प्रश्नावली-3.7
1. दो मित्रों अनी और बीजू की आयु में 3 वर्ष का अंतर है| अनी के पिता धरम की आयु अनी की आयु की दुगनी और बीजू की आयु अपनी बहन कैथी की आयु की दुगुनी है| कैथी और धरम की आयु का अंतर 30 वर्ष है| अनी और बीजू की आयु ज्ञात कीजिए|
उत्तर:—-
माना, अनी और बीजू की आयु क्रमशः x वर्ष और y वर्ष है|
अनी और बीजू की आयु में 3 वर्ष का अंतर है| इसिलिए x-y=+3,-3 होगा|साथ ही धरम की आयु= 2x और बीजू की आयु कैथी की आयु से दुगुनी है|
कैथी की आयु= y/2 वर्ष
धरम, कैथी से बड़ा है, क्योंकि y=2
धरम और कैथी की आयु का अंतर=30 years
2x – y =30 4x-y=60
2
हम रैखिक युग्म के निम्नलिखित दो युग्म प्राप्त होते हैं:
x-y=3 —-(1) 4x-y=60 —-(2)
x-y=-3 —-(3) 4x-y=60 —–(4)
समी (2) में से (1) घटाने पर,
3x=57 x=57/3=19
x के इस मान समी (1) में रखने पर,
x-y=3 19-y=3 y=16
समी (4) में से (3) को घटाने पर,
3x=63 x=21
x का मान समी० (3) में देने पर
21-y=-3 y=24
2. एक मित्र दूसरे से कहता है कि ‘यदि मुझे एक सौ दे दो, तो मैं आपसे दो गुना धनी बन जाऊँगा|’ दूसरा उत्तर देता है, ‘यदि आप मुझे दस दे दें, तो मैं आपसे छ: गुना धनी बन जाऊँगा|’ बताइए कि उनकी क्रमशः क्या सम्पत्तियां है ं?
[ भास्कर || की बीजगणित से]
संकेत:x+100=2(y-100), y+10=6(x-10)
Answer:—-
x+100=2(y-100)
x+100=2y-200
x-2y=-300 ——(1)
y+10=6(x-10)
y+10=6x-60
6x-y=70 ——(2)
समी (1) और (2)×2 से
x-2y=-300
12x-2y=140
-11x=-440
x=-440/-11=40
x का मान समी० (1) में देने पर,
x-2y=-300
40-2y=-300
-2y=-300-40=-340
y=-340/-2=170
3. एक रेलगाड़ी कुछ दूरी समान चाल से तय करती है| यदि रेलगाड़ी 10km/h अधिक तेज चलती होती, तो उसे नियत समय से 2 घंटे कम लगते और यदि रेलगाड़ी 10km/h धीमी चलती होती, तो उसे नियत समय से 3 घंटे अधिक लगते| रेलगाड़ी द्वारा तय की गई दूरी ज्ञात कीजिए|
उत्तर:—
माना कि रेलगाड़ी की मूल समान चाल x और तय की गई दूरी xy
-2x+10y=20 —–(1)
3x-10y=30 ——(2)
समी (1) और (2) से,
-2x+10y=20
3x-10y=30
x=50
x का मान समी० (1) में देने पर,
-2x+10y=20
-2×50+10y=20
-100+10y=20
10y=20+100=120
y=120/10=12
तय की गई दूरी=xy=12×50=600
4. एक कक्षा के विद्यार्थियों को पंक्तियों में खड़ा होना है| यदि पंक्ति में 3 विद्यार्थी अधिक होते, तो 1 पंक्ति कम होती| यदि पंक्ति में 3 विद्यार्थी कम होते, तो 2 पंक्तियाँ अधिक बनती| कक्षा में विद्यार्थियों की संख्या ज्ञात कीजिए|
उत्तर:—
पंक्तियों की संख्या है x और प्रत्येक पंक्ति में विद्यार्थियों की संख्या y
विद्यार्थियों की संख्या=xy
3x-y=3 —–(1)
-3x+2y=6 —-(2)
समी (1) और (2) से
3x-y=3
-3x+2y=6
y=9
y का मान समी० (1) में देने पर,
3x-y=3
3x-9=3
3x=3+9=12
x=12/3=4
विद्यार्थियों की संख्या=xy=9×4=36
5. एक ∆ABc में, <C=3 <B=2(<A+<B) है| त्रिभुज के तीनों कोण ज्ञात कीजिए|
Answer:—-
<A=x <B=y <C=3<B=3y
