प्रश्नावली-5.2
1. निम्नलिखित सरणी में, रिक्त स्थानों को भरिए, जहाँ AP का प्रथम पद a, सार्व अंतर d और n वां पद an है:
(i)a=7, d=3, n=8, an=?
Answer:—-
an=a+(n-1)d
=7+(8-1)×3
=7+7×3=7+21=28
(ii) a=-18, d=?, n=10, an=0
Answer:—
an=a+(n-1)d
0=-18+(10-1)d
0=-18+9d
9d=18
d=18/9=2
(iii) a=?, d=-3, n=18, an=-5
Answer:—-
an=a+(n-1)d
-5=a+(18-1)×(-3)
-5=a+17×(-3)
-5=a-51
a=51-5=46
(iv) a=-18.9, d=25, n=?, an=3.6
Answer:—-
an=a+(n-1)d
3.6=-18.9+(n-1)×25
3.6=-18.9+2.5n-2.5
3.6=2.5n-21.4
2.5n=3.6+21.4=25
n=25/2.5=10
(v) a=3.5, d=0, n=105, an=?
Answer:—-
an=a+(n-1)d
=3.5+(105-1)×0=3.5
2.(i) निम्नलिखित में सही उत्तर चुनिए और उसका औचित्य दीजिए:
(i)A.P.:10,7,4……,का 30 वां पद है:
ANSWER:—
a=10 d=7-10=-3 n=30
an=a+(n-1)d
=10+(30-1)×(-3)
=10+29×(-3)=10-87=-77
(ii)A.P.:-3,-1 ,2…….का 11 वां पद है:
2
Answer:—-
a=-3 d= -1 +3= -1+6 = 5
2 2 2
n=11
an=a+(n-1)d
=-3+(11-1)× 5
2
=-3+10× 5 =-3+25=22
2
3.(i) 2, [ ], 26
Answer:—
a=2 ——(1)
a+d=?
a+2d=26 —–(2)
a का मान समी० (2) में देने पर,
a+2d=26
2+2d=26
2d=26-2=24
d=24/2=12
a+d=2+12=14
(ii) [ ], 13, [ ], 3
Answer:—-
a=?
a+d=13 ——(1)
a+2d=?
a+3d=3 ——-(2)
समी० (1) और (2) से,
a+d=13
a+3d=3
-2d=10
d=10/-2=-5
d का मान समी० (2) में देने पर,
a+3d=3
a+3×(-5)=3
a-15=3
a=3+15=18
a+2d=18+2×(-5)=18-10=8
(iii) 5, [ ], [ ], 19/2
Answer:–
a=5 ——(1)
a+d=?
a+2d=?
a+3d=19/2 ——-(2)
a का मान समी० (2) में देने पर,
a+3d=19/2
5+3d=19/2
3d= 19 -5= 19-10 = 9
2 2 2
d= 9 = 3
3×2 2
a+d=5+ 3 = 10+3 = 13
2 2 2
a+2d=5+2× 3 =5+3=8
2
(iv) -4, [ ], [ ] , [ ], [ ], 6
Answer:—-
a=-4 ——(1)
a+d=?
a+2d=?
a+3d=?
a+4d=?
a+5d=6 ——-(2)
a का मान समी० (2) में देने पर,
a+5d=6
-4+5d=6
5d=6+4=10
d=10/5=2
(v) [ ], 38, [ ], [ ] , [ ], [ ], -22
Answer:—-
a=?
a+d=38 —–(1)
a+2d=?
a+3d=?
a+4d=?
a+5d=-22
समी० (1) और (2) से,
a+d=38
a+5d=-22
-4d=60
d=60/-4=-15
a का मान समी० (1) में देने पर,
a+d=38
a-15=38
a=38+15=53
a+2d=53+2×(-15)=53-30=23
a+3d=53+3×(-15)=53-45=8
a+4d=53+4×(-15)=53-60=-7
4.A. P. :3, 8,13,18….. का कौन सा पद 78 है?
उत्तर:—
a=3 d=8-3=5 an=78
an=a+(n-1)d
78=3+(n-1)×5
78=3+5n-5
78=5n-2
78+2=5n
80=5n
n=80/5=16
5. निम्नलिखित समांतर श्रेणियों में से प्रत्येक श्रेढ़ी में कितने पद है?
