प्रश्नावली-12.2
(जबतक अन्यथा न कहा जाए, π=22/7 का उपयोग कीजिए)
1. 6 सेमी त्रिज्या वाले एक वृत्त के एक त्रिज्या खंड ज्ञात कीजिए, जिसका कोण 60° है|
उत्तर:—
r=6cm थीटा=60°
त्रिज्या खंड का क्षेत्रफल= थीटा ×πr2
360
60 × 22 ×6×6= 132 cm2
360 7 7
2. एक वृत्त, के चतुर्थांश(quadrant) का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए,जिसकी परिधि 22 cm है|
उत्तर:—
परिधि=22 सेमी
2πr=22
2× 22 ×r=22
7
r=7/2cm
चतुर्थांश(quadrant) का क्षेत्रफल= 1 πr2
4
= 1 × 22 × 7 × 7 = 77
4 7 2 2 8
3. एक घड़ी की मिनट की सुई जिसकी लंबाई 14 सेमी है| इस सुई द्वारा 5 मिनट में रचित क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए|
उत्तर:—
5 मिनट में सुई द्वारा रचित कोण= 360 ×5=30
60
5 मिनट में सुई द्वारा रचित क्षेत्रफल=
30 × 22 ×14×14= 11×14 = 154
360 7 3
4. 10 सेमी त्रिभुज वाले एक वृत्त की कोई जीवा केन्द्र पर एक समकोण अंतरित करती है| निम्नलिखित के क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए:
(i)संगत लघु वृत्त खंड
(ii)संगत दीर्घ त्रिज्यखंड
(π=3.14 का उपयोग कीजिए)|
उत्तर:—-
(i) संगत लघु वृत्त खंड का क्षेत्रफल
=त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल- त्रिभुज का क्षेत्रफल
= 90 ×3.14×10×10- 1 ×10×10
360 2
= 314 -50=78.5-50=28.5 सेमी2
4
(ii) संगत दीर्घ त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल
=वृत्त का क्षेत्रफल- लघु वृत्त खंड का क्षेत्रफल
=πr2 – लघु वृत्त खंड का क्षेत्रफल
=3.14×10×10-28.5
=314-78.5=235.5cm2
5. त्रिज्या 21 सेमी वाले वृत्त का एक चाप केन्द्र पर 60° का कोण अंतरित करता है| ज्ञात कीजिए:
(i)चाप की लंबाई
(ii)चाप द्वारा बनाए गए त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल
(iii)संगत जीवा द्वारा बनाए गए वृत्त खंड का क्षेत्रफल
उत्तर:—
(i)चाप की लंबाई=
थीटा ×2π×त्रिज्या
360
60 ×2× 22 ×21
360 7
= 44×21 =22 सेमी
6×7
(ii) क्षेत्रफल= 60 × 22 ×21×21
360 7
=11×21=231
(iii) वृत्त खंड का क्षेत्रफल
=त्रिज्या खंड का क्षेत्रफल- त्रिभुज का क्षेत्रफल
=231 – 1 r2sinA
2
=231- 1 ×21×21× √3
2 2
=231- 441√3
4
6. 15 सेमी त्रिज्या वाले एक वृत्त की कोई जीवा केन्द्र पर 60° का कोण अंतरित करती है| संगत लघु और दीर्घ वृत्त खंडों के क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए|(π=3.14 और √3=1.73 का उपयोग कीजिए|)
उत्तर:—
लघु वृत्त खंड का क्षेत्रफल=
त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल- त्रिभुज का क्षेत्रफल
= 60 ×3.14×15×15- 1 ×15×15× √3
360 2 2
=15×15( 3.14 – 1 × √3 )
6 2 2
225( 3.14 – 1.73 )
6 4
225( 3.14×2-1.73×3 )
12
225( 6.28-5.19 )
12
225×1.09 = 245.25 =20.4375
12 12
दीर्घ वृत्त खंड त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल
=वृत्त का क्षेत्रफल- लघु वृत्त खंड का क्षेत्रफल
=πr2-20.4375
3.14×15×15-20.4375
706.5-20.4375=686.062cm2
7. त्रिज्या 12 सेमी वाले एक वृत्त की कोई जीवा केन्द्र पर 120° का कोण अंतरित करती है| संगत वृत्त खंड का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए|(π=3.14 और √3=1.73 का उपयोग कीजिए|)
उत्तर:—-
वृत्त खंड का क्षेत्रफल=
त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल- त्रिभुज का क्षेत्रफल
120 ×3.14×12×12- 1 ×6×12√3
360 2
31.4×48-36√2 (36√2=36×1.73=62.28)
150.72-62.28=88.44 सेमी2
8. 15 सेमी भुजा वाले एक वर्गाकार घास के मैदान के एक कोने पर लगे खूंटे से एक घोड़े को 5 मी लंबी रस्सी से बांध दिया गया है (देखिए पाठ्यपुस्तक के पृष्ठ 253 आकृति 12.11)| ज्ञात कीजिए:
(i)मैदान के उस भाग का क्षेत्रफल जहाँ घोड़ा घास चरने सकता है|
