2a+(n-1)d]
2
= 100 [2×0.6+(100-1)×1.1]
2
=50×[1.2+99×1.1]
=50×(1.2+108.9)
=50×110.1=5505
(iv) 1 , 1 , 1 …….. 11 पदों तक
15 12 10
Answer:—
a= 1 d= 1 – 1 = 5-4 = 1 , n=11
15 12 15 60 60
Sn= n [2a+(n-1)d]
2
= 11 [2× 1 +(11-1)× 1 ]
2 15 60
= 11 [ 2 +10× 1 ]
2 15 60
= 11 [ 2 + 1 ]
2 15 6
= 11 × 9 = 33
2 30 20
2. नीचे दिए हुए योगफलों को ज्ञात कीजिए:
(i)7+10 1 +14+…….. +84
2
Answer:—
a=7 d= 21 -7= 21-14 = 7
2 2 2
an=84
an=a+(n-1)d
84=7+(n-1)× 7
2
84=7+ 7n – 7
2 2
84-7+ 7 = 7n
2 2
168-14+7 = 7n
2 2
161=7n
n=161/7=23
sn= n [a+an]
2
= 23 [7+84]
2
= 23 ×91= 2093 =1046 1
2 2 2
(ii) 34+32+30+…….+10
Answer:—-
a=34 d=32-34=-2 an=10
an=a+(n-1)d
10=34+(n-1)×(-2)
10=34-2n+2
10=36-2n
10-36=-2n
-26=-2n
n=-26/-2=13
Sn= n (a+an)
2
= 13 (34+10)
2
= 13 ×44=13×22=286
2
(iii) -5+(-8)+(-11)+…… +(-230)
Answer:—-
a=-5 d=-8+5=-3 an=-230
an=a+(n-1)d
-230=-5+(n-1)×(-3)
-230=-5-3n+3
-230=-2-3n
-228=-3n
n=-228/-3=76
Sn= n [a+an]
2
= 76 [-5-230]
2
=38×(-235)=-8930
3. एक A.P. में,
(i)a=5, d=3 और an=50 दिया है| n और sn ज्ञात कीजिए|
Answer:—
a=5 d=3 an=50
an=a+(n-1)d
50=5+(n-1)×3
50=5+3n-3
50=2+3n
48=3n
n=48/3=16
Sn= n [a+an]
2
= 16 [5+50]
2
=8×55=440
(ii) a=7 और a13=35 दिया है| d और s13 ज्ञात कीजिए|
Answer:—-
a=7 a13=35 n=13
an=a+(n-1)d
35=7+(13-1)d
35-7=12d
28=12d
d= 28 = 7
12 3
Sn= n [a+an]
2
= 13 [7+35]
2
= 13 ×42=13×21=273
2
(iii) a12=37 और d=3 दिया है|a और s12 ज्ञात कीजिए|
Answer:—-
an=37 n=12 d=3
an=a+(n-1)d
37=a+(12-1)×3
37=a+33
a=37-33=4
Sn= n [a+an]
2
= 12 [4+37]
2
=6×41=246
(iv) a3=15 और s10=125 दिया है| d और a10 ज्ञात कीजिए|
Answer:—-
a3=a+(3-1)d=15
a+2d=15 ——(1)
sn= n [2a+(n-1)d]=125
2
= 10 [2a+(10-1)d]=125
2
=5[2a+9d]=125
=2a+9d=25 ——–(2)
समी० (1)×2 और (2) से,
2a+4d=30
2a+9d=25
-5d=5 d=-1
d का मान समी० (1) में देने पर,
a+2d=15
a+2×(-1)=15
a-2=15 a=15+2=17
an=a+(n-1)d
a10=17+(10-1)×(-1)
=17-9=8
(v) d=5, और S9=75 दिया है|a और a9 ज्ञात कीजिए|
Answer:—-
sn= n [2a+(n-1)d]
2
