प्रश्नावली-13A
1. रिक्त स्थानों की पूर्ति उचित अंक/अक्षर या शब्द से करें—-
(i)त्रिभुज का क्षेत्रफल= 1 ×आधार×संगत..
2
(ii)हीरोन के सूत्र के द्वारा त्रिभुज का क्षेत्रफल=√….(s-a)(s-b)(s-c) जहाँ a, b और c त्रिभुज की भुजाएँ है तथा त्रिभुज की ऊर्धपरिमिति है|
(iii)त्रिभुज का क्षेत्रफल = 1 ×….×ऊंचाई
2
(iv)त्रिभुज क्षेत्रफल=(….)आधार×संगत ऊंचाई
(v)यदि a, b और c त्रिभुज की भुजाएँ हो तो
a+b+c
——————
त्रिभुज का अर्द्ध परिमाप=
(vi)यदि a, b और c त्रिभुज की भुजाएँ हो तो a+b+c=त्रिभुज का———-
Answer:—-
(i)ऊंचाई(ii)5(iii)आधार(iv)1/2(v)2(vi)परिमाप
2.रिक्त स्थानों की पूर्ति उचित अंकों से कीजिये-
(i)यदि किसी त्रिभुज का आधार=5cm और ऊंचाई=12cm तो त्रिभुज का क्षेत्रफल=…. Cm2
(ii)यदि किसी त्रिभुज का क्षेत्रफल=60cm2 एवं त्रिभुज की ऊँचाई=5cm तो त्रिभुज का आधार=…. CM
(iii)यदि किसी त्रिभुज का आधार=50cm और त्रिभुज का क्षेत्रफल=625cm2 तो त्रिभुज की ऊँचाई=…
(iv)यदि किसी समबाहु त्रिभुज की प्रत्येक भुजा=10cm तो उसकी ऊँचाई=…cm और त्रिभुज=…. Cm2
(v)यदि किसी समबाहु त्रिभुज की ऊँचाई=100√3m तो उसकी प्रत्येक भुजा=…..cm और त्रिभुज का क्षेत्रफल=…… m2
Answer:—–
(i) 1 ×12×5=30
2
(ii) Height= 2×60 =24
5
(iii) 625×2 = 625 =25
50 25
(iv) √(10)2-(5)2=√100-25=5√3
Area= √3 ×10×10= 50√3 =25√3
2
(v) √3 a=height √3 a=10√3
2 2
a= 200√3 =200
√3
3.(i) यदि किसी समकोण त्रिभुज के समकोण बनाने वाली भुजाएँ 10m और 12m है तो उस समकोण त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात करें-
Answer:-
समकोण त्रिभुज का क्षेत्रफल= 1 ×AB×BC
2
1 ×10×12=12×5=60
2
(ii)हीरोन के सूत्र के प्रयोग के बिना उस त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात करें जिसकी भुजाएँ 5cm,12cm, 13cm है|
Answer:—–
समकोण त्रिभुज का क्षेत्रफल= 1 ×AB×BC
2
1 ×12×5=6×5=30
2
4. किसी समकोण त्रिभुज का क्षेत्रफल है और समकोण बनाने वाली एक भुजा है तो दूसरी भुजा की लंबाई ज्ञात करें-
Answer:—-
समकोण त्रिभुज का क्षेत्रफल= 1 ×AB×