प्रश्नावली-3.6
1. निम्न समीकरणों के युग्मों को रैखिक समीकरणों के युग्म में बदल करके हल कीजिए:
(i) 1 + 1 =2
2x 3y
1 + 1 = 13
3x 2y 6
Answer:—-
1 =p 1 =q
x y
2p+3q=2 ——-(1)
3p+2q= 13 ——-(2)
6
समी(1)×3 और (2)×2 से,
6p+9q=6
6p+4q=13/3
5q=6- 13 = 18-13 = 5
3 3 3
5q= 5
3
q= 1
3
q का मान समी० (1) में देने पर,
2p+3q=2
2p+3× 1 =2
3
2p+1=2
2p=2-1=1
p= 1
2
p और q का मान वापस लेने पर,
1 =p 1 =q
x y
1 = 1 1 = 1
x 2 y 3
x=2 y=3
(ii) 2 + 3 =2
√x √y
4 – 9 =-1
√x √y
Answer:—–
1 =p 1 =q
√x √y
2p+3q=2 ——(1)
4p-9q=-1 ——-(2)
समी(1)×2 और (2) से,
4p+6q=4
4p-9q=-1
15q=5
q=5/15
q= 1
3
q का मान समी० (1) में देने पर,
2p+3q=2
2p+3× 1 =2
3
2p+1=2
2p=2-1=1
p= 1
2
p और q का मान वापस लेने पर,
1 =p 1 =q
√x √y
1 = 1 1 = 1
√x 2 √y 3
√x=2 √y=3
x=4 y=9
(iii) 4 + 3y=14
x
3 – 4y=23
x
Answer:—-
1 =z
x
4z+3y=14 —–(1)
3z-4y=23 ——(2)
समी(1)×3 और (2)×4 से,
12z+9y=42
12z-16y=92
25y=-50
y=-50/25=-2
y का मान समी० (1) में देने पर,
4z+3y=14
4z+3×(-2)=14
4z-6=14
4z=14+6=20
z=20/4=5
1 =z
x
1 =5 x= 1
x 5
(iv) 5 + 1 =2
x-1 y-2
6 – 3 =1
x-1 y-2
Answer:—–
1 =p 1 =q
x-1 y-2
5p+q=2 ——(1)
6p-3q=1 ——-(2)
समी(1)×6 और (2)×5 से,
30p+6q=12
30p-15q=5
21q=7
q=7/21
q= 1
3
q का मान समी० (1) में देने पर,
5p+q=2
5p+ 1 =2
3
5p=2- 1 = 6-1 = 5
3 3 3
5p= 5 p= 1
3 3
p और q का मान वापस लेने पर,
1 = 1 1 = 1
x-1 3 y-2 3
x-1=3 y-2=3
x=3+1=4 y=3+2=5
(v) 7x-2y =5
xy
7x-2y=5xy ——-(1)
8x+7y =15
xy
8x+7y=15xy ———(2)
समी(1)×8 और (2)×7 से,
56x-16y=40xy
56x+49y=105xy
-65y=-65xy
x=1
x का मान समी० (1) में देने पर,
7x-2y=5xy
7×1-2y=5×1×y
7×1-2y=5y
7=5y+2y=7y
y=1
(vi) 6x+3y=6xy
2x+4y=5xy
Answer:—-
6x+3y=6xy ——-(1)
2x+4y=5xy ——-(2)
समी(1) और (2)×3 से,
6x+3y=6xy
6x+12y=15xy
-9y=-9xy
x=1
x का मान समी० (1) में देने पर,
6x+3y=6xy
6×1+3y=6×1×y
6+3y=6y
6=6y-3y=3y
y=6/3=2
(vii) 10 + 2 =4
x+y x-y
15 – 5 =-2
x+y x-y
Answer:—–
1 =p 1 =q
x+y x-y
10p+2q=4 ——-(1)
15p-5q=-2 ——-(2)
समी(1)×5 और (2)×2 से,
50p+10q=20
30p-10q=-4
80p=16
p=16/80=1/5
p का मान समी० (1) में देने पर,
10p+2q=4
10× 1 + 2q=4
5
2+2q=4
2q=4-2=2
q=2/2=1
p और q का मान वापस लेने पर,
1 =p 1 =q
x+y x-y
1 = 1 1 =1
x+y 5 x-y
x+y=5 —-(3) x-y=1—-(4)
समी (3) और (4) से,
x+y=5
x-y=1
2x=6
x=6/2=3
x का मान समी० (3) में देने पर,
x+y=5
3+y=5 y=5-3=2
(viii) 1 + 1 = 3
3x+y 3x-y 4
1 – 1 =-1
2(3x+y) 2(3x-y) 8
Answer:—-
1 =p 1 =q
3x+y 3x-y
p+q=3/4 ——(1)
1/2p-1/2q=-1/8