3<B=2(<A+B) 3y=2(x+y)
3y=2x+2y y=2x 2x-y=0 —-(1)
<A+<B+<C=180
x+y+3y=180
x+4y=180 —–(2)
समी (1) और (2)×2 से,
2x-y=0
2x+8y=360
-9y=-360
y=-360/-9=40
y का मान समी० (1) में देने पर,
2x-y=0
2x-40=0
2x=40
x=40/2=20
3y=40×3=120
6. समीकरणों 5x-y=5 और 3x-y=3 के ग्राफ खींचिए| इन रेखाओं और y अक्ष से बने त्रिभुज के शीर्षों के निर्देशांक ज्ञात कीजिए| इस प्रकार बने त्रिभुज के क्षेत्रफल का परिकलन कीजिए|
उत्तर:—-
5x-y=5 ———(1)
x 0 1
y -5 0
3x-y=3 ——–(2)
x 0 1
y -3 0
7. निम्न रैखिक समीकरणों के युग्मों को हल कीजिए:
(i)px+qy=p-q
qx-py=p+q
Answer:—-
px+qy=p-q ——–(1)
qx-py=p+q ——–(2)
समी (1)×p और (2)×q
p2x+pqy=p2-pq
q2x-pqy=pq+q2
p2x+q2x=p2+q2
x(p2+q2)=p2+q2
x=1
x का मान समी० (1) में देने पर,
px+qy=p-q
p×1+qy=p-q
p+qy=p-q
qy=-q
y=-1
(ii)ax+by=c
bx+ay=1+c
Answer:—-
ax+by-c=0 —–(1)
bx+ay-(1+c)=0 —–(2)
x = y = 1
b×{-(1+c}-a×(-c) -c×b-{-(1+c)×a} a×a-b×b
x = y = 1
-b(1+c)+ac -bc+a(1+c) a2-b2
x = y = 1
-b-bc+ac -bc+a+ac a2-b2
x = y = 1
c(a-b)-b c(a-b)+a a2-b2
x= c(a-b) -b y= c(a-b) +a
a2-b2 a2-b2
(iii) x – y =0
a b
ax+by=a2+b2
Answer:—–
x – y =0
a b
bx-ay=0 ——-(1)
ax+by-(a2+b2)=0 —–(2)
x = y
(-a)×(-(a2+b2)-0×b 0×a-(-(a2+b2)×b
= 1
b×b-a×(-a)
x = y = 1
a(a2+b2)-0 0-b(a2+b2) a2+b2
x = y = 1
a(a2+b2) b(a2+b) a2+b2
x= a(a2+b2) =a y= b(a2+b2) =b
a2+b2 a2+b2
(iv) (a-b)x+(a+b)y=a2-2ab-b2
(a+b)(x+y)=a2+b2
Answer:——
(a-b)x+(a+b)y=a2-2ab-b2
(a+b)(x+y)=a2+b2
{(a+b)x+(a+b)y}-{(a-b)x+(a+b)y}
-{(a2+b2)-(a2-2ab-b2)=0
(a+b)x+(a+b)y-(a-b)x
-(a+b)y-a2-b2+a2-2ab-b2=0
(a+b)x-(a-b)x-2b2-2ab=0
ax+bx-ax+bx=2ab+2b2
x=a+b
x का मान समी० (2) में देने पर,
(a-b)(a+b)+(a+b)y-(a2-2ab-b2)=0
a2-b2+(a+b)y=a2-2ab-b2
(a+b)y=a2-2ab-b2-a2+b2
y= -2ab
a+b
(v) 152x-378y=-74
-378x+152y=-604
Answer:—-
152x-378y=-74 ——(1)
-378x+152y=-604 ——-(2)
समी (1) + (2)
-226x-226y=-678
-226(x+y)=-678
x+y=-678/-226=3
x+y=3 ——(3)
समी (1) – (2)
-530x+530y=-530
(x-y)=1
समी (3) + (4)
(x+y)+(x-y)=3+1
x+y+x-y=4
2x=4 x=2
x का मान समी० (3) में देने पर,
2+y=3 y=3-2=1
8. ABCD एक चक्रीय चतुर्भुज है (पाठ्यपुस्तक के पृष्ठ 76 पर आकृति 3.7 देखें) | इस चक्रीय चतुर्भुज के कोण ज्ञात कीजिए|
उत्तर:—
A=4y+20, <B=3y-5, <C=-4x, <D=-7x+5
<A+<C=180
4y+20-4x=180
-4x+4y20-180=0
-4x+4y-160=0
-4x+4y=160
x-y=-40 —–(1)
<B+<D
-7x+3y-180=0
7x-3y+180=0
7x-3y=-180 —–(2)
समी(1)×7 और (2) से,
7x-7y=-280
7x-3y=-180
-4y=-100
y=-100/-4=25
y का मान समी० (1) में देने पर,
x-y=-40
x-25=-40
x=-40+25=-15
A=4y+20=4×25+20=100+20=120
<B=3y-5=3×25-5=75-5=70
<C=-4x=-4×-15=60
<D=-7x+5=-7×(-15)+5=105+5=110
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