विविध प्रश्नावली
1. एक कमरे की लंबाई, चौड़ाई और ऊंचाई क्रमशः 5m, 4m और 3m है| 9.50 रू प्रति m2 की दर से इस कमरे की दीवारों और छत पर सफेदी कराने का खर्च ज्ञात करें-
उत्तर:—
छत सहित चारों दीवारों का क्षेत्रफल
=2(l+b)×h+l×b
=2(5+4)×3+5×4
=54+20=74
सफेदी का खर्च=74×9.50=793
2. एक घनाकार पानी की टंकी 6m लंबी, 5m चौड़ी और 4.5 मी गहरी है| इसमें कितने लीटर पानी आ सकता है|(1m3=1000l)
उत्तर:–
टंकी का आयतन=lbh=6×5×4.5=135
पानी का कुल मात्रा=1000×135=135000l
3. एक घनाभकार बर्तन 10m लंबा 8m चौड़ा है| इसको कितना ऊंचा बनाया जाए कि इसमें 400m2 द्रव आ सके?
उत्तर:-
चूंकि बर्तन में उसके आयतन के बराबर पानी रखी जा सकती है|
बर्तन का आयतन= लंबाई×चौड़ाई× ऊंचाई
400=10×8×ऊंचाई
ऊंचाई= 400 =5m
10×8
4. किसी आयताकार हाल का फर्श का परिमाप 250m है| यदि ₹10 प्रति m2 की दर से चारों दीवारों पर पेंट कराने की लागत 15000 रु है तो इस हाल की ऊँचाई निकाले-
उत्तर:—
1 वर्ग मी पेंटिंग का खर्च 10 रू है|
कुल लागत=15000
हाल का क्षेत्रफल= 15000 =1500
10
2(l+b)×h=1500
250×h=1500 {परिमित=2×(l+b)}
h= 1500 =6
250
5. टुनटुन ने अपने घर के लिए ढक्कन वाली एक घनाकार पानी की टंकी बनवायी है जिसका प्रत्येक बाहरी किनारा 1.5m लंबा है| वह इस टंकी के बाहरी पृष्ठ पर, तली को छोड़ते हुए 256m भुजा वाली वर्गाकार टाइल्स लगवाता है| यदि टाइल्स की लागत 360 रुपया प्रति दर्जन है तो उसे टाइल्स लगवाने में कितना खर्च करना पड़ेगा|
उत्तर:—
टाइल्स का क्षेत्रफल=25×25=625
टंकी का पृष्ठ क्षेत्रफल=5×150×150 (1.5m=150cm)
टाइल्स की संख्या = 5×150×150 =180
25×25
टाइल्स की कुल लागत=180× 360 =5400
12
6. किसी डिब्बे में भरा हुआ पेंट 9.375 मी2 के क्षेत्रफल पर पेंट करने के लिए पर्याप्त है| इस डिब्बे के पेंट से 22.5 सेमी×10 सेमी× 7.5 सेमी विमाओं वाली कितनी ईंट पेंट की जा सकती है?
उत्तर:—
एक ईंट का पृष्ठीय क्षेत्रफल=2(lb+bh+hl)
=2( 22.5 × 10 + 10 × 7.5 + 7.5 × 22.5
100 100 100 100 100 100
=2× 225+75+168.75 = 468.75
10000 500
ईंटों की अभीष्ट संख्या=9.375 एक ईंट का क्षे
= 9.375 = 9375×500 ×100=100
48.75 46875
500
7. 8m लंबा 6m चौड़ा और 3m गहरा एक घनाभकार गडढ़ा खुदवाने में 50 रुपये प्रति की दर से होनेवाली व्यय ज्ञात करें-
उत्तर:—-
गडढे का आयतन=लंबाई×चौड़ाई×ऊंचाई
1 मीटर3 गडढ़ा खुदवाने का खर्च 50 रू है|
8×6×3 m3 गडढ़ा खुदवाने का खर्च
=8×6×3×50=7200 रूपया
8. एक घनाभकार टंकी की धारिता 5000 लीटर पानी की है| यदि इस टंकी की लंबाई और गहराई क्रमशः 2.5m और 10m है तो इसकी चौड़ाई ज्ञात करें|
चौड़ाई= टंकी की धारिता
लंबाई चौड़ाई
= 50 = 50×10 =2
2.5×10 25×10
9. 1.5 मी, 1.25 मी चौड़ा और 6.5 मी गहरा प्लास्टिक का एक डिब्बा बनाया जाता है| इसे उपर से खुला रखना है| प्लास्टिक शीट की मुटाई को नगण्य मानते हुए निर्धारित करें कि डिब्बा बनाने के लिए आवश्यक प्लास्टिक शीट का क्षेत्रफल क्या होगा और इस शीट का मूल्य क्या होगा यदि 1m3 शीट का मूल्य 30 रुपया है|
उत्तर:—–
एक बाक्स के लिए आवश्यक प्लास्टिक शीट
={2(1.5+1.25)×6.5+1.5×1.25)}
=2{(2.75×6.5)+1.875)}
=2×(17.875+1.875)
=2×17.750=39.599=39.5
कुल खर्च=39.5×30=1185.0
10. एक घनाकार डिब्बे का एक किनारा 10 सेमी लंबाई का है तथा एक अन्य घनाभकार डिब्बे की लंबाई, चौड़ाई और ऊंचाई क्रमशः 12.5cm,10cm और 8cm है| (i) किस डिब्बे का पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल अधिक है और कितना अधिक है?(ii) किस डिब्बे का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल कम है और कितना कम है?