75= 9 [2a+(9-1)×5
2
150=9(2a+40)
150=18a+360
150-360=18a
-210=18a
a= -210 = -35
18 3
an=a+(n-1)d
a9= -35 +(9-1)×5
3
= -35 +40
3
= -35+120 = 85
3 3
(Vi) a=2, d=8 और sn=90 दिया है| n और an ज्ञात कीजिए|
Answer:—-
Sn= n [2a+(n-1)d]
2
90= n [2×2+(n-1)×8]
2
180=n(4+8n-8)
180=n(8n-4)
8n2-4n-180=0
2n2-n-45=0
2n2-10n+9n-45=0
2n(n-5)+9(n-5)=0
(n-5)(2n+9)=0
n-5=0 2n+9=0 2n=-9 n=-9/2
n=5
an=a+(n-1)d
=2+(5-1)×8=2+32=34
(vii) a=8, an=62 और sn=210 दिया है| n और d ज्ञात कीजिए|
Answer:—-
Sn= n [a+an]
2
210= n [8+62]
2
420=70n
n=420/70=6
an=a+(n-1)d
62=8+(6-1)d
62-8=5d
54=5d
d=54/5
(viii) an=4, d=2 और Sn=-14 दिया है| n और a ज्ञात कीजिए|
Answer:—
an=a+(n-1)d
4=a+(n-1)×2
4=a+2n-2
a+2n=6
a=6-2n ——-(1)
sn= n [2a+(n-1)d]
2
-14= n [2a+(n-1)2]
2
-14= n [2a+2n-2]
2
-14= n [a-2+a+2n]
2
-14= n [a-2+6]
2
-14= n (a+4)
2
-28=n(a+4)
-28=n(6-2n+4) [a=6-2n]
-28=n(10-2n)
-2n2+10n+28=0
2n2-10n-28=0
n2-5n-14=0
n2+2n-7n-14=0
n(n+2)-7(n+2)=0
(n+2)(n-7)=0
n-7=0 n+2=0
n=7 n=-2
a=6-2n=6-2×7=6-14=-8
(ix)a=3, n=8 और s=192 दिया है| d ज्ञात कीजिए|
Answer:—–
sn= n [2a+(n-1)d]
2
192= 8 [2×3+(8-1)d]
2
192=4(6+7d)
48=6+7d
42=7d
d=42/7=6
(x) l=28, s=144 और कुल पद 9 है| a ज्ञात कीजिए|
Answer:—-
Sn= n (a+l)
2
144= 9 (a+28)
2
288=9(a+28)
32=a+28
a=32-28=4
4. 636 योग प्राप्त करने के लिए, A.P.: 9,17,25….. के कितने पद लेने चाहिए?
उत्तर:—-
a=9 d=17-9=8
sn= n [2a+(n-1)d]
2
636= n [2×9+(n-1)×8]
2
636=n(18+8n-8)
636=n(10+8n)
636=10n+8n2
8n2+10n-636=0
4n2+5n-636=0
n= -5+-√(5)2-4×4×(-636)
2×4
= -5+-√25+10176
8
= -5+-√10201 = -5+-101
8 8
= -5+101 =12
8
= -5-101 = -53
8 4
5. किसी A.P. का प्रथम पद 5, अंतिम पद 45 और योग 400 है| पदों की संख्या और सार्व अंतर ज्ञात कीजिए|
उत्तर:—
a=5 an=45 sn=400
sn= n [a+an]
2
400= n [5+45]
2
800=50n
n=800/50=16
an=a+(n-1)d
45=5+(16-1)d
45-5=15d
40=15d
d= 40 = 8
15 3
6. किसी A.P. के प्रथम और अंतिम पद क्रमशः 17 और 350 है| यदि सार्व अंतर 9 है, तो इसमें कितने पद है और इनका योग क्या है?
