प्रश्नावली-2.5
1. उपयुक्त सर्वसमिकाओं को प्रयोग करके निम्नलिखित गुणनफल ज्ञात कीजिए|
(i)(x+4)(x+10) (ii)(x+8)(x-10)
(iii)(3x+4)(3x-5)
(iv)(y2 + 3 )(y2 – 3 ) (v)(3-2x)(3+2x)
2 2
उत्तर:—
(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab
(i)(x+4)(x+10)
=x2+(4+10)x+4×10
=x2+14x+40
(ii)(x+8)(x-10)
=x2+(8-10)x+8×(-10)
=x2-2x-80
(iii)(3x+4)(3x-5)
=(3x)2+(4-5)(3x)+4×(-5)
=9×2-3x-20
(iv)(y2 + 3 )(y2 – 3 )
2 2
=(y2)2 – 3 × 3
2 2
=y4 – 9
4
(v)(3-2x)(3+2x)
=(3)2-(2x)2
=9-4×2
2. सीधे गुणा किए बिना निम्नलिखित गुणनफलों के मान ज्ञात कीजिए|
(i)103×107 (ii)95×95 (iii)104×96
उत्तर:—
(i)103×107
(100+3)(100+7)
(100)2+(3+7)×(100)+3×7
10000+1000+21=11021
(ii)95×96
(100-5)(100-4)
(100)2+(-5-4)×(100)+(-4)×(-5)
10000-900+20=9120
(iii)104×96
(100+4)(100-4)
100×100-4×4
10000-16=9984
3. उपर्युक्त सर्वसमिकाएँ प्रयोग करके निम्नलिखित का गुणनखंड कीजिए|
(i)9×2+6xy+y2 (ii) 4y2-4y+1(iii)x2- y2
100
उत्तर:–
(i)9×2+6xy+y2
(3x)2+2×3x×y+(y)2
(3x+y)2=(3x+y)(3x+y)
(ii) 4y2-4y+1
(2y)2-2×2y×1+(1)2
(2y-1)2=(2y-1)(2y-1)
(iii)x2- y2
100
(x)2 – ( y )2
10
(x + y ) (x – y )
10 10
4. उपर्युक्त सर्वसमिकाओं का प्रयोग करके निम्नलिखित में से प्रत्येक का प्रसार कीजिए|
(i)(x+2y+4z)2 (ii)(2x-y+z)2
(iii)(-2x+3y+2z)2 (iv)(3a-7b-c)2
(v)(-2x+5y-3z)2 (vi)( 1 a- 1 b+1)2
4 2
उत्तर:—
(i)(x+2y+4z)2
=(x)2+(2y)2+(4z)2+2×x×2y+2×2y×4z+2×4z×x
=x2+4y2+16z2+4xy+16yz+8zx
(ii)(2x-y+z)2
=(2x)2+(-y)2+(z)2+2×2x×(-y)+2×
(-y)×(z)+2×z×2x
=4×2+y2+z2-4xy-2yz+4zx
(iii)(-2x+3y+2z)2
=(-2x)2+(3y)2+(2z)2+2×(-2x)×3y+2×3y×2z+2×2z×(-2x)
=4×2+9y2+4z2-12xy+12yz-8zx
(iv)(3a-7b-c)2
=(3a)2+(-7b)2+(-c)2+2×3a×(-7b)
+2×(-7b)(-c)+2(-c)3a
=9a2+49b2+c2-42ab+14bc-6ac
(v)(-2x+5y-3z)2
=(-2x)2+(5y)2+(-3z)2+2×(-2x)×(5y)
+2×5y×(-3z)+2×(-3z)×(-2x)
=4×2+25y2+9z2:20xy-30yz+12zx
(vi)( 1 a- 1 b+1)2
4 2
=( 1 a)2+( -1 b)2+(1)2
4 2
+2× 1 a× -1b +2× -1 ×1+2×1× 1 a
4 2 2 4
= 1 a2+ 1 b2+1- ab -b+ a