उत्तर:::—-
घनाकार डिब्बे का पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल=4×(10)2
=4×10×10=400
घनाभकार डिब्बे का पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल
=2×(12.5+10)
घनाकार डिब्बे का पृष्ठीय क्षेत्रफल
=6×(10)2=600
घनाभकार डिब्बे का पृष्ठीय क्षेत्रफल
=2(lb+bh+hl)
=2×(12.5×10+10×8+8×12.5)
=2×(125+80+100)
=2×305=610
(i)घनाकार डिब्बे का 40cm2
(ii)घनाकार डिब्बे का 10cm2
11. किसी गोदाम की माप 60m×25m×10m है| इस गोदाम में 1.5m×1.25m×0.5m की माप वाले लकड़ी के कितने अधिकतम क्रेट रखे जा सकते हैं?
उत्तर:—-
क्रेटों की संख्या= गोदाम का आयतन
क्रेट का आयतन
= 60×25×10
15×1.25×0.5
= 600×2500×100 =40×20×20=16000
15×125×5
12. माचिस की एक डिब्बी का माप 4cm×2.5cm×1.5cm है| ऐसी 12 डिब्बियों के एक पैकेट का आयतन क्या होगा?
उत्तर:—-
एक माचिस के डिब्बा का आयतन=4cm×2.5cm×2.5cm=15cm
एक पैकेट का आयतन जिसमें 12 डिब्बे है
=12×15=180
13. 12 भुजा वाले एक ठोस घन को बराबर आयतन वाले 8 घनों में काटा जाता है| नये घन की भुजा क्या होगी? इन दोनों घनों के पृष्ठीय क्षेत्रफलों का अनुपात भी ज्ञात करें-
उत्तर:—
12cm भुजा वाले घन का आयतन=a3=(12)3
=12×12×12
नये घन का आयतन= 12×12×12 = 1728
8 8
=216
घन का आयतन=a3
216=a3
6×6×6=a3 a=6cm
दिए गए घन का पृष्ठ क्षेत्रफल=6×( भुजा)2
=6×12×12
घन का पृष्ठ क्षेत्रफल=6×6×6
अनुपात= 6×12×12 =2×2=4= 4 =4:1
6×6×6 1
14. 3m गहरी और 40m चौड़ी एक नदी 3km प्रति घंटा की चाल से बहकर समुद्र में गिरती है| 1 मिनट में समुद्र में कितना पानी गिरेगा|
उत्तर:–
1 घंटे में समुद्र में गिरने वाले जल का आयतन= घनाभ का आयतन
=3000×40×3=360000m3=(1km=1000m)
1 मिनट में समुद्र में गिरने वाले जल का आयतन
= 360000 =6000
60
15. एक गाँव की जनसंख्या 2000 है| एवं प्रतिदिन प्रति व्यक्ति 150 लीटर पानी की आवश्यकता होती है| इस गाँव में 20m×15m×6m मापों वाली एक टंकी बनी है| इस टंकी का पानी वहाँ कितने दिनों के लिए पर्याप्त होगी?
उत्तर:—–
टंकी में पानी का कुल आयतन=lbh
=20×15×6=1800m3
2000 व्यक्ति के लिए प्रतिदिन आवश्यक जल की मात्रा का आयतन=2000×150l
= 2000×150 =300(1m3=1000m)
1000
दिनों की संख्या= 1800 =6
300
16. एक खुले मैदान में 10 लंबी एक दीवार का निर्माण जाना है| दीवार की ऊँचाई मी है| और उसकी मुटाई होनी चाहिए यदि इस दीवार को विमाओं वाली ईटों से बनाया जाता है तो इसके लिए कितने ईंट की जरूरत होगी?