(i)7, 13,19,……..205
Answer:—-
a=7, d=13-7=6 n=? an=205
an=a+(n-1)d
205=7+(n-1)×6
205=7+6n-6
205=6n+1
205-1=6n
204=6n
n=204/6=34
(ii) 18, 31 , 13,…….-47
2
Answer:—-
a=18 d= 31 – 18= 31-36 = -5
2 2 2
an=-47
an=a+(n-1)d
-47=18+(n-1)×( -5 )
2
-47=18- 5 n + 5
2 2
-47= 36-5n+5
2
-94=41-5n
-94-41=-5n
-135=-5n
n=-135/-5=27
6. क्या A.P., 11,8,5,2……का एक पद -150 है? क्यों?
उत्तर:—
a=11 d=8-11=-3 an=-150
an=a+(n-1)d
-150=11+(n-1)×(-3)
-150=11-3n+3
-150=14-3n
-150-14=-3n
-164=-3n
n=-164/-3
7. उस A.P. का 31 वां पद ज्ञात कीजिए, जिसका 11 वां पद 38 और 16 वां पद 73 है?
Answer:—-
n=31
a11=a+(11-1)d=38=>a+10d=38 —–(1)
a16=a+(16-1)d=73=>a+15d=73 —–(2)
समी (1) और (2) से,
a+10d=38
a+15d=73
-5d=-35
d=-35/-5=7
d का मान समी० (1) में देने पर,
a+10d=38
a+10×7=38
a+70=38
a=38-70=-32
an=a+(n-1)d=-32+(31-1)×7
-32+30×7=-32+210=178
8. एक A.P. में 50 पद है, जिसका तीसरा पद 12 है और अंतिम पद 106 है| इसका 29 वां पद ज्ञात कीजिए|
उत्तर:—
n=29
a50=a+(50-1)d=106=>a+49d=106 —(1)
a3=a+(3-1)d=12=>a+2d=12 —-(2)
समी (1) और (2) से,
a+49d=106
a+2d=12
47d=94
d=94/47=2
d का मान समी० (1) में देने पर,
a+49d=106
a+49×2=106
a+98=106
a=106-98=8
an=a+(n-1)d
=8+(29-1)×2
=8+29×2=8+56=64
9. यदि किसी A.P. के तीसरे और नौवें पद क्रमशः 4 और -8 है, तो इसका कौन सा पद शून्य होगा?
उत्तर:—-
a3=a+(3-1)d=4=>a+2d=4 —–(1)
a9=a+(9-1)d=-8=>a+8d=-8 —–(2)
समी (1) और (2) से,
a+2d=4
a+8d=-8
-6d=12
d=12/-6=-2
d का मान समी० (1) में देने पर,
a+2d=4
a+2×(-2)=4
a-4=4
a=4+4=8
an=a+(n-1)d
0=8+(n-1)×(-2)
0=8-2n+2
0=10-2n
-10=-2n
n=-10/-2=5
10. किसी A.P. का 17 वां पद उसके 10 वें पद से 7 अधिक है| इसका सार्व अंतर ज्ञात कीजिए|
Answer:—-
a17=a10+7
a+(17-1)d=a+(10-1)d+7
a+16d=a+9d+7
7d=7
d=1
11. A.P.:3, 15,27,39….. का कौन सा पद उसके 54 वें पद से 132 अधिक होगा?
उत्तर:—-
a=3 d=15-3=12
an=a+(n-1)d
=3+(n-1)×12
=3+12n-12
=12n-9 ——–(1)
a54=a+(n-1)d
=3+(54-1)×12+132
=3+53×12+132
=3+636+132=771
12n-9=771
12n=771+9=780
n=780/12=65
12. दो समांतर श्रेणियों का सार्व अंतर समान है| यदि इनके 100 वें पदों का अंतर 100 है, तो इनके 1000 वें पदों का अंतर क्या होगा?
उत्तर:—
d=d
a+(100-1)d=100
a+(1000-1)d=100
13. तीन अंकों वाली कितनी संख्याएँ 7 से विभाज्य है?
