प्रश्नावली-2D
1. x2-2x+4 को x-1 से भाग देने पर शेषफल क्या होगा|
Answer:—-
x-1=0
x=1
p(x)=x2-2x+4
p(1)=(1)2-2×1+4=1-2+4=5-2=3
2. यदि बहुपद p(x) के लिए p(-1)=2 हो तो बहुपद p(x) को x+1 से भाग देने पर शेषफल क्या होगा?
Answer:—
2
3. यदि बहुपद p(x) के लिए p(-a)=0 हो तो बहुपद p(x) का एक गुणनखण्ड लिखें-
Ans:—
x+a
4. रिक्त स्थानों की पूर्ति करें-
(a)2×2+x-6 को x+2 से भाग देने पर शेषफल..
(b)यदि बहुपद p(x) का एक गुणनखण्ड x-3 हो तो p(3)=…….
(c)यदि बहुपद q(x) के लिए q(4)=0 हो तो q(x) का एक गुणनखण्ड होगा…..
(d)यदि बहुपद p(x) के लिए p(-1)=2 हो तो p(x)=-2 का एक गुणनखण्ड… …होगा|
Answer:—
(a) x+2=0 x=-2
p(x)=2×2+x-6
p(-2)=2×(-2)2-2-6
=8-2-6=8-8=0
(b)0
(c)x-4
(d)x+1
5. शेषफल प्रमेय से बहुपद p(x) को भाग देने पर शेषफल निकाले जबकि
(a)p(x)=x3+4x+2, भाजक=x+2
x+2=0 x=-2
p(x)=x3+4x+2
p(-2)=(-2)3+4×(-2)+2
-8-8+2=-16+2=-14
(b)p(x)=4×3-3×2+2x-4, भाजक=x-2
x-2=0 x=2
p(x)=4×3-3×2+2x-4
p(2)=4×(2)3-3×(2)2+2×(2)-4
4×(8)-3×(4)+2×2-4
32-12+4-4=20
(c)p(x)=4×3-3×2+2x-4, भाजक=x+1
x+1=0 x=-1
p(x)=4×3-3×2+2x-4
p(-1)=4×(-1)3-3×(-1)2+2×(-1)-4
-4-3-2-4=-13
(d)p(x)=x4+x3-2×2+x+1, भाजक=x-1
x-1=0 x=1
p(x)=x4+x3-2×2+x+1
p(1)=(1)4+(1)3-2(1)2+1+1
1+1-2+1+1=2
(e)p(x)=x3-ax2+6x-a भाजक=x-a
x-a=0 x=a
p(x)=x3-ax2+6x-a
p(a)=a3-a(a)2+6a-a
=a3-a3+6a-a=5a
(f)p(x)=4×3-3×2+5x+4, भाजक=x+ 1
2
x + 1 =0 x= -1
2 2
p(x)=4×3-3×2+5x+4
p(-1 )=4×(-1 )3-3×(-1 )2+5×(-1 )+4
2 2 2 2
4×( -1 )– 3× 1 – 5 +4
8 4 2
-1 – 3 – 5 + 4
2 4 2 1
-2-3-10+16 = 1
4 4
6. शेषफल प्रमेय से बहुपद p(x)=x3+3×2+3x+1 को x और x+1 से भाग देने पर प्रत्येक दशा में शेषफल ज्ञात करें-
Answer:—–
x=0 x+1=0=> x=-1
p(x)=x3+3×2+3x+1
p(0)=(0)3+3(0)2+3(0)+1
0+0+0+1=1
p(-1)=(-1)3+3(-1)2+3(-1)+1
-1+3-3+1=0
7. शेषफल प्रमेय से बहुपद p(x) को 1 भाग देने पर शेषफल निकाले- जबकि
(a)p(x)=4×3+5×2+9x+4, भाजक=2x+1
2x+1=0 2x=-1 x= -1
2
p(x)=4×3+5×2+9x+4
p( -1 )=4×(-1 )3+5×( -1 )2+9×(- 1 )+4
2 2 2 2