उत्तर:—-
ईंटों की संख्या= दीवार का आयतन
एक ईंट का आयतन
= 1000×24×400
24×12×8
= 9600000 =4167
96×24
(10m=1000cm 4m=400cm)
17. एक रालर का व्यास 84cm है और लंबाई 120cm है| एक मैदान को एक बार समतल करने के लिए 500 चक्कर लगाने पड़ते हैं| मैदान का क्षेत्रफल कितना मी2 है|
उत्तर:——
रालर की लंबाई=120cm=h
r=d/2=84/2=42cm 0.42m
एक चक्कर में तय किया गया क्षेत्रफल=2πrh
=2× 22 ×0.42×1.2=2× 22 × 42 × 12
7 7 100 10
मैदान का क्षेत्रफल
=500×2× 22 × 42 × 12
7 100 10
=2×22×6×6×2×792=1584m2
18. एक बेलनाकार बर्तन के आधार की परिधि 132cm और उसकी ऊँचाई 25cm है| उस बर्तन में कितने लीटर पानी आ सकता है|(1000cm3=1l)
उत्तर:—-
परिधि=2πr
132=2× 22 ×r
7
r= 132×7 =21
2×22
बेलनाकार बर्तन का आयतन=πr2h
= 22 ×21×21×25=22×3×21×25
7
=34650=34.65l
19. 1 मीटर ऊँचाई वाले एक बेलनाकार बर्तन की धारिता 15.4 लीटर है| इसको बनाने के लिए कितने वर्ग मीटर धातु शीट की आवश्यकता होगी?
उत्तर:——-
बर्तन का आयतन=πr2h=πr2×(1)2=πr2
[15.4l= 15.4 m3]
100
0.0154=πr2
0.0154= 22 ×r2
7
r2= 7×0.0154 r=0.07
22
आवश्यक धातु शीट=बर्तन का संपूर्ण पृष्ठ क्षेत्रफल
[h=1m, r=0.07m, π=22/7]
2πr(h+r)
2× 22 ×0.07(1+0.07)
7
=2× 22 ×0.07×1.07
7
= 2×22×7×107
7×100×100
= 44×107 = 4708 =0.4708m2
10000 10000
20. एक वृत्ताकार कुएँ का आंतरिक व्यास 3.5m है और यह 10m गहरा है| (i) आंतरिक वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल और(ii) 50 रुपया प्रति मी2 की दर से इसके वक्र पृष्ठ पर प्लास्टर कराने का व्यय ज्ञात करें|
उत्तर:—-
d=3.5m r=3.5/2 h=10
आंतरिक वक्र पृष्ठ का क्षेत्रफल=2πrh
=2× 22 × 3.5 ×10
7 2
=2× 22 × 35 ×10
7 2×10
=22×5=110
प्लास्टर का खर्च=50×110=5500
21. किसी बेलनाकार स्तंभ का व्यास 50cm है और ऊंचाई 3.5m है| 20 रुपया प्रति वर्ग मीटर की दर से इस स्तंभ के वक्र पृष्ठ पर पेंट कराने का खर्च निकाले-
उत्तर:—
r=25cm=0.25m h=3.5m
स्तंभ के वक्र पृष्ठ का क्षेत्रफल=2πrh
=2× 22 ×0.25×3.5=2×22×0.25×0.5
7
=5.50
पेंट कराने का खर्च=5.5×20=110
22. यदि किसी बेलन का पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल 94.2cm2 है| और उसकी ऊंचाई 5cm है तो (i) आधार की त्रिज्या (ii)बेलन का आयतन ज्ञात करें|(π=3.14)
Answer:—-
बेलन का पृष्ठीय क्षेत्रफल=2πrh
=94.2=2×3.14×r×5
=r= 94.2 =3
6.28×5
आयतन=πr2h=3.14×3×3×5=141.30cm3
23. एक लंबवृत्तीय बेलन का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल 4.4m2 है| यदि बेलन के आधार की त्रिज्या 0.7 मी है तो उसकी ऊंचाई निकाले-
Answer:—–
2πrh=4.4
2× 22 ×0.7×h=4.4
7
h= 4.4×7 =1m
44×0.7
24. 10 मीटर गहरे एक बेलनाकार बर्तन के आंतरिक वक्र पृष्ठ को पेंट कराने का खर्च 2200 रुपया है| यदि पेंट कराने की दर 22 रुपये प्रति वर्ग मीटर है तो (a) बर्तन का आंतरिक वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल (b) आधार की त्रिज्या ज्ञात करें|