p -q = -1
2 8
p-q= -1 ——(2)
4
समी (1) और (2) से,
p+q=3/4
p-q=-1/4
2q= 3 – 1 = 3-1 = 2
4 4 4 4
2q= 1
2
q= 1
2
q का मान समी० (1) में देने पर,
p+q=3/4
p+1/2=3/4
p= 3 – 1 = 3-2 = 1 = 1
4 2 4 4 4
p और q का मान वापस लेने पर,
1 =p 1 =q
3x+y 3x-y
1 = 1 1 = 1
3x+y 4 3x-y 2
3x+y=4 —–(3) 3x-y=2 —–(4)
समी (3) और (4) से,
3x+y=4
3x-y=2
6x=6
x=1
x का मान समी० (3) में देने पर,
3x+y=4
3×1+y=4
y=4-3=1
2. निम्न समस्याओं को रैखिक समीकरण युग्म के रूप में व्यक्त कीजिए और फिर उनके हल ज्ञात कीजिए:
(i) रितु धारा के अनुकूल 2 घंटे में 20km तैर सकती है और धारा के प्रतिकूल 2 घंटे में 4km तैर सकती है| उसकी स्थिर जल में तैरने की चाल तथा धारा की चाल ज्ञात कीजिए|
उत्तर:—–
माना कि रितु की स्थिर जल में तैरने की चाल xkm/h है और धारा की चाल ykm/h
x+y=10 ——-(1)
x-y=2 ———(2)
समी (1) और (2) से,
x+y=10
x-y=2
2x=12
x=6
x का मान समी० (1) में देने पर,
x+y=10
6+y=10
y=10-6=4
(ii) 2 महिलाएँ एवं 5 पुरूष एक कसीदे के काम को साथ साथ 4 दिन में पूरा कर सकते हैं, जबकि 3 महिलाएँ एवं 6 पुरूष इसको 3 दिन में पूरा कर सकते हैं| ज्ञात कीजिए कि इसी कार्य को करने में एक अकेली महिला कितना समय लेगी| पुनः इसी कार्य को करने में एक पुरूष कितना समय लेगा|
उत्तर:—
2 + 5 = 1
x y 4
3 + 6 = 1
x y 3
1 =p 1 =q
x y
2p+5q=1/4 ——(1)
3p+6q=1/3 ——-(2)
समी (1)×3 और (2)×2 से,
6p+15q=3/4
6p+12q=2/3
3q= 3 – 2 = 9-8 = 1
4 3 12 12
q= 1
36
q का मान समी० (2) में देने पर,
3p+6q=1/3
3p+6× 1 = 1
36 3
3p+ 1 = 1
6 3
3p= 1 – 1 = 2-1 = 1
3 6 6 6
3p= 1
6
p= 1
18
p और q का मान वापस लेने पर,
1 =p 1 =q
x y
1 =1/18 1 =1/36
x y
x=18 y=36
(iii) रूही 300 दूरी पर स्थित अपने घर जाने के लिए कुछ दूरी रेलगाड़ी द्वारा कुछ दूरी बस द्वारा तय करती है| यदि वह रेलगाड़ी द्वारा तथा शेष बस द्वारा यात्रा करती है तो उसे 4 घंटे लगते हैं| यदि वह 100 रेलगाड़ी से तथा शेष बस से यात्रा करें, तो उसे 10 मिनट अधिक लगते हैं| रेलगाड़ी एवं बस की क्रमशः चाल ज्ञात कीजिए|
Answer:—–
माना कि रेलगाड़ी की चाल x और बस की चाल y
60 + 240 =4
x y
100 + 200 = 25
x y 6
1 =p 1 =q
x y
60p+240q=4
15p+60q=1 ——(1)
100p+200q=25/6
4p+8q=1/6
24p+48q=1 ——-(2)
समी (1)×8 और (2)×5 से,
120p+480q=8
120p+240q=5
240q=3
q=3/240=1/80
q का मान समी० (1) में देने पर,
15p+60q=1
15p+60× 1 =1
80
15p+ 3 =1
4
15p=1 – 3 = 4-3 = 1
4 4 4
p= 1 = 1
15×4 60
p और q का मान वापस लेने पर,
1 =p 1 =q
x y
1 = 1 1 = 1
x 60 y 80
x=60 y=80
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