प्रश्नावली-4.3
1. यदि निम्नलिखित द्विघात समीकरणों के मूलों का अस्तित्व हो तो इन्हें पूर्ण वर्ग बनाने की विधि द्वारा ज्ञात कीजिए कि:
(i)2×2-7x+3=0
Answer:—-
2×2-7x+3=0
ax2+bx+c=0
a=2 b=-7 c=3
b2-4ac=(-7)2-4×2×3=49-24=25
2×2-7x+3=0 ———–×2
4×2-14x+6=0
(2x)2-2×2x× 7 + ( 7 )2 – ( 7 )2+6=0
2 2 2
(2x- 7 )2- 49 +6=0
2 4
(2x- 7 )2= 25
2 4
(2x- 7 )=+- 5
2 2
2x- 7 = 5 2x- 7 =- 5
2 2 2 2
2x= 5 + 7 2x= -5 + 7
2 2 2 2
2x= 12 2x= 7-5
2 2
2x=6 2x=1
x=3 x=1/2
(ii) 2×2+x-4=0
Answer:—
2×2+x-4=0
ax2+bx+c=0
a=2 b=1 c=-4
b2-4ac=(1)2-4×(-4)×2=1+32=33
2×2+x-4=0 ———– ÷2
x2+ 1 x-2=0
2
(x)2+2×x× 1 + ( 1 )2-( 1 )2-2=0
4 4 4
(x+ 1 )2= 1 +2
4 16
(x + 1 )2= 1+32 = 33
4 16 16
x + 1 =+-√33
4 4
x + 1 =√ 33 x + 1 =-√ 33
4 4 4 4
x= √33-1 x= -√33-1
4 4
x= -1+√33 x= -1-√33
4 4
(iii) 4×2+4√3+3=0
Answer:—
4×2+4√3+3=0
ax2+bx+c=0
a=4 b=4√3 c=3
b2-4ac=(4√3)2-4×4×3=48-48=0
x= -b+-√D = -4√3+-√0 = -4√3
2a 2×4 8
= -√3 √3
2 2
(iv) 2×2+x+4=0
Answer:—-
2×2+x+4=0
a=2 b=1 c=4
b2-4ac=(1)2-4×2×4=1-32=-31
2. उपर्युक्त प्रश्न 1 में दिए गए द्विघात समीकरणों के मूल, द्विघात सूत्र का उपयोग करके, ज्ञात कीजिए|
उपर्युक्त प्रश्न 1 में निम्नलिखित द्विघात समीकरण दिए गए हैं:
(i)2×2-7x+3=0
Answer:—-
2×2-7x+3=0
a=2 b=-7 c=3
b2-4ac=(-7)2-4×2×(3)=49-24=25
x= -b+-√D = -(-7) +-√25 = 7+-5
2a 2×2 4
12 =3 2 = 1
4 4 2
(ii) 2×2+x-4=0
Answer:—
a=2 b=1 c=-4
b2-4ac=(1)2-4×2×(-4)=1+32=33
x= -b+-√D = -1+-√33
2a 2×2
-1+√33 -1-√33
4 4
(iii) 4×2+4√3x+3=0
Answer:—-
4×2+4√3x+3=0
a=4 b=4√3 c=3
b2-4ac=(4√3)2-4×4×3=48-48=0
x= -b+-√D = -4√3 +-√0
2a 2×4
-4√3 = -√3 √3
8 2 2
(iv) 2×2+x+40
Answer:—-
2×2+x+4=0
a=2 b=1 c=4
b2-4ac=(1)2-4×2×4=1-32=-31
3. निम्नलिखित समीकरणों के मूल ज्ञात कीजिए:
(i) x – 1 =3 , x=/0
x
Answer:—
x – 1 =3
x
x2-1 =3
x
x2-1=3x
x2-3x-1=0
a=1 b=-3 c=-1
b2-4ac=(-3)2-4×1×(-1)=9+4=13
x= -b+-√D = -(-3) +-√13
2a 2×1
3+√13 3-√13
2 2
(ii) 1 – 1 = 11 , x=/-4,7
x+4 x-7 30
Answer:—-
1 – 1 = 11
x+4 x-7 30
x-7-x-4 = 11
(x+4)(x-7) 30
-11 = 11
x2-3x-28 30
-1 = 1
x2-3x-28 30
x2-3x-28=30
x2-3x+2=0
a=1 b=-3 c=2
b2-4ac=(-3)2-4×1×2=9-8=1
x= -b+-√D = -(-3) +-√1
2a 2×1
3+1 = 4 =2 3-1 = 2 =1
2 2 2 2