उत्तर:—-
(a)आंतरिक वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल= व्यय
पेंटिंग दर
= 2200 =100
22
(b) 100=2πrh
100=2× 22 ×r×10
7
100×6=2×22×r×10
r= 100×7 = 35 =1.59
44×10 22
25. (a) एक बेलनाकार बंद पेट्रोल टंकी का पार्श्व या वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात करें जिसका व्यास 4 मी और ऊंचाई 4.5 मी है| (b) इस टंकी को बनाने में कुल कितना इस्पात शीट लगा होगा, यदि कुल इस्पात शीट का 1/12 भाग बनाने में नष्ट हो जाता है|
उत्तर:-
(a)पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल=2πrh
=2× 22 × 4 ×4.5
7 2
= 396.0 =56.57
7
(b) टंकी में प्रयुक्त इस्पात का क्षेत्रफल =( 1 – 1 ) Aजहाँ A प्रयुक्त इस्पात का वास्तविक
12
क्षेत्रफल है|= 11 A
2
2πr(h+r)= 11 A
12
2πrh+2πr2= 11 A
12
56.57+2× 22 ×2×2= 11 A
7 12
56.57+ 176 = 11 A
7 12
56.57+25.14= 11 A
12
81.71= 11 A
12
A= 81.71×12
11
= 980.52 =89.14
11
26. लकड़ी के एक बेलनाकार पाइप का आंतरिक व्यास 24 सेमी है और बाहरी व्यास 28 सेमी है| इस पाइप की लंबाई 35 सेमी है| इस पाइप का द्रव्यमान ज्ञात करें यदि 1 सेमी3 लकड़ी का द्रव्यमान 0.5 ग्राम है|
उत्तर:—-
पाइप बनाने में प्रयुक्त लकड़ी का आयतन
=π(R2-r2)h
= 22 (14×14-12×12)×35
7
= 22 (196-144)×35= 22 ×52×35
7 7
=22×52×5=5720
अभीष्ट द्रव्यमान=5720×0.5
= 5720×5 kg
100×10
= 28600 = 286 =2.86kg
10000 100
27. एक प्रकार का पेय दो प्रकार के डिब्बों में उपलब्ध है 6 सेमी लंबाई और 4 सेमी चौड़ाई वाले एक आयताकार डिब्बे में जिसकी ऊंचाई 15 सेमी है| और 7 सेमी व्यास वाले वृत्तीय आधार तथा 10 सेमी ऊंचाई वाला एक प्लास्टिक के बेलनाकार डिब्बे में किस डिब्बे की धारिता अधिक है और कितनी अधिक है|
उत्तर:—
टिन के डिब्बे की धारिता=lbh
=6×4×15=360
प्लास्टिक के डिब्बे की क्षमता=πr2h
= 22 × 7 × 7 ×10=11×7×5=385
7 2 2
बेलनाकार डिब्बा=25cm3
28. एक मकान के खंभे बेलनाकार है| यदि प्रत्येक खंभे का आधार 20 सेमी त्रिज्या का एक वृत्तीय क्षेत्र है और ऊंचाई 10 मीटर है तो ऐसे 15 खंभों को बनाने में कितने कंक्रीट मिश्रण की आवश्यकता होगी|
उत्तर:—:
एक खंभे का आयतन=πr2h
= 22 ×20×20×1000
7
= 8800000
7
= 8.8 (1m3=1000000cm3)
7
15 खंभों का आयतन= 8.8 ×1.5
7
= 132 =18.8m3
7
29. धातु का एक एक पाइप 77 सेमी लंबा है| इसके एक अनुप्रस्थ काट का आंतरिक व्यास 1 सेमी है और बाहरी व्यास 4.4 सेमी है, तो इसका कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल निकाले-
उत्तर:—-
पाइप का कुल आंतरिक पृष्ठीय क्षेत्रफल+बाहरी वक्र पृष्ठ क्षेत्रफल+ सिरों के क्षेत्रफल
=2πrh+2πRh+2π(R2-r2)
R= 4.4 =2.2
2
r= 4 =2
2
h=77cm
2× 22 ×2×77+2× 22 ×2.2×77+
7 7
2× 22 ×(2.2)2-2×2
7
=44×22+44×11×2.2+ 44 (4.84-4)
7
=968+1064.8+ 44×8.4
7
=968+1064.8+5.28=2038.08