16 4 4 2
5. गुणनखंड कीजिए|
(i)4×2+9y2+16z2+12xy-24yz-16yz
उत्तर:–
4×2+9y2+16z2+12xy-24yz-16yz
=(2x)2+(3y)2(-4z)2+2×2x×3y+ 2×(-4z)×(3y) +2×(-4z)2x
=(2x+3y-4z)2=(2x+3y-4z)(2x+3y-4z)
(ii)2×2+y2+8z2-2√2xy+4√2yz-8zx
उत्तर:–
2×2+y2+8z2-2√2xy+4√2yz-8zx
=(-√2x)2+(y)2+(2√2z)2+2×(-√2x)×y+2×y×2√2z+2×2√2z×(-√2x)
=(-√2+y+2√2)2
=(-√2+y+2√2)(-√2+y+2√2)
6.निम्नलिखित घनों को प्रसारित
रूप में लिखिए|
(i)(2x+1)3 (ii)(2a-3b)3
(iii)( 3 x+1)3 (iv)(x – 2y )3
2 3
उत्तर:—-
(i)(2x+1)3
(2x)3+(1)3+3(2x)(1)(2x+1)
8×3+1+12×2+6x
8×3+12×2+6x+1
(ii)(2a-3b)3
(2a)3-(3b)3-3(2a)(3b)(2a-3b)
8a3-27b3-36a2b+54ab2
8a3-36a2b+54ab2-27b3
(iii)( 3 x+1)3
2
( 3x )3+(1)3+3( 3 x)(1)( 3 x+1)
2 2 2
27×3 +1 + 27×2 + 9x
8 4 2
(iv)(x – 2y )3
3
(x)3 -3(x)2( 2 y)+3(x)( 2 y) – ( 2y )3
3 3 3
x3 -2x2y + 4xy2 – 8y3
3 27
7. उपर्युक्त सर्वसमिकाओं का उपयोग करके निम्नलिखित के मान ज्ञात कीजिए|
(i)(99)3 (ii)(102)3 (iii)(998)3
उत्तर:—
(i)(99)3
(100-1)3
=(100)3-3(100)2×1+3(100)(1)2-(1)3
=1000000-30000+300-1
=970299
(ii)(102)3
=(100+2)3
=(100)3+(2)3+3(100)2×2+3(100)(2)2
=1000000+8+30000+1200
=1061208
(iii)(998)3
=(1000-2)3
=(1000)3-3(1000)2×(2)
+3(1000)(2)2-(2)3
=1000000000-6000000+12000-8
=994011992
8. निम्नलिखित में से प्रत्येक का गुणनखंड
कीजिए|
(i)8a3+b3+12a2b+6ab2
Answer:—-
8a3+b3+12a2b+6ab2
(2a)3+(b)3+3(2a)2(b)+3(2a)(b)2
(2a+b)3=(2a+b)(2a+b)(2a+b)
(ii)8a3-b3-12a2b+6ab2
Answer:—-
8a3-b3-12a2b+6ab2
(2a)3-(b)3-3(2a)2(b)+3(2a)(b)2
(2a-b)3=(2a-b)(2a-b)(2a-b)
(iii)27-125a3-135a+225a2
Answer:—-
27-125a3-135a+225a2
(3)3-(5a)3-3(3)2(5a)+3(3)(5a)2
(3-5a)3=(3-5a)(3-5a)(3-5a)
(iv)64a3-27b3-144a2b+108ab2
Answer:—-
64a3-27b3-144a2b+108ab2
(4a)3-(3b)3-3(4a)2(3b)+3(4a)(3b)2
(4a-3b)3=(4a-3b) (4a-3b) (4a-3b)
(v)27p3 – 1 – 9 p2+ 1 p
216 2 4
Answer:—
27p3 – 1 – 9 p2 + 1 p
216 2 4
(3p)3-( 1 )3-3(3p)2( 1 )+3(3p)( 1 )
6 6 6
(3p- 1 )3=(3p- 1 )(3p- 1 )(3p- 1 )
