प्रश्नावली-12.3
(जबतक तक अन्यथा न कहा जाए, π=22/7 का उपयोग कीजिए)
1. पाठ्यपुस्तक के पृष्ठ 257 की आकृति 12.19 में, छायांकित का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए, यदि PQ=7cm, PR=7cm तथा O वृत्त का केन्द्र है|
उत्तर:—
समकोण ∆QPR में,
QR2=PQ2+PR2
QR2=(7)2+(24)2=49+576=625
QR=√625=25cm
r=25/2cm
छायांकित भाग का क्षेत्रफल=
अर्द्ध वृत्त का क्षेत्रफल – ∆PQR का क्षेत्रफल
1 πr2 – 1 ×PQ×PR
2 2
1 × 22 × 25 × 25 – 1 ×24×7
2 7 2 2 2
= 1 ( 11×625 -168)= 1 ( 6875-2352 )
2 14 2 14
= 1 × 4522 = 4523
2 14 28
2. पाठ्यपुस्तक के पृष्ठ 257 पर की आकृति 12.20 में, छायांकित भाग का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए, यदि केन्द्र O वाले दोनों सकेन्द्रीय वृत्तों की त्रिज्याएं क्रमशः 7cm और 14cm है तथा <AOC है|
उत्तर:—
D=14cm r=14/2=7cm
छायांकित भाग का क्षेत्रफल=
त्रिज्यखंड OACO का क्षेत्रफल- त्रिज्यखंड OBDO का क्षेत्रफल
40 × 22 ×14×14- 40 × 22 ×7×7
360 7 360 7
22 (196-49)= 22×147 = 154
63 63 3
3. पाठ्यपुस्तक के पृष्ठ 257 पर की आकृति 12.21 में, छायांकित भाग का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए, यदि ABCD भुजा 14cm का एक वर्ग है तथा APD और BPC दो अर्द्ध वृत्त है|
उत्तर:—
r=14/2=7cm
छायांकित भाग का क्षेत्रफल
=वर्ग का क्षेत्रफल – 2× अर्द्ध वृत्त का क्षेत्रफल
=14×14-2× 1 × 22 ×7×7
2 7
=196-154=42
4. पाठ्यपुस्तक के पृष्ठ 258 पर आकृति 12.22 में छायांकित भाग का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए, जहाँ भुजा 12 सेमी वाले एक समबाहु त्रिभुज OAB के शीर्ष O को केन्द्र मानकर 6cm त्रिज्या वाला एक वृत्तीय चाप खींचा गया है|
उत्तर:—
छायांकित भाग का क्षेत्रफल=
दीर्घ त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल+समबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल
= 300 × 22 ×6×6+ √3 ×12×12
360 7 4
= 660 +36√3
7
4. भुजा 4 सेमी वाले एक वर्ग के प्रत्येक कोने से 1 सेमी त्रिज्या वाले वृत्त का एक चतुर्थांश काटा गया है तथा बीच में 2 सेमी व्यास का एक वृत्त भी काटा गया है, जैसा कि पाठ्यपुस्तक के पृष्ठ 258 पर की आकृति 12.23 में दर्शाया गया है| वर्ग के शेष भाग का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए|
उत्तर:—
वर्ग के शेष भाग का क्षेत्रफल=
वर्ग का संपूर्ण क्षेत्रफल-(4×चतुर्थांशों का क्षेत्रफल+बीच के वृत्त का क्षेत्रफल
=4×4 – (4× 1 ×πr2+πr2)
4
=16-{4× 1 × 22 ×(1)2+ 22 ×(1)2}
4 7 7
=16- 22 – 22
7 7
= 112-44 = 68
7 7