4× -1 +5× 1 +9× -1 +4
8 4 2
-1 + 5 – 9 +4
2 4 2
-2+5-18+16 = 1
4 4
(b)p(x)=4×3+5×2+6x-7, भाजक=2x-1
2x-1=0 2x=1 x= 1
2
p(x)=4×3+5×2+6x-7
p( 1 )=4×( 1 )3+5×( 1 )2+6× 1 -7
2 2 2 2
4× 1 + 5× 1 +3-7
8 4
1 + 5 -4
8 4
2+5-16 = -9
4 4
8.(i) जब x2+x+k को x-2 से भाग दिया जाता है तो शेषफल 7 आता है तो k का मान ज्ञात करें-
Answer:—–
x-2=0 x=2
p(x)=x2+x+k
p(2)=(2)2+2+k=7
4+2+k=7
6+k=7
k=7-6=1
(ii) यदि p(x)=ax3+3×2-3 एवं q(x)=2×3-5x+a को x-4 से भाग देने पर एक ही शेष आता है तो a का मान निकाले-
Answer:—–
x-4=0 x=4
p(x)=2×3-5x+a
p(4)=2×(4)3-5×4+a
2×64-20+a
128-20+a
108+a ——-(1)
q(x)=ax3+3×2-3
q(4)=a×(4)3+3×(4)2-3
64a+48-3=64a+45 ——(2)
From eq (1) &(2)
108+a=64a+45
64a-a=108-45
63a=63
a=63/63=1
9.a का मान ज्ञात करें ताकि
(a)x3-3x+5a, x-2 से विभाज्य हो जाए
Answer:—–
x-2=0 x=2
p(x)=x3-3x+5a
p(2)=(2)3-3×2+5a
8-6+5a
2+5a=0
5a=-2
a=-2/5
(b)x2-3x+a, x+2 से विभाज्य हो जाए
Answer:—-
x+2=0 x=-2
p(x)=x2-3x+a
p(-2)=(-2)2-3×(-2)+a
4+6+a=0
10+a=0
a=-10
(c)3y-5, 3y2-ay+10को पूर्णतः विभाजित करें
Answer:—–
3y-5=0 3y=5 y=5/3
p(y)=3y2-ay+10
p( 5 )=3×( 5 )2-a× 5 +10
3 3 3
3× 25 – 5a +10
9 3
25 – 5a +10
3 3
25-5a+30 =0
3
55-5a=0
5a=55 a=55/5=11
10.(a) x3+5 में कौन सी संख्या जोड़ी जाए कि यह x+3 से पूर्णतः विभाजित हो जाए
Answer:—-
x+3=0 x=-3
p(x)=x3+5
p(-3)=(-3)3+5
(-3)×(-3)×(-3)+5
-27+5=-22
x+3) x3+ 5 (x2-3x+9
x3 +3×2
-3×2+5
-3×2-9x
9x+5
9x+27
-22
(b) x2+x+1 में क्या घटाया जाए कि x-2 बहुपद का एक गुणनखण्ड बन जाए
Answer:—–
x-2=0 x=2
p(x)=x2+x+1
p(2)=(2)2+2+1=4+2+1=7
11. गुणनखण्ड प्रमेय से दिखाइए कि—-
(a)x3-3×2+4x-4 का एक गुणनखण्ड x-2 है|
Answer:—–
x-2=0 x=2
p(x)=x3-3×2+4x-4
p(2)=(2)3-3(2)2+4×2-4
8-12+8-4=0
(b)x2+8x+15 का एक गुणनखण्ड x+3 है|
Answer:—
x+3=0 x=-3
p(x)=x2+8x+15
p(-3)=(-3)2+8×(-3)+15
9-24+15=24-24=0
(c)x6-x5+x4-x3+x2-x+1 का एक गुणनखण्ड x-1 है|
Answer:—–
x-1=0 x=1
p(x)=x6-x5+x4-x3+x2-x+1
p(1)=(1)6-(1)5+(1)4-(1)3+(1)2-1+1