उत्तर:—-
a=17 an=350 d=9
an=a+(n-1)d
350=17+(n-1)×9
350-17=9n-9
333=9n-9
333+9=9n
342=9n
n=342/9=38
sn= n [a+an]
2
= 38 [17+350]
2
=19×367=6973
7. उस A.P. के प्रथम 22 पदों का योग ज्ञात कीजिए, जिसमें d=7 है और 22 वां पद 149 है|
उत्तर:—
a22=149
a+(22-1)×7=149
a+147=149
a=149-147=2
sn= n [a+an]
2
= 22 [2+149]
2
=11×151=1661
8. उस A.P. के प्रथम 51 पदों का योग ज्ञात कीजिए, जिसके दूसरे और तीसरे पद क्रमशः 14 और 18 है|
उत्तर:–
a2=14
a+(2-1)d=14 =>a+d=14 —–(1)
a3=18
a+(3-1)d=18 =>a+2d=18 —–(2)
समी० (1) और (2) से,
a+d=14
a+2d=18
-d=-4 d=4
d का मान समी० (1) में देने पर,
a+d=14
a+4=14 a=14-4=10
n=51
sn= n [2a+(n-1)d]
2
= 51 [2×10+(51-1)×4]
2
= 51 [20+200]
2
= 51 ×220=51×110=5610
2
9. यदि किसी A.P. के प्रथम 7 पदों का योग 49 है और प्रथम 17 पदों का योग 289 है, तो इसके प्रथम n पदों का योग ज्ञात कीजिए|
Answer:::::——
s7=49
7 [2a+(7-1)d]=49
2
7 [2a+6d]=49
2
a+3d=7 ——(1)
s17=289
17 [2a+(17-1)d]=289
2
17 [2a+16d]=289
2
a+8d=17 ——-(2)
समी० (1) और (2) से,
a+3d=7
a+8d=17
-5d=-10 d=-10/-5=2
d का मान समी० (1) में देने पर,
a+3d=7
a+3×2=7
a+6=7
a=7-6=1
10. दर्शाइए कि a1, a2,……an,…..से एक बनती है, यदि an नीचे दिए अनुसार परिभाषित है:
(i)an=3+4n (ii)an=9-5n
साथ ही, प्रत्येक स्थिति में, प्रथम 15 पदों का योग ज्ञात कीजिए|
Answer:—
(i) an=3+4n
n=1, =3+4×1=3+4=7
n=2, =3+4×2=3+8=11
n=3, =3+4×3=3+12=15
A.P.:7, 11,15……
a=7 d=11-7=4 n=15
sn= n [2a+(n-1)d]
2
= 15 [2×7+(15-1)×4]
2
= 15 [14+56]
2
= 15 ×70=15×35=525
2
(ii) an=9-5n
n=1, =9-5×1=9-5=4
n=2, =9-5×2=9-10=-1
n=3, =9-5×3=9-15=-6
A.P.:5, -1, -6…….
a=5 d=-1-4=-5 n=15
Sn= n [2a+(n-1)d]
2
= 15 [2×4+(15-1)×(-5)]
2
= 15 (8-70)
2
= 15 ×(-62)=15×(-31)=-465
2
11. यदि किसी A.P. के प्रथम n पदों का योग 4n-n2 है, तो इसका प्रथम पद (अर्थात् s1) क्या है? प्रथम दो पदों का योग क्या है? दूसरा पद क्या है? इसी प्रकार, तीसरे, 10 वें और n वें पद को ज्ञात कीजिए|
उत्तर:—-
s1=4n-n2=4×1-1×1=4-1=3
a1=3
s2=4n-n2=4×2-2×2=8-4=4
a2=s2-s1=4-3=1
s3=4×3-3×3=12-9=3
a3=s3-s2=3-4=-1
s9=4×9-9×9=36-81=-45
s10=4×10-10×10=40-100=-60
a10=s10-s9=-60+45=-15
Sn=4n-n2
Sn-1=4(n-1)-(n-1)2
=4n-4-(n2-2n+1)
=4n-4-n2+2n-1
=-n2+6n-5
an=Sn-sn-1
=4n-n2+n2-6n+5=5-2n
12. ऐसे प्रथम 40 धन पूर्णांकों का योग ज्ञात कीजिए जो 6 से विभाज्य है|
उत्तर:—
6,12,18,24………..