6. एक वृत्ताकार मेजपोश जिसकी त्रिज्या 32cm है, में बीच में एक समबाहु त्रिभुज ABC छोड़ते हुए एक डिजाइन बना हुआ है, जैसा कि पाठ्यपुस्तक के पृष्ठ 258 की आकृति 12.24 में दिखाया गया है| इस छायांकित डिजाइन का क्षेत्रफल कीजिए|
उत्तर:—
माना कि वृत्ताकार मेजपोश का केंद्र O है| जिसकी त्रिज्या 32 CM है| तब, OA=OB=OC=32cm है| स्पष्टतः ∆OAB, ∆OBC और ∆∆OCA प्रत्येक समद्विबाहु त्रिभुज है जिनकी बराबर भुजाएँ 32cm लंबी है| केंद्र O से भुजा BC पर OM|BC खींचा| स्पष्टतः
∆OMB = ∆OMC
BM=MC, <BOM=<COM
M, BC का मध्य बिंदु है तथा <BOM=60°=<COM
अब समकोण OMB से,
OM =cos60
OB
OM = 1
32 2
OM=32/2=16cm
BM =sin60
OB
BM = √3
32 2
BM=16√3
BC=2BM=2×16√3=32√3
∆OBC का क्षेत्रफल
= 1 ×BC×OM= 1 ×32√3×16
2 2
=256√3
∆ABC का क्षेत्रफल
=3×256√3=768√3cm2
केन्द्र वाले वृत्त का क्षेत्रफल, जिसकी त्रिज्या
32 सेमी है,
πr2= 22 ×32×32= 22×32×32
7 7
= 22528
7
छायांकित डिजाइन का क्षेत्रफल=
22528-768√3
7
7. पाठ्यपुस्तक के पृष्ठ 258 की आकृति 12.25 में, ABCD भुजा 14cm वाला एक वर्ग है| A, B, C और D को केन्द्र मानकर, चार वृत्त इस प्रकार खींचे गए हैं कि प्रत्येक वृत्त शेष तीन वृत्तों में से दो वृत्तों को बाह्य रूप से स्पर्श करता है| छायांकित भाग का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए|
उत्तर:—
छायांकित भाग का क्षेत्रफल=
वर्ग का पूर्ण क्षेत्रफल- चारों चतुर्थांश का क्षेत्रफल
a2 – 4× 1 πr2
4
14×14 – 22 ×7×7
7
196-154=42cm2
8. पाठ्यपुस्तक के पृष्ठ 259 की आकृति 12.26 दौड़ने का एक परिपथ (racing track) दर्शाती है, जिसके बाएंऔर दाएं सिरे अर्द्ध वृत्ताकार है| दोनों आंतरिक समांतर रेखा खंडों के बीच की दूरी 60 मी है तथा इनमें से प्रत्येक रेखा खंड 106 मी लंबा है| यदि यह पथ 10 मी चौड़ा है, तो ज्ञात कीजिए:
पथ के आंतरिक किनारों के अनुदिन एक पूरा चक्कर लगाने में चली गई दूरी|
पथ का क्षेत्रफल|
उत्तर:—
(i)पथ के आंतरिक किनारों के अनुदिश एक पूरा चक्कर लगाने में चली गई दूरी
2×107+2× आंतरिक अर्द्ध परिधि
212+2× 1 ×2πr
212+2× 22 ×30
7
212×7+44×30 = 1484+1320 = 2804
7 7 7
(ii) पथ का क्षेत्रफल=(2× आयत का क्षेत्रफल जो 106×10 है) +(2× अर्द्ध वृत्ताकार पथ का क्षेत्रफल जिसकी बाहरी त्रिज्या R=40m और आंतरिक त्रिज्या r=30m है)
(2×106×10)+2× 1 π(R2-r2)
2
2120+ 22 (40×40-30×30)
7
2120+ 22 (70×10)
7
2120+2200=4320m2
9. पाठ्यपुस्तक के पृष्ठ 259 की आकृति 12.27 में, AB और CD केन्द्र O वाले एक वृत्त के दो परस्पर लंब व्यास है तथा छोटे वृत्त का व्यास है| यदि OA=7cm है, तो छायांकित भाग का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए|