30. धातु की एक चादर से 2 मी ऊंची और 140 सेमी व्यास के आधार वाली एक बंद बेलनाकार टंकी बनायी जानी हैं| इस कार्य के लिए कितने वर्ग मीटर चादर की आवश्यकता होगी|
उत्तर:—
आवश्यक चादर= बेलनाकार टंकी का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल=2πr(h+r)
r= 140 =70=0.6m
2
h=2m
2πr(h+r)
=2× 22 ×0.7(2+0.7)
7
=2× 22 ×0.6×2.07
7
= 2×22×7×207 = 44×207
710×100 1000
= 9108 =9.108m3
1000
31. 14cm ऊंचाई वाले एक लंबवृत्तीय बेलन का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल 88 सेमी2 है| बेलन के आधार का व्यास ज्ञात करें|
उत्तर:—
बेलन के वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल=2πrh
88=2× 22 ×r×14
7
r= 88×7 =1cm
2×22×14
व्यास=2×1=2cm
32. एक अस्पताल के एक रोगी को प्रतिदिन 7 सेमी व्यास वाले एक बेलनाकार कटोरे में सूप दिया जाता है| यह कटोरा सूप 5 सेमी ऊंचाई तक भरा हुआ है तो इस अस्पताल में 250 रोगियों के लिए प्रतिदिन कितना सूप तैयार किया जाता है|
उत्तर:—–
एक रोगी को प्रतिदिन दिए जाने वाले सूप का आयतन
=πr2h
= 22 × 7 × 7 ×5
7 2 2
= 11×7×5 = 385 =192.5cm3
2 2
250 रोगियों के लिए प्रतिदिन दिए जाने वाले सूप का आयतन=192.5×250=48125cm3
33. एक शंकु का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात करें जिसकी तिर्यक ऊंचाई मी और आधार का व्यास मी है|
उत्तर:—
व्यास=24m
r=24/2=12m
तिर्यक ऊंचाई l=21m
शंकु का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल=πrl+πr2
= 22 ×12×21+ 22 ×12×12
7 7
264×3+ 264×12
7
=792+ 3168
7
=792+452.57=1244.57
34. एक शंकु के आधार का व्यास 10.5 सेमी है और इसकी तिर्यक ऊंचाई 10 सेमी है| इसका वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात करें|
उत्तर:-
व्यास=10.5cm
त्रिज्या= 105 = 21 CM
20 4
शंकु के वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल=πrl
= 22 × 25 ×10=11×5×3=165
7 4
35. एक शंकु का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल 308 सेमी2 है और इसकी तिरछी ऊंचाई 14 सेमी है तो (a) आधार की त्रिज्या (b) शंकु का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात करें|
उत्तर:—
शंकु के वक्र पृष्ठ क्षेत्रफल=πrl
308=2× 22 ×r×14
7
r= 308×7
2×22×14
r=7
शंकु का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल=πrl+πr2=πr(l+r)
= 22 ×7(14+7)
7
= 22 ×7×21=22×21=462cm2
7
36. उस लंब वृत्तीय शंकु का आयतन ज्ञात करें जिसकी (i) त्रिज्या 6 सेमी और ऊंचाई 7 सेमी है (ii) त्रिज्या 3.5 सेमी और ऊंचाई 12 सेमी है|
Answer:——
शंकु का आयतन= 1 πr2h
3
= 1 × 22 ×6×6×7= 1 ×36×22=264
3 7 3
शंकु का आयतन= 1 πr2h
3
= 1 × 22 ×3.5×3.5×12
3 7
= 1 × 22×35×35×12 =11×7×2=154
3 7×10×10
37. एक शंकु की ऊँचाई 15 सेमी है| यदि इसका आयतन 1570 सेमी3 है तो इसके आधार की त्रिज्या ज्ञात करें|
उत्तर:–
शंकु का आयतन= 1 πr2h
3
1570= 1 × 22 ×r2×15
3 7
r2= 1570×3×7
22×15
r2=99.89