a=6 d=12-6=6 n=40
sn= n [2a+(n-1)d]
2
= 40 [2×6+(40-1)×6]
2
=20(12+234)=20×246=4920
13. 8 के प्रथम 15 गुणजों का योग ज्ञात कीजिए|
उत्तर:——
8,16,24………..
a=8 d=16-8=8 n=15
Sn= n [2a+(n-1)d]
2
= 15 [2×8+(15-1)×8]
2
= 15 (16+112)
2
= 15 ×128=15×64=960
2
14. 0 और 50 के बीच की विषम संख्याओं का योग ज्ञात कीजिए|
उत्तर:—
1,3,5,7………..49
a=1 d=5-3=2 an=49
an=a+(n-1)d
49=1+(n-1)×2
49=1+2n-2
49=2n-1
50=2n n=50/2=25
Sn= n [a+an]
2
= 25 (1+49)= 25 ×50
2 2
=25×25=625
15. निर्माण कार्य से संबंधित किसी ठेके में, एक निश्चित तिथि के बाद कार्य को विलंब से पूरा करने के लिए, जुर्माना लगाने का प्रावधान इस प्रकार है: पहले दिन के लिए 200 रू०, दूसरे दिन के लिए 250 रू०, तीसरे दिन के लिए 300 रू० इत्यादि अर्थात् प्रत्येक उत्तरोत्तर दिन का जुर्माना अपने से ठीक पहले दिन के जुर्माने से 50 रू अधिक है| एक ठेकेदार को जुर्माने के रूप में कितनी राशि अदा करनी पड़ेगी, यदि वह इस कार्य में 30 दिन का विलंब कर देता है?
उत्तर:—-
200,250,300,350…….
a=200 d=250-200=50 n=30
sn= n [2a+(n-1)d]
2
= 30 [2×200+(30-1)×50]
2
=15[400+29×50]
=15(400+1450)=15×1850=27750
16. किसी स्कूल के विद्यार्थियों को उनके समग्र शैक्षिक प्रदर्शन के लिए 7 नकद पुरस्कार देने के लिए 700 रू० की राशि रखी गई है| यदि प्रत्येक पुरूस्कार अपने से ठीक पहले पुरूस्कार से 20 रू० कम है, तो प्रत्येक पुरूस्कार का मान ज्ञात कीजिए|
उत्तर:—
1——x-20
2——x-40
3——-x-60
4——-x-80
5——–x-100
6——–x-120
7———x-140
x-20+x-40+x-60+x-80+x-100+x-120+x-140=700
7x-560=700
7x=700+560=1260
x=1260/7=180
1——x-20=180-20=160
2——x-40=180-40=140
3——-x-60=180-60=120
4——-x-80=180-80=100
5——–x-100=180-100=80
6——–x-120=180-120=60
7———x-140=180-140=40
17. एक स्कूल के विद्यार्थियों ने वायु प्रदूषण कम करने के लिए स्कूल के अंदर और बाहर पेड़ लगाने के बारे में सोचा| क्षण निर्णय लिया गया कि प्रत्येक कक्षा का प्रत्येक अनुभाग अपनी कक्षा की संख्या के बराबर पेड़ लगाएगा| उदाहरणार्थ, कक्षा I का एक अनुभाग 1 पेड़ लगाएगा, कक्षा II का एक अनुभाग 2 पेड़ लगाएगा, कक्षा III का एक अनुभाग 3 पेड़ लगाएगा, इत्यादि और ऐसा कक्षा XII तक के लिए चलता रहेगा| प्रत्येक कक्षा के तीन अनुभाग है| इस स्कूल के विद्यार्थियों द्वारा लगाए गए कुल पेड़ों की संख्या कितनी होगी?