उत्तर:—
वृत्त का केन्द्र है और OA=7cm है
OA=OB=OC=OD=7cm
AB=OA+OB=14cm
समकोण ∆AOC का क्षेत्रफल=
1 ×7×7= 49
2 2
समकोण ∆BOC का क्षेत्रफल=
1 ×7×7= 49
2 2
त्रिज्यखंड OAQCO का क्षेत्रफल=
90 × 22 ×7×7= 77
360 7 2
त्रिज्यखंड OBPCO का क्षेत्रफल=
90 × 22 ×7×7= 77
360 7 2
वृत्त खंड AQCA का क्षेत्रफल=
त्रिज्यखंड OAQCO का क्षेत्रफल – ∆ का क्षेत्रफल
= 77 – 49 = 77-49 = 28 =14
2 2 2 2
वृत्त खंड BPCB का क्षेत्रफल=
77 – 49 =14
2 2
OD=7cm व्यास वाले वृत्त का क्षेत्रफल=
πr2= 22 × 7 × 7 = 77
7 2 2 2
छायांकित भाग का क्षेत्रफल=
14+14+ 77
2
28+28+77 = 133 =66.5cm2
2 2
10. एक समबाहु त्रिभुज ABC का क्षेत्रफल 17320.5cm2 है| इस त्रिभुज के प्रत्येक शीर्ष को केन्द्र मानकर त्रिभुज की भुजा के आधे के बराबर की त्रिज्या लेकर एक वृत्त खींचा जाता है (देखें पाठ्यपुस्तक के पृष्ठ 259 की आकृति 12.28)| छायांकित भाग का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए|
(π=3.14 और √3=1.73205 लीजिए)
उत्तर:—
समबाहु ∆ABC त्रिभुज का क्षेत्रफल=17320.5
√3 (भुजा)2=17320.5
4
(भुजा)2= 17320.5×4
√3
(भुजा)2= 17320.5×4 =40000
1.73205
भुजा=√40000=200cm
AB=BC=CA=200cm
1 AB=100
2
प्रत्येक वृत्त की त्रिज्या 100cm और प्रत्येक कोण 60° है
प्रत्येक त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल=
60 ×3.14×100×100
360
= 1 ×31400
6
तीनों त्रिज्यखंडों का क्षेत्रफल=
3× 1 ×31400=15700
6
छायांकित भाग का क्षेत्रफल
=17320.5-15700=1620.5
11. एक वर्गाकार रूमाल पर नौ वृत्ताकार बने हैं, जिनमें से प्रत्येक की त्रिज्या 7 सेमी है (देखें पाठ्यपुस्तक के पृष्ठ 259 की आकृति 12.29) | रूमाल के शेष भाग का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए|
उत्तर:—
वर्गाकार रूमाल ABCD की प्रत्येक भुजा
=3×वृत्ताकार डिजाइन का व्यास
=3×(2×7)=42cm
वर्गाकार रूमाल ABCD का क्षेत्रफल
=(भुजा)2=42×42=1764cm2
प्रत्येक वृत्ताकार डिजाइन का क्षेत्रफल
=πr2= 22 ×7×7=154cm2
7
इसी प्रकार के 9 डिजाइनों का कुल क्षेत्रफल
=9×154=1386cm2
रूमाल के शेष भाग का क्षेत्रफल=
वर्ग ABCDका क्षेत्रफल – 9 वृत्ताकार डिजाइनों का क्षेत्रफल
=1764-1386=378cm2
12. पाठ्यपुस्तक के पृष्ठ 260 की आकृति 12.30 में, OACB केंद्र O वाले और त्रिज्या 3.5cm वाले एक वृत्त का चतुर्थांश है| यदि OD=2cm है, तो निम्नलिखित के क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए:
(i) चतुर्थांश OACB
(ii)छायांकित भाग
उत्तर:—
(i)चतुर्थांश OACB= 1 πr2