r=10cm
38. यदि 9 सेमी ऊँचाई वाले एक लंब वृत्तीय शंकु का आयतन 48π सेमी3 है तो इसके आधार का व्यास निकाले-
Answer:—-
लंब वृत्तीय शंकु का आयतन= 1 πr2h
3
48π= 1 πr2×9
3
r2= 48×3
9
r2=4
r=2cm
व्यास=2×2=4cm
39. एक शंकु की ऊँचाई 16 सेमी है और आधार की त्रिज्या 12 सेमी है| इस शंकु का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात करें|(π=3.14)
Answer:—–
l=√r2+h2=√(16)2+(12)2=√196+144
=√400=20cm
कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल=πrl+πr2=πr(l+r)
=3.14×12(20+12)=3.14×12×32
=1205.76cm2
40. 3.5 मीटर ऊपरी व्यास वाले शंकु के आकार का एक गड्ढा 12 मीटर गहरा है| इसकी धारिता किलो में निकाले-
उत्तर:—
गड्ढे का आयतन या धारिता= 1 πr2h
3
1 × 22 × 35 × 35 ×12= 77 =38.5
3 7 20 20 2
41. एक लंबवृत्तीय शंकु का आयतन 9856 सेमी3 है| यदि आधार की व्यास 28 सेमी है तो (a) शंकु की ऊँचाई (b) शंकु की तिर्यक ऊँचाई (c)शंकु का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात करें|
उत्तर:—
शंकु का आयतन= 1 πr2h
3
9856= 1 × 22 ×14×14×h
3 7
h= 9856×3×7 (r=28/2=14)
22×14×14
=48
तीर्यक ऊँचाई =√r2+h2=√(14)2+(48)2
=√196+2304=√2500=50
शंकु का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल=πrl
= 22 ×14×50=2200
7
42. शंकु के आकार का एक तम्बू 10 मी ऊँचा है और उसके आधार की त्रिज्या 24m है तो (a)तंबू की तिर्यक ऊँचाई (b)तंबू में लगे कैनवास की लागत निकाले यदि 1 मी2 कैनवास की लागत 80 रुपया है|
उत्तर:—–
r=24cm h=10m
l=√h2+r2=√(24)2+(10)2=√576+100
=√676=26
आवश्यक कैनवास= शंकु का वक्र पृष्ठ
=πrl= 22 ×24×26= 13728 =1961.14
7
कुल लागत=1961.14×80=156891.42
43. 8 मीटर ऊँचाई और आधार त्रिज्या 6 मीटर वाले एक शंकु के आकार का तंबू बनाने में 3 मी चौड़े तिरपाल की कितनी लंबाई लगेगी यदि इसकी सिलाई और कटाई में 30 सेमी तिरपाल अतिरिक्त लगता है|(π=3.14)
उत्तर:—
यदि तिर्यक ऊंचाई l हो तो
l=√h2+r2=√(6)2+(8)2=√36+64
=√100=10m
तंबू में लगे तिरपाल का क्षेत्रफल =तंबू का वक्र पृष्ठ क्षेत्रफल=πrl
=3.14×6×4=204.0=204m2
तिरपाल की लंबाई= 204 =62.8
3
अतिरिक्त तिरपाल की लंबाई=30cm=0.3m
आवश्यक तिरपाल की कुल लंबाई
=62.8+0.3=63.1m
44. राजेश के पास कैनवास का एक टुकड़ा है जिसका क्षेत्रफल 552 मी 2 है| वह इससे 7 मी आधार त्रिज्या वाला एक शंक्वाकार तंबू बनवाता है| यह मानते हुए कि सिलाई और कटाई में लगभग 2 मी 2 कैनवास नष्ट हुआ होगा, इससे बनाए जाने वाले तंबू का आयतन ज्ञात करें|
उत्तर:—-
नष्ट हुए कैनवास का क्षेत्रफल=2m2
तंबू के लिए उपलब्ध का क्षेत्रफल=(552-2)=550
तंबू का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल=550m2
πrl=550
22 ×7×l=550
7
22l=550
l= 550 =25
22
h=√l2-r2=√(25)2-(7)2=√625-49
=√576=24m
तंबू का आयतन= 1 πr2h
3
= 1 × 22 ×7×7×24=22×7×8=1232
3 7