(ii)चरे जा सकने वाले क्षेत्रफल में वृद्धि, यदि घोड़े को 5 मी लंबी रस्सी के स्थान पर 10 मी लंबी रस्सी से बांध दिया जाए|(π=3.14 का उपयोग कीजिए)|
उत्तर:—-
(i) क्षेत्रफल= 1 πr2= 1 ×3.14×5×5
4 4
= 3.14×25 =19.625cm2
4
(ii) चरे जा सकने वाले क्षेत्रफल में वृद्धि, यदि घोड़े को 5 मी लंबी रस्सी के स्थान पर 10 मी लंबी रस्सी से बांध दिया जाए|
1 πr2= 1 ×3.14×10×10= 314 =78.5
4 4 4
चरे जा सकने वाले क्षेत्रफल में वृद्धि=
78.5-19.625=58.875 सेमी 2
9. एक वृत्ताकार ब्रूच(brooch) को चांदी के तार से बनाया जाना है जिसका व्यास 35mm है| तार के 5 व्यासों को बनाने में भी प्रयुक्त किया गया है जो उसे 10 बराबर त्रिज्यखंडों में विभाजित करता है जैसा कि पाठ्यपुस्तक के पृष्ठ 253 आकृति 12.12 में दर्शाया गया है| तो ज्ञात कीजिए:
(i)कुल वांछित चांदी के तार की लंबाई
(ii)ब्रूच के प्रत्येक त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल
उत्तर:—-
(i)व्यास=35mm
त्रिज्या=35/2mm
परिधि=2πr=πd= 22 ×35=110mm
7
चांदी के तार को 5 व्यासों में भी प्रयुक्त करना है|
तार की लंबाई=5×35=175mm
कुल तार की लंबाई=175+110=285mm
(ii)तार को वृत्त के 5 व्यासों को बनाने में लगाए जाने पर 10 त्रिज्यखंड प्राप्त होते हैं|
प्रत्येक त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल=
1 ×πr2
10
1 × 22 × 35 × 35
10 7 2 2
11×35 = 385 mm2
4 4
10. एक छतरी में आठ ताने है, जो बराबर दूरी पर लगे हुए हैं (देखिए पाठ्यपुस्तक के पृष्ठ 253 पर आकृति 12.13)| छतरी को 45 सेमी त्रिज्या वाला एक सपाट वृत्त मानते हुए, इसकी दो क्रमागत तानों के बीच का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए|
उत्तर:—
दो क्रमागत तानों के बीच का क्षेत्रफल=
1 × 22 ×45×45
8 7
= 11×45×45 = 11×2025 = 22275
28 28 28
11. किसी कार के दो वाइपर ( Wipers) है, परस्पर कभी आच्छादित नहीं होते हैं| प्रत्येक वाइपर की पत्ती की लंबाई 25cm है और 115° के कोण तक घूम कर सफाई कर सकता है| पत्तियों की प्रत्येक बुहार के साथ जितना क्षेत्रफल साफ हो जाता है, वह ज्ञात कीजिए|
उत्तर:–
क्षेत्रफल=2× 115 × 22 ×25×25
360 7
= 23×11×625 = 158125
18×7 126
12. जहाजों को समुद्र में जलस्तर के नीचे स्थित चट्टानों की चेतावनी देने के लिए, एक लाइट हाउस (light house) 80° कोण वाले एक त्रिज्यखंड में 16.5 km की दूरी तक लाल रंग का प्रकाश फैलाता है| समुद्र के उस भाग का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए जिसमें जहाजों को चेतावनी दी जा सके|(π=3.14 का उपयोग कीजिए|)
उत्तर:–
क्षेत्रफल= 80 ×3.14×16.5×16.5
360
= 1709.73 =189.97km2
9
13. एक गोल मेजपोश पर छह समान डिजाइन बने हुए हैं जैसा कि पाठ्यपुस्तक के पृष्ठ 255 पर आकृति 12.14 में दर्शाया गया है| यदि मेजपोश की त्रिज्या 28 सेमी है, तो 0.35 रू प्रति वर्ग सेंटीमीटर की दर से इन डिजाइनों को बनाने की लागत ज्ञात कीजिए|(√3=1.7 का उपयोग कीजिए)|
उत्तर:—
एक डिजाइन का क्षेत्रफल
= त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल- त्रिभुज का क्षेत्रफल
= थीटा ×πr2 – 1 r2sinA
360 2
= 60 × 22 ×28×28- 1 ×28×28× √3
360 7 2 2
= 1232 – 196√3
3
= 1232 -196×1.7
3
= 1232 – 333.2
3
= 1232-999.6 = 232.4 cm2
3 3
6 डिजाइनों का क्षेत्रफल=6× 232.4 =464.8
3
इन डिजाइनों के 0.35 रू प्रति वर्ग सेमी की दर से बनाने की लागत=(0.35×464.68)=162.68 रू
14. निम्नलिखित में सही उत्तर चुनिए:
त्रिज्या R वाले वृत्त के उस त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल कोण है, निम्नलिखित हैं:
(A) P ×2πR (B) P ×πR2
180 180
(C) P ×2πR (D) P ×2πR2
360 720
Answer:—- ( D)
त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल=
P ×πR2= (D) P ×2πR2
360 720
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