4. 3 वर्ष पूर्व रहमान की आयु (वर्षों में) का व्युत्क्रम और अब से 5 वर्ष पश्चात् आयु के व्युत्क्रम का योग 1/3 है| उसकी वर्तमान आयु ज्ञात कीजिए|
उत्तर:—
माना कि रहमान की आयु x
3 वर्ष पूर्व उसकी आयु x-3 का व्युत्क्रम 1
x-3
5 वर्ष पश्चात् उसकी आयु x+5 का व्युत्क्रम 1
x+5
1 + 1 = 1
x-3 x+5 3
x+5+x-3 = 1
(x-3)(x+5) 3
x2+2x-15=6x+6
x2+2x-15-6x-6=0
x2-4x-21=0
a=1 b=-4 c=-21
b2-4ac=(-4)2-4×1×(-21=16+84=100
x= -b+-√D = -(-4) +-√100 = 4+-10
2a 2×1 2
4+10 = 14 =7 4-10 = -6 =-3
2 2 2 2
5. एक क्लास टेस्ट में शेफाली की गणित और अंग्रेज़ी में प्राप्त किए गए अंकों का योग 30 है| यदि उसको गणित में 2 अधिक और अंग्रेज़ी में 3 अंक कम मिले होते, तो उनके अंकों का गुणनफल 210 होता| उसके द्वारा दोनों विषयों में प्राप्त किए अंक ज्ञात कीजिए|
उत्तर:–
शेफाली को गणित में x अंक प्राप्त किए
उसके द्वारा अंग्रेज़ी में प्राप्त अंक 30-x
(x+2)(30-x-3)=210
(x+2)(27-x)=210
27x-x2+54-2x=210
x2-25x+156=0
a=1 b=-25 c=156
b2-4ac=(-25)2-4×1×156=625-624=1
x= -b+-√D = -(-25) +-√1 = 25+-1
2a 2×1 2
25+1 = 26 =13 25-1 = 24 =12
2 2 2 2
6. एक आयताकार खेत का विकर्ण उसकी छोटी भुजा से 60 मी अधिक लंबा है| बड़ी भुजा छोटी भुजा से 30 मी अधिक हो, तो खेत की भुजाएँ ज्ञात कीजिए|
उत्तर::—-
माना कि आयताकार खेत की छोटी भुजा x
बड़ी भुजा x+30 विकर्ण x+60
x2+(x+30)2=(x+60)2
x2+x2+60x+900=x2+120x+3600
x2-60x-2700=0
x2-90x+30x-2700=0
x(x-90)+30(x-90)=0
(x-90)(x+30)=0
x-90=0 x+30=0
x=90 x=-30
x+30=30+60=90
x+90=30+90=120
7. दो संख्याओं के वर्गों का अंतर 180 है| छोटी संख्या का वर्ग बड़ी संख्या का आठ गुना है| दोनों संख्याएँ ज्ञात कीजिए|
Answer:—-
माना कि बड़ी संख्या x छोटी संख्या आठ गुणा=8x
x2-8x=180
x2-8x-180=0
x2-18x+10x-180=0
x(x-18)+10(x-18)=0
(x-18)(x+10)=0
x-18=0 x+10=0
x=18 x=-10
छोटी संख्या का आठ गुणा=18×8=144
छोटी संख्या का आठ गुणा का वर्ग मूल
=√144=+-12
(18, 12) (18, -12)
8. एक रेलगाड़ी एक समान चाल से 360 km की दूरी तय करती है| यदि यह चाल 5km/h अधिक होती, तो वह उसी यात्रा में 1 घंटा कम समय लेती| रेलगाड़ी की चाल ज्ञात कीजिए|
उत्तर:—-
माना कि रेलगाड़ी की चाल x
360km दूरी तय करने में लगा समय 360
x
रेलगाड़ी की चाल में 5km/h वृद्धि करने पर,360
x+5
360 – 360 =1
x x+5
360(x+5) -x×360 =1
x(x+5)
360(x+5)-360x=x(x+5)
360x+1800-360x=x2+5x
x2+5x-1800=0