4
= 1 × 22 ×3.5×3.5
4 7
= 1 × 11 × 7 × 7 = 77
2 7 2 2 8
(ii) समकोण ∆OBD का क्षेत्रफल=
1 ×3.5×2=3.5
2
छायांकित भाग का क्षेत्रफल=
77 -3.5= 77-28 = 49
8 8 8
13. पाठ्यपुस्तक के पृष्ठ 260 की आकृति 12.31 में, एक चतुर्थांश OPBQ के अंतर्गत एक वर्ग OABC बना हुआ है| यदि है, तो छायांकित भाग का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए| (π=3.14 लीजिए)
उत्तर:—
चतुर्थांश OPBQ की त्रिज्या,OB=√OA2+AB2
=√(20)2+(20)2=√400+400=√800=20√2
चतुर्थांश OPBQ का क्षेत्रफल=
1 πr2= 1 ×3.14×(20√2)2
4 4
= 1 ×3.14×800=628
4
वर्ग का क्षेत्रफल= (भुजा)2=20×20=400
छायांकित भाग का क्षेत्रफल =चतुर्थांश OPBQ का क्षेत्रफल – वर्ग ABCD का क्षेत्रफल
=628-400=228
14. AB और CD केन्द्र O तथा त्रिज्याओं 21CM और 7CM वाले दो संकेन्द्रीय वृत्तों के क्रमशः दो चप है (देखें पाठ्यपुस्तक के पृष्ठ 260 की आकृति 12.32) यदि <AOB=30° है, तो छायांकित भाग का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए|
उत्तर:–
चाप AB द्वारा निर्मित त्रिज्यखंड OAB जिसमें 30° और त्रिज्या R=21CM है,
का क्षेत्रफल= 30 × 22 ×21×21
360 7
= 11×21 = 231
2 2
CD चाप द्वारा निर्मित त्रिज्यखंड OCD जिसमें 30° और त्रिज्या R=7CM है का क्षेत्रफल
30 × 22 ×7×7= 77
360 7 6
छायांकित भाग का=
त्रिज्यखंड OAB का क्षेत्रफल – त्रिज्यखंड OCD का क्षेत्रफल
= 231– 77 = 693-77 × 616 = 308
2 6 6 6 3
15. पाठ्यपुस्तक के पृष्ठ 260 की आकृति 12.33 में, ABC, त्रिज्या 14 सेमी वाले एक वृत्त का चतुर्थांश है तथा BC को व्यास मान कर एक अर्द्ध वृत्त खींचा गया है|छायांकित भाग का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए|
उत्तर:—-
चतुर्थांश ACPB का क्षेत्रफल=
1 × 22 ×14×14
4 7
= 1 × 22 ×14×14=154
4 7
समकोण त्रिभुज का क्षेत्रफल=
1 ×AC×BC= 1 ×14×14
2 2
वृत्त खंड BPCP का क्षेत्रफल=
त्रिज्यखंड ACPB का क्षेत्रफल – ∆का क्षेत्रफल
154-98
ABC,
BC=√(14)2+(14)2=14√2
R=14√2/2=7√2CM
क्षेत्रफल= 1 πR2= 1 × 22 ×7×7×2=154
2 2 7
छायांकित भाग का क्षेत्रफल=154-56=98
16. पाठ्यपुस्तक के पृष्ठ 261 की आकृति 12.34 में, छायांकित डिजाइन का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए, जो 8 सेमी त्रिज्याओं वाले दो वृत्तों के चतुर्थांश के बीच उभयनिष्ठ है|
उत्तर:—
छायांकित भाग का क्षेत्रफल=
चतुर्थांश का क्षेत्रफल+ चतुर्थांश का क्षेत्रफल- वर्ग का क्षेत्रफल
= 1 × 22 ×8×8+ 352 -64
4 7 7
= 352 + 352 -64
7 7
= 704-448 = 256
7 7
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