6 6 6 6
9. सत्यापित कीजिए:
(i)x3+y3=(x+y)(x2-xy+y2)
Answer:—
LHS=(x+y)(x2-xy+y2)
=x3-x2y+xy2+x2y-xy2+y3
=x3+y3=RHS
(ii)x3-y3=(x-y)(x2+xy+y2)
Answer:—
LHS=(x-y)(x2+xy+y2)
=x3+x2y+xy2-x2y-xy2-y3
=x3-y3=RHS
10. निम्नलिखित में से प्रत्येक का गुणनखंड कीजिए|
(i)27y3+125z3
Answer:—
27y3+125z3=(3y)3+(5z)3
(3y+5z){(3y)2-(3y)(5z)+(5z)2}
(3y+5z)(9y2-15yz+25z2)
(ii)64m3-343n3
Answer:—-
64m3-343n3=(4m)3-(7n)3
(4m-4n){(4m)2+4m×7n+(7n)2}
(4m-4n)(16m2+28mn+49n2)
11. गुणनखंड कीजिए|
27×3+y3+z3-9xyz
उत्तर:—
(3x)3+(y)3+(z)3-3(3x)(y)(z)
(3x+y-z){(3x)2+(y)2+(z)2-3xy-yz-z×3x
(3x+y-z)(9×2+y2+z2-3xy-yz-3xy)
12. सत्यापित कीजिए:
x3+y3+z3-3xyz
= 1 (x+y+z)[(x-y)2+(y-z)2+(z-x)2]
2
उत्तर:—
1 (x+y+z)
2
(x2-2xy+y2+y2-2yz+z2+z2-2zx+x2)
= 1 (x+y+z)(2×2+2y2+2z2-2xy-2yz-2zx)
2
=(x+y+z) (x2+y2+z2-xy-yz-zx)
=x3+y3+z3-3xyz
13. यदि x+y+z=0 हो, तो दिखाइए कि x3+y3+z3=3xyz है|
उत्तर:—
x+y+z=0
x+y=-z
(x+y)3=(-z)3
x3+y3+3xy(x+y)=(-z)3
x3+y3+3xy(-z)=(-z)3
x3+y3-3xyz=-z3
x3+y3+z3=3xyz proved
14. वास्तव में घनों का परिकलन किए बिना निम्नलिखित में से प्रत्येक का मान ज्ञात ज्ञात कीजिए:
(i)(-12)3+(7)3+(5)3
(ii)(28)3+(-15)3+(-13)3
उत्तर:—
(i) x3+y3+z3=3xyz
=(-12)×(7)×(5)=-1260
(ii)x3+y3+z3=3xyz
=(28)×(-15)×(-13)=16380
15. नीचे दिए गए आयतों, जिनमें उनके क्षेत्रफल दिए गए हैं, में से प्रत्येक की लंबाई और चौड़ाई के लिए संभव व्यंजक दीजिये|
(i)क्षेत्रफल:25a2-35a+12
(ii)क्षेत्रफल:35y2+3y-12
उत्तर:—
(i)25a2-35a+12
=25a2-20a-15a+12
=5a(5a-4)-3(5a-4)
=(5a-4)(5a-4)
(ii)35y2+3y-12
=35y2+28y-15y-12
=7y(5y+4)-3(5y+4)
=(5y+4)(7y-3)
16. घनाभों (Cuboids), जिनके आयतन नीचे दिए गए हैं कि विमाओं के लिए संभव व्यंजक क्या है?
(i)आयतन:3×2-12x
(ii)आयतन:12ky2+8ky-20k
उत्तर:—
(i)3×2-12x
3x(x-4)
(3)×(x)×(x-4)
3, x, (x-4)
(ii)12ky3+8ky-20k
4k(3y2+2y-5)
4k(3y2+5y-3y-5)
4k{y(3y+5)-1(3y+5)}
4k(3y+5)(y-1)
4k, 3y+5, y-1
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