उत्तर:—
A.P.: 7,14,21,28…………994
a=7 d=14-7=7 an=994
an=a+(n-1)d
994=7+(n-1)×7
994=7+7n-7
994=7n
n=994/7=128
14. 10 और 120 के बीच में 4 के कितने गुणज है?
उत्तर:—
A.P.: 12,16,20,24…….248
a=12 d=16-12=4 an=248
an=a+(n-1)d
248=12+(n-1)×4
248=12+4n-4
248=4n+8
248-8=4n
240=4n
n=240/4=60
15. n के किस मान के लिए, दोनों समांतर श्रेणियों 63,65,67……और 3,10,17…… के n वें पद बराबर होंगे?
उत्तर:—-
63,65,67………
a=63 d=65-63=2
an=a+(n-1)d
=63+(n-1)×2
=63+2n-2
=61+2n ——-(1)
3,10,17………..
a=3 d=10-3=7
an=a+(n-1)d
=3+(n-1)×7
=3+7n-7
=7n-4 ———(2)
समी (1) और (2) से,
61+2n=7n-4
7n-2n=61+4=65
5n=65
n=65/5=13
16. वह A.P. ज्ञात कीजिए जिसका तीसरा पद 16 है और 7 वां पद 5 वें पद से 12 अधिक है?
उत्तर:—
a3=a+(3-1)d=16
=a+2d=16 ——(1)
a7=a5+12
a+(7-1)d=a+(5-1)d+12
a+6d=a+4d+12
6d-4d=12
2d=12
d=12/2=6 ——–(2)
d का मान समी० (1) में देने पर,
a+2d=16
a+2×6=16
a+12=16
a=16-12=4
a+d=4+6=10
a+2d=4+2×6=4+12=16
a+3d=4+3×6=4+18=22
A.P.:4, 10,16,22………
17. A.P.: 3,8,13……253 में अंतिम पद से 20 वां पद ज्ञात कीजिए|
Answer:—-
3,8,13……………243,248,253
a=253, d=248-253=-5 n=20
an=a+(n-1)d
=253+(20-1)×(-5)
=253+19×(-5)
=253-95=158
18. किसी A.P. के चौथे और 8 वें पदों का योग 24 है तथा छठे और 10 वें पदों का योग 44 है| इस A.P. के प्रथम तीन पद ज्ञात कीजिए|
answer:::::—–
a4+a8=24
a+(4-1)d+a+(8-1)d=24
a+3d+a+7d=24
2a+10d=24
a+5d=12 ———–(1)
a6+a10=44
a+(6-1)d+a+(10-1)d=44
a+5d+a+9d=44
2a+14d=44
a+7d=22 ———-(2)
समी (1) और (2) से,
a+5d=12
a+7d=22
-2d=-10
d=-10/-2=5
d का मान समी० (1) में देने पर,
a+7d=22
a+7×5=22
a+35=22
a=22-35=-13
a+d=-13+5=-8
a+2d=-13+2×5=-13+10=-3
a+3d=-13+3×5=-13+15=2
A.P.: -13, -8, -3, 2………
19. सुब्बा राव ने 1995 में 5000 रू के मासिक वेतन पर कार्य आरंभ किया और प्रत्येक वर्ष 200 रू० की वेतन वृद्धि प्राप्त की| किस वर्ष में उसका वेतन 7000 रू० हो गया?
उत्तर:—-
a=5000 d=200 n=? an=7000
an=a+(n-1)d
7000=5000+(n-1)×200
7000=5000+200n-200
7000-5000+200=200n
2200=200n
n=2200/200=11
20. रामकली ने किसी वर्ष के प्रथम सप्ताह में 5 रू की बचत की और फिर अपनी सप्ताहिक बचत 1.75 रू बढ़ाती गयी| यदि n वें सप्ताह में उसकी सप्ताहिक बचत 20.75 रू हो जाती है, तो n ज्ञात कीजिए|
Answer:—
a=5 d=1.75 n=? an=20.75
an=a+(n-1)d
20.75=5+(n-1)×1.75
20.75-5=(n-1)×1.75
15.75=(n-1)×1.75
n-1= 15.75
1.75
n-1=9
n=9+1=10
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