x2+45x-40x-1800=0
x(x+45)-40(x+45)=0
(x+45)(x-40)=0
x-40=0 x+45=0
x=40 x=-45
9. दो पानी के नल एक साथ एक हौज को 75/8 घंटों में भर सकते हैं| बड़े व्यास वाला नल हौज को भरने में, कम व्यास वाले नल से 10 घंटे कम समय लेता है| प्रत्येक द्वारा अलग से हौज को भरने के समय ज्ञात कीजिए|
उत्तर:—
माना कि कम व्यास वाले नल द्वारा अकेले (अलग से) हौज को भरने में लिया गया समय=x
बड़े व्यास वाले नल द्वारा अकेले (अलग से) उसी हौज को भरने में लिया गया समय=x-10
दोनों नल एक साथ उस हौज को भरने में लगा
समय=75/8
दोनों नलों द्वारा एकसाथ 1 घंटा में भरे जानेवाले हौज का भाग=8/75
1 घंटा में कम व्यास वाले नल द्वारा उस हौज को भरे जाने वाले भाग=1/x
बड़े व्यास वाले नल द्वारा उस हौज को 1 घंटा में भरे जाने वाला भाग= 1
x-10
1 + 1 = 8
x x-10 75
(x-10)+x = 8
x(x-10) 75
(2x-10)×75=8×{(x(x-10)}
150x-750=8×2-80x
8×2-230x+750=0
4×2-115x+375=0
4×2-100x-15x+375=0
4x(x-25)-15(x-25)=0
(x-25)(4x-15)=0
x-25=0 4x-15=0
x=25 4x=15
x-10=25-10= x=15/4
10. मैसूर और बैंगलौर के बीच के 132km यात्रा करने में एक एक्सप्रेस रेलगाड़ी सवारी गाड़ी से 1 घंटा कम समय लेगी (मध्य प्रदेश के स्टेशनों पर ठहरने का समय ध्यान में न लिया जाए)| यदि एक्सप्रेस रेलगाड़ी की औसत चाल, सवारी गाड़ी की औसत चाल से 11km/h अधिक हो, तो दोनों रेलगाड़ियों की औसत चाल ज्ञात कीजिए|
उत्तर:—
माना कि सवारी गाड़ी की औसत चाल=x
एक्सप्रेस गाड़ी की चाल x+11
132km दूरी तय करने में सवारी गाड़ी द्वारा लिया गया समय 132
x
उसी यात्रा में एक्सप्रेस गाड़ी द्वारा लिया गया
समय 132
x+11
132 – 132 =1
x x+11
132(x+11-x) =1
x(x+11)
(x+11-x) = 1
x(x+11) 132
x2+11x=11×132
x2+11x-1452=0
x2+44x-33x-1452=0
x(x+44)-33(x+44)=0
(x+44)(x-33)=0
x-33=0 x+44=0
x=33 x=-44
x+11=33+11=44
11. दो वर्गों के क्षेत्रफलों का योग 468m2 है| यदि उनके परिणामों का अंतर 24m हो, तो दोनों वर्गों की भुजाएँ ज्ञात कीजिए|
Answer:—
माना कि एक वर्ग की भुजा x
क्षेत्रफल=x2
दूसरे वर्ग का क्षेत्रफल 468-x2
पहले वर्ग का परिमाप 4x
दूसरे वर्ग का परिमाप 4x-24
दूसरे वर्ग की भुजा 4x-24 =x-6
4
दूसरे वर्ग का क्षेत्रफल (x-6)2
(x-6)2=468-x2
x2-12x+36=468-x2
2×2-12x-432=0
x2-6x-216=0
x2-18x+12x-216=0
x(x-18)+12(x-18)=0
(x-18)(x+12)=0
x-18=0 x+12=0
x=18 x=-12
x-6=18-6=12
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