1-1+1-1+1-1+1=1 not
(d)x2-ax-bx+ab, x-a से विभाज्य है|
Answer:—-
x-a=0 x=a
p(x)=x2-ax-bx+ab
p(a)=(a)2-a×a-b×a+ab
a2-a2-ab+ab=0
(e)q(t)=4t3+4t2-t-1, 2t+1 का गुणज है|
Answer:—–
2t+1=0 2t=-1 t=-1/2
q(t)=4t3+4t2-t-1
q( -1 )=4×( -1 )3+4×( -1 )2- -1 -1
2 2 2 2
4× -1 +4× 1 + 1 -1
2 4 2
-1 +1 + 1 -1=0
2 2
12. गुणनखण्ड प्रमेय द्वारा जांच कर बताएं कि बहुपद q(x) बहुपद p(x) का एक गुणनखण्ड है| या नहीं जहाँ
(a)p(x)=2x+4 q(x)x+2
x+2=0 x=-2
p(x)=2x+4
p(-2)=2×(-2)+4=-4+4=0
(b)p(x)=x4+2×3-3×2+x-1, q(x)=x-2
x-2=0 x=2
p(x)=x4+2×3-3×2+x-1
p(2)=(2)4+2×(2)3-3×(2)2+2-1
16+16-12+1=21 no
(c)p(x)=2×3+4x+6, q(x)=x+1
x+1=0 x=-1
p(x)=2×3+4x+6
p(-1)=2×(-1)3+4×(-1)+6
-2-4+6=0 yes
(d)p(x)=x3+x2+3x+175, q(x)=x+5
x+5=0 x=-5
p(x)=x3+x2+3x+175
p(-5)=(-5)3+(-5)2+3×(-5)+175
-125+25-15+175=50 no
(e)p(x)=6×3-x2-5x+2, q(x)=2x-1
2x-1=0 2x=1 x=1/2
p(x)=6×3-x2-5x+2
p( 1 )=6×( 1 )3-( 1 )2-5× 1 +2
2 2 2 2
6× 1 – 1 – 5 +2
8 4 2
3 – 1 – 5 +2
4 4 2
3-1-10+8 = 0 =0
4 4
13. गुणनखण्ड प्रमेय द्वारा जांच कर बताएं कि बहुपद q(x) बहुपद p(x) का एक गुणनखण्ड है| या नहीं जहाँ
(a)=p(x)=x3+x2+x+1, q(x)=x+1
Answer:—–
x+1=0 x=-1
p(x)=x3+x2+x+1
p(-1)=(-1)3+(1)2-1+1
-1+1-1+1=0 yes
(b)p(x)=x4+x3+x2+x+1, q(x)=x+1
x+1=0 x=-1
p(x)=x4+x3+x2+x+1
p(-1)=(-1)4+(-1)3+(-1)2-1+1
1-1+1-1+1=1 no
(c)p(x)=x3+3×2+2x+1 q(x)=x+2
x+2=0 x=-2
p(x)=x3+3×2+2x+1
p(-2)=(-2)3+3(-2)2+2×(-2)+1
-8+12-4+1=1 no
(d) p(x) =x3+3×2+5x+6, q(x)=x+2
x+2=0 x=-2
p(x)=x3+3×2+5x+6
p(-2)=(-2)3+3(-2)2+5(-2)+6
-8+12-10+6=18-18=0 yes
14. यदि (x-1) निम्न बहुपदों में प्रत्येक का एक गुणनखण्ड है तो प्रत्येक स्थिति में k का मान ज्ञात करें-
x-1=0 x=1
(a)p(x)=4×3+3×2-4x+k
p(1)=4×(1)3+3×(1)2-4×1+k
4+3-4+k=0
3+k=0
k=-3
(b)p(x)=x2+x+k
p(1)=(1)2+(1)+k=0
1+1+k=0
2+k=0
k=-2
(c) p(x)=2×2+kx+√2
p(1)=2×(1)2+k×1+√2
2+k+√2=0
k+2+√2=0
k=-(2+√2)
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