45. (a) प्रमोद के पास एक टोपी है जिसका आकार शंकु की तरह है जिसके आधार की त्रिज्या 7 सेमी और ऊंचाई 24 सेमी है| इसी प्रकार की 15 टोपियाँ बनाने के लिए आवश्यक गत्ते का क्षेत्रफल निकाले-
उत्तर:—-
l=√h2+r2=√(24)2+(7)2=√576+49
=√625=25cm
1टोपी के लिए आवश्यक गत्ता=टोपी का वक्र पृष्ठ
=πrl
= 22 ×7×25=550
7
15 बनाने के लिए कुल गत्ता=15×550=8250
46. चावल की एक ढेर 6 मी व्यास और 4 मी ऊंचाई वाले एक शंकु के आकार की है| इसका आयतन ज्ञात करें| इस ढेरों को वर्षा से बचाने के लिए तिरपाल से ढंका जाता है| आवश्यक तिरपाल का क्षेत्रफल निकाले-
उत्तर:—
शंकु के आधार की त्रिज्या= 6 =3m
2
शंकु ढेर का आयतन= 1 πr2h
3
= 1 × 22 ×3×3×4
3 7
= 264 =37.71m3
7
तिर्यक ऊंचाईl=√h2+r2=√(4)2+(3)2
=√16+9=√25=5m
आवश्यक तिरपाल=शंकु का वक्र पृष्ठ=πrl
= 22 ×3×5= 330 =47.14m2
7 7
47. भुजाओं 5 सेमी, 12 सेमी और 13 सेमी वाले एक समकोण त्रिभुज ABC की भुजा 12 सेमी के परित: घुमाया जाता है| इस प्रकार प्राप्त ठोस का आयतन निकाले-
उत्तर:—-
घुमने पर शंक्वाकार आकृति मिलेगा प्राप्त ठोस का आयतन= 1 πr2h
3
= 1 π×5×5×12=100π
3
48. एक गोलाकार गुब्बारे में हवा भरने पर उसकी त्रिज्या 7 सेमी से 14 सेमी हो जाती है| इन दोनों स्थितियों में गुब्बारे के पृष्ठीय क्षेत्रफलों का अनुपात लिखें-
उत्तर:—
गोले का प्रारंभिक पृष्ठीय क्षेत्रफल=4πr2=4π(7)2
गोले का अंतिम पृष्ठीय क्षेत्रफल=4πr2=4π(7)2
गोले का अंतिम पृष्ठीय क्षेत्रफल=4πr2=4π(14)2
अनुपात= 4π×7×7 = 1 =1:4
4π×14×14 4
49. चन्द्रमा का व्यास पृथ्वी के व्यास का लगभग एक चौथाई है| इन दोनों के पृष्ठीय क्षेत्रफलों का अनुपात ज्ञात करें| चन्द्रमा का आयतन पृथ्वी के आयतन का कौन सा भाग है|
उत्तर:—-
माना कि चन्द्रमा का व्यास R है
पृथ्वी का व्यास=4R
चंद्रमा की त्रिज्या= R
2
पृथ्वी की त्रिज्या= 4R =2R
2
इनके वक्र पृष्ठों का अनुपात=
4π×( R )2= R2 ( 4π =1)
2 4 (4π )
4π(2R)2 4R2
= 1 = 1
4×4 16
चंद्रमा का आयतन Vm= 4 π( R )3
3 2
= 4 π R3
3 8
8Vm= 4 πR3
3
पृथ्वी का आयतन=Ve= 4 π(2R)3
3
Ve= 4 π8R3
3
Ve= 4 πR3×8
3
Ve=8Vm×8
Ve=64Vm
Vm= 1 Ve
64
चंद्रमा का आयतन=1/64
50. उस गोले का आयतन ज्ञात करें जिसका पृष्ठीय क्षेत्रफल 154 सेमी2 है|
उत्तर:-
गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल =4πr2
154=4πr2
154=4× 22 ×r2
7
r2= 154×7
4×22
r2= 49
4
r=√ 49 = 7
4 2
आयतन= 4 πr3
3
= 4 × 22 × 7 × 7 × 7
3 7 2 2 2
= 11×7×7 = 539
3 3
51. 10.5 सेमी व्यास वाले एक अर्द्ध गोलाकार कटोरे में कितना लीटर दूध आ सकता है|
उत्तर:—
व्यास=10.5
त्रिज्या= 10.5 = 105 = 21
2 20 4
अर्द्ध कटोरे का आयतन= 2 πr3
3
= 2 × 22 × 21 × 21 × 21
3 7 4 4 4
= 11×21×21 =303.18
4×4
= 303.18 =0.303 litre
1000
52. पीतल के बने एक अर्द्ध गोलाकार कटोरे का आंतरिक व्यास सेमी है| 20 रुपया प्रति 100 सेमी2 की दर से इसके आंतरिक पृष्ठ पर कलई कराने का व्यय ज्ञात करें|
उत्तर:—-
अर्द्ध गोले का वक्र पृष्ठ=2πr2
