प्रश्नावली-2.4
1. बताइए कि निम्नलिखित बहुपदों में से किस बहुपद का एक गुणनखंड x+1 है|
(i)x3+x2+x+1 (ii)x4+x3+x2+x+1
(iii)x4+3×3+3×2+x+1
(iv)x3-x2-(2+√2)x+√2
उत्तर:—
x+1=0 x=-1
(i)p(x)=x3+x2+x+1
p(-1)=(-1)3+(-1)2-1+1
=-1+1-1+1=0
(ii)p(x)=x4+x3+x2+x+1
p(-1)=(-1)4+(-1)3+(-1)2-1+1
=1-1+1-1+1=1
(iii)p(x)=x4+3×3+3×2+x+1
p(-1)=(-1)4+3×(-1)3+3×(-1)2-1+1
=1-3+3-1+1=1
(iv)p(x)=x3-x2-(2+√2)x+√2
p(-1)=(-1)3-(-1)2-(2+√2)(-1)+√2
=-1-1+2+√2+√2=2√2
2. गुणनखंड प्रमेय लागू करके बताइए कि निम्नलिखित स्थितियों में से प्रत्येक स्थिति में g(x), p(x) का एक गुणनखंड है या नहीं|
(i)p(x)=2×3+x2-2x-1, g(x)=x+1
(ii)p(x)=x3+3×2+3x+1, g(x)=x+2
(iii)p(x)=x3-4×2+x+6, g(x)=x-3
उत्तर:—
(i)p(x)=2×3+x2-2x-1, g(x)=x+1
x+1=0 x=-1
p(x)=2×3+x2-2x-1
p(-1)=2×(-1)3+(-1)2-2×(-1)-1
=-2+1+2-1=0
(ii)p(x)=x3+3×2+3x+1, g(x)=x+2
x+2=0 x=-2
p(x)=x3+3×2+3x+1
p(-2)=(-2)3+3×(-2)2+3×(-2)+1
=-8+12-6+1=-1
(iii)p(x)=x3-4×2+x+6, g(x)=x-3
x-3=0 x=3
p(x)=x3-4×2+x+6
p(3)=(3)3-4(3)2+3+6
=27-36+9=36-36=0
3. k का मान ज्ञात कीजिए जबकि निम्नलिखित प्रत्येक स्थिति में (x-1), p(x) का एक
गुणनखंड हो|
(i)p(x)=x2+x+k (ii)p(x)=2×2+kx+√2
(iii)p(x)=kx2-√2x+1 (iv)p(x)=kx2-3x+k
उत्तर:—
x-1=0 x=1
(i)p(x)=x2+x+k
p(1)=(1)2+1+k
=2+k
2+k=0, k=-2
(ii)p(x)=2×2+kx+√2
p(1)=2×(1)2+k×1+√2
=2+k+√2
2+k+√2=0, k=-(2+√2)
(iii)p(x)=kx2-√2x+1
p(1)=k(1)2-√2×1+1
=k-√2+1
k-√2+1=0, k=√2-1
(iv)p(x)=kx2-3x+k
p(1)=k(1)2-3×1+k
=k-3+k=2k-3
2k-3=0, 2k=3 k=3/2
4. गुणनखंड ज्ञात कीजिए|
(i)12×2-7x+1
12×2-3x-4x+1
3x(4x-1)-1(4x-1)
(4x-1)(3x-1)
(ii)2×2+7x+3
2×2+6x+x+3
2x(x+3)+1(x+3)
(x+3)(2x+1)
(iii) 6×2+5x-6
6×2+9x-4x-6
3x(2x+3)-2(2x+3)
(2x+3)(3x-2)
(iv) 3×2+x-4
3×2-4x+3x-4
x(3x-4)+1(3x-4)
(3x-4)(x+1)
5. गुणनखंड ज्ञात कीजिए:
(i) x3-2×2-x+2
उत्तर:—
p(x)=x3-2×2-x+2
अचर पद=2,
2 का संभावित गुणनखंड=1, -1, 2,-2
x=1
p(1)=(1)3-2(1)2-1+2=1-2-1+2=0
x=1, x-1
x-1) x3-2×2-x+2 (x2-x-2
x3-x2
-x2-x
-x2+x
-2x+2
-2x+2
x
x3-2×2-x+2=(x-1)(x2-x-2)
=(x-1)(x2-2x+x-2)
=(x-2){x(x-2)+1(x-2)}
=(x-2)(x-2)(x+1)
(ii) x3 -3×2-9x-5
उत्तर:—
p(x)=x3 -3×2-9x-5
अचर पद=5,
5 का संभावित गुणनखंड=1, -1, 5,-5
x=-1
p(-1)=(-1)3-3(-1)2-9(-1)-5
=-1-3+9-5=0
x=-1, x+1
x+1)x3 -3×2-9x-5(x2-4x-5
x2+x2
-4×2-9x
-4×2-4x
-5x-5
-5x-5
X
x3 -3×2-9x-5=(x+1)(x2-4x-5)
=(x+1)(x2-5x+x-5)
=(x+1){x(x-5)+1(x+5)}
=(x+1)(x-5)(x+1)
(iii) x3+13×2+32x+20
उत्तर:—
p(x)=x3+13×2+32x+20
अचर पद=20,
x=-2
p(-2)=(-2)3+13(-2)2+32(-2)+20
=-8+52-64+20=0
x=-2, x+2
x3+13×2+32x+20
=x2(x+2)+11x(x+2)+10(x+2)
=(x+2)(x2+11x+10)
=(x+2)(x2+10x+x+10)
=(x+2){x(x+10)+1(x+10)}
=(x+10)(x+10)(x+1)
(iv) 2y3+y2-2y-1
उत्तर:—
p(y)=2y3+y2-2y-1
अचर पद=-1
-1 का संभावित गुणनखंड=1, -1
y=1
p(1)=2(1)3+(1)2-2(1)-1
=2+1-2-1=0
y=1, y-1
2y3+y2-2y-1
=2y2(y-1)+3y(y-1)+1(y-1)
=(y-1)(2y2+3y+1)
=(y-1)(2y2+2y+y+1)
=(y-1){2y(y+1)+1(y+1)}
=(y-1)(y+1)(2y+1)
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