प्रश्नावली-5.4(ऐच्छिक)
1. A.P.: 121,117,113……… का कौन सा पद सबसे पहला ऋणात्मक पद होगा?
[संकेत:an<0 के लिए n ज्ञात कीजिए]
उत्तर:—-
a=121 d=117-121=-4
an=a+(n-1)d
=121+(n-1)×(-4)
=121-4n+4=125-4n
125-4n=0
4n=125
n= 125 =31 1
4 4
32 वां पद सबसे पहला ऋणात्मक पद होगा|
2. किसी A.P. के तीसरे और सातवें पदों का योग 6 है और उनका गुणनफल 8 है| इस A.P. के प्रथम पदों का योग ज्ञात कीजिए|
Answer:—-
यदि हम यहाँ AP:a,a+d,a+2d,a+3d……लेते हैं, तो हमें कठिन समीकरणों को हल करना होगा| ऐसी स्थिति में क्रिया को सरल करने के लिए हम मान लेते हैं कि
AP:a-4d,a-3d,a-2d,a-d,a,a+d,a+2d,a+3d
है|विशेष कर तब जब पदों के योग दिए गए हों|
a3=a-2d
a7=a+2d
a3+a7=a-2d+a+2d=6
2a=6 a=6/2=3
a3×a7=8
(a-2d)×(a+2d)=8
a2-4d2=8
(3)2-4d2=8
-4d2=8-9=-1
d2= -1 => d=+- 1
4 2
n=16 d=1/2
sn= n [2×(a-9d)+(16-1)d]
2
sn= 16 [2×(3-4× 1 )+15× 1 ]
2 2 2
=8(2+ 15 ) =8× 19 =76
2 2
n=16 d=-1/2
sn= n [2×(a-4d)+(n-1)d]
2
= 16 [(3+4× 1 )+(16-1)×( -1 ]
2 2 2
=8[2×5- 15 ]=8× 5 =20
2
3. एक सीढ़ी के क्रमागत डंडे परस्पर 25cm की दूरी पर है (पाठ्यपुस्तक के पृष्ठ 127 पर देखिए आकृति 5.7) | डंडों की लंबाई एक समान रूप से घटती जाती है तथा सबसे निचले डंडे की लंबाई 45cm है और सबसे ऊपर वाले डंडे की लंबाई 25cm| यदि ऊपरी और निचले डंडे के बीच की दूरी 2 1 m है, तो डंडों को बनाने के लिए लकड़ी की
2
कितनी लंबाई की आवश्यकता होगी?
[संकेत:डंडों की संख्या=250/25 है|]
Answer:—-
2 1 = 5 m=2.5m=250cm
2 2
n= 250 =10
25
sn= n (a+an)
2
= 10 (25+45)=5×70=350
2
4. एक पंक्ति के मकानों को क्रमागत रूप से संख्या 1 से 49 तक अंकित किया गया है| दर्शाइए कि x का एक ऐसा मान है कि x से अंकित मकान से पहले के मकानों की संख्याओं का योग उसके बाद वाले मकानों की संख्याओं के योग के बराबर है| x का मान ज्ञात कीजिए|
[संकेत:Sx-1=S49-Sx है]
Answer:—-
a=1 d=1 n=49
sn= n [2a+(n-1)d]
2
= 49 [2×1+(49-1)×1]
2
= 49 (2+48)= 49 ×25
2
sn-1= x-1 [2×1+(x-1)×1]
2
= x-1 [2+x-2]= x-1 ×x= x2-2
2 2 2
sx= x [2×1+(x-1)×1]
2
= x [2+x-1]= x (x+1)= x2+x
2 2 2
sx-1 + sx=s49
x2-x + x2+x =49×25
2 2
x2=49×25
x=+-(7×5)=+-35
5. एक फुटबॉल के मैदान में एक छोटा चबूतरा है जिसमें 15 सीढ़ियाँ बनी हुई है| इन सीढ़ियों में से प्रत्येक की लंबाई 50m है और वह ठोस कंक्रीट(concrete) की बनी है| प्रत्येक सीढ़ी में 1/4m की चढ़ाई है और 1/2m का फैलाव (चौड़ाई) है| (पाठ्यपुस्तक के पृष्ठ 128 पर देखिए आकृति 5.8)| इस चबूतरे को बनाने में लगी कंक्रीट का कुल आयतन परिकलित कीजिए|
[संकेत: पहली सीढ़ी को बनाने में लगी कंक्रीट का आयतन= 1 × 1 =50m3 है]
4 2
उत्तर:—-
एक सीढ़ी की चढ़ाई =1/4
एक सीढ़ी का फैलाव (चौड़ाई ,tread)=1/2m
प्रत्येक सीढ़ी की लंबाई 50m
सीढ़ियों की कुल संख्या x=15
अत: एक (पहली) सीढ़ी को बनाने में लगी कंक्रीट का आयतन= 1 × 1 ×50
4 2
दूसरी सीढ़ी को बनाने में लगी कंक्रीट का आयतन
= 1 ×2× 1 ×50
4 2
तीसरी सीढ़ी को बनाने में लगी कंक्रीट का आयतन
= 1 ×3× 1 ×50
4 2
चौथी सीढ़ी को बनाने में लगी कंक्रीट का आयतन
= 1 ×4× 1 ×50
4 2
और इस प्रकार आगे भी|
इन आयतनों से बनी श्रेढ़ी
= 50 , 2× 50 , 3× 50
8 8 8
इस चबूतरे को बनाने में लगी कंक्रीट का
कुल आयतन
= 50 +2× 50 +3× 50 +4× 50
8 8 8 8
50 (1+2+3+4+….. +15)
8
50 × 15 (2×1+(15-1)×1)
8 2
50 × 15 ×(2+14)= 50 × 15 ×16
8 2 8 2
=50×15=750
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