=2× 22 × 10.5 × 10.5
7 2 2
= 10.5×10.5×11 =173.25cm2
7
कलई करने का खर्च=173.25× 20 =34.65
100
53. एक अर्द्ध गोलाकार कटोरा 0.25 सेमी मोटी स्टील से बना है| इस कटोरे की आंतरिक त्रिज्या 5 सेमी है| कटोरे का बाहरी वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात करें|
उत्तर:—
बाहरी त्रिज्या=5+0.25=5.25cm
बाहरी वक्र पृष्ठ=2πr2
=2× 22 ×5.25×5.25= 44×27.5625
7 7
=173.25cm2
54. सर्कस का एक मोटर साइकिल सवार जिस खोखले गोले के अंदर अपना खेल दिखाता है उसका व्यास 9 मीटर है तो खेल दिखाने के लिए उसको कितना क्षेत्रफल उपलब्ध है|
उत्तर:—
मोटर साइकिल सवार को उपलब्ध स्थान= गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल=4πr2
=4× 22 × 9 × 9
7 2 2
= 1782 =254.57
7
55. एक मकान का उपरी भाग अर्द्ध गोलाकार है और इस पर पेंट किया जाना है| यदि इस अर्द्ध गोले के आधार की परिधि 17.6 मी है तो 6 रुपए प्रति 100 सेमी2 की दर से इसे पेंट कराने का खर्च मालूम करें|
उत्तर:—
आधार की परिधि=2πr
17.6=2× 22 ×r
7
r= 17.6×7
10×2×22
r= 14 =2.8
5
मकान का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल=2πr2
=2× 22 ×2.8×2.8= 44 × 28 × 28
7 7 10 10
= 11×4×28 = 1232 =49.28m2
25 25
पेंटिंग का खर्च=600×49.28
100 सेमी2 की पेंटिंग का 6 खर्च है|
1 m2 के पेंटिंग का खर्च=6×100
=600×49.28=29568
56. एक अर्द्ध गोलाकार टंकी 1 सेमी मोटी एक लोहे की चादर से बनी है| यदि इसकी आंतरिक त्रिज्या 1 मी है तो इस टंकी के बनाने में लगे लोहे का आयतन ज्ञात करें|
उत्तर:—
प्रयुक्त लोहे का आयतन= 2 π(R3-r3)
3
= 2 × 22 {(1.01)2-(1)3}
3 7
(बाहरी त्रिज्या=1m+1cm=1+0.01m)
= 2 × 22 ×(1.0201-1)= 44×201
3 7 210000
= 8844 =0.06348m3
210000
57. एक अर्द्ध गोलाकार कटोरे की त्रिज्या 3.5 सेमी है| इसके अंदर भरे जा सकने वाली पानी का आयतन निकाले-
उत्तर:—
पानी का आयतन= 2 πr3
3
= 2 × 22 × 35 × 35 × 35
3 7 10 10 10
= 2 × 22 × 7 × 7 × 7
3 7 2 2 2
= 49×11 = 539 =89.8m3
6 6
58. धातु की एक गेंद का व्यास 4.2 सेमी है, यदि इस धातु का घनत्व 7.9 ग्राम प्रति सेमी3 है| तो इस गेंद का द्रव्यमान ज्ञात करें|
उत्तर:—
गेंद का आयतन= 4 πr3
3
= 4 × 22 ×2.1×2.1×2.1
3 7
= 814968 cm3
21000
गेंद का द्रव्यमान= 814968 ×7.9
306.5832
306.5832 g
59. एक मकान का गुंबद एक अर्द्ध गोले के आकार का है| अंदर से इसमें सफेदी कराने में 498.96 रुपया व्यय हुए| यदि सफेदी कराने की दर 3 रुपया प्रतिवर्ग मीटर हो तो (i)गुंबद का आंतरिक पृष्ठीय क्षेत्रफल (ii) गुंबद के अंदर हवा का आयतन ज्ञात करें|
उत्तर:—
आंतरिक पृष्ठीय क्षेत्रफल= खर्च
दर
= 498.96 =166.32m2
3
पृष्ठीय क्षेत्रफल=2πr2
166.32=πr2
2× 22 ×r2=166.32
7
r2= 16632×7
2×22×100
r2= 2646 =26.46
100
r=√26.46=5.14
हवा का आयतन=गुंबद का आयतन
= 2 πr3
3
= 2 × 22 ×(5.14)3
3 7
=284.53m3
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