Answer:–
कक्षा I का एक अनुभाग 1 पेड़ लगाएगा=1×3=3
कक्षा II का एक अनुभाग 2 पेड़ लगाएगा=2×3=6
कक्षा III का एक अनुभाग 3 पेड़ लगाएगा=3×3=9
कक्षा XII तक के लिए चलता रहेगा=12×3=36
3,6,9………36
a=3 d=6-3=3 n=12 an=36
Sn= n [a+an]
2
= 12 (3+36)
2
=6×39=234
18. केंद्र A से प्रारंभ करते हुए, बारी बारी से केन्द्रों A और B को लेते हुए, त्रिज्याओं 0.5cm,1.0cm,1.5cm,2.0cm…….वाले उत्तरोत्तर अर्द्ध वृत्तों को खींचकर एक सर्पिल(spiral)बनाया गया है, जैसा कि पाठ्यपुस्तक के पृष्ठ 126 पर आकृति 5.4 में दर्शाया गया है| तेरह क्रमागत अर्द्ध वृत्तों से बने इस सर्पिल की कुल लंबाई क्या है? (π=22/7)
[संकेत:क्रमशः केन्द्रों A, B, A, B, ….. वाले अर्द्ध वृत्तों की लंबाइयाँ l1, l2, l3, l4 है]
Answer::::—–
(π×0.5+π×1.0+π×1.5+…… +π×6.5)cm
=π×0.5(1+2+3+4+…… +13)
=π×0.5( 13 (2×1+(13-1)×1)
2
=π×0.5( 13 ×14)= 22 ×0.5×91
2 7
=11×13=143cm
19. 200 लट्ठों को ढेरी के रूप में इस प्रकार रखा जाता है: सबसे नीचे पंक्ति में 20 लट्ठे, उसमें अगली पंक्ति में 19 लट्ठे, उससे अगली पंक्ति में 18 लट्ठे, इत्यादि (पाठ्यपुस्तक के पृष्ठ 126 पर देखिए आकृति 5.5)| ये 200 लट्ठे कितनी पंक्तियों में रखे गए हैं तथा सबसे ऊपरी पंक्ति में कितने लट्ठे है?
उत्तर:—-
20,19,18,17,16……
a=20 d=19-20=-1 sn=200
Sn= n [2a+(n-1)d]
2
200= n [2×20+(n-1)×(-1)]
2
400=n(40-n+1)
400=41n-n2
-n2+41n-400=0
n2-41n+400=0
n2-16n-25n+400=0
n(n-16)-25(n-16)=0
(n-16)(n-25)=0
n-16=0 n-25=0
n=16 n=25
an=a+(n-1)d
a16=20+(16-1)×(-1)=20-15=5
20. एक आलू दौड़(potato race) में, प्रारंभिक स्थान पर एक बाल्टी रखी हुई है, जो पहले आलू से 5m की दूरी पर है, तथा अन्य आलूओं को एक सीधी रेखा में परस्पर 3m की दूरियों पर रखा गया है| इस रेखा पर 10 आलू रखे गए हैं (पाठ्यपुस्तक में पृष्ठ 127 पर देखिए आकृति 5.6)| प्रत्येक प्रतियोगी बाल्टी से चलना प्रारंभ करती है, निकटतम आलू को उठाता है, उसे लेकर वापस आकर दौड़कर बाल्टी में डालता है, दूसरा आलू उठाने के लिए वापस दौड़ता है| उसे उठाकर वापस बाल्टी में डालता है और वह ऐसा तब तक करता रहता है, जब तक सभी वापस बाल्टी में न आ जाएं| इसमें प्रतियोगिता को कुल कितना दूरी दौड़ना पड़ेगा?
Answer:—-
पहले=2×5, 2×5+3
दूसरे=2×5+3+3=16
तीसरे=2×5+3+3+3+3=22
चौथे=2×5+3+3+3+3+3+3=28
10 वें=
10,16,22,28……
a=10 d=16-10=6 n=10
Sn= n [2a+(n-1)d]
2
= 10 [2×10+(10-1)×6]
2
=5(20+54)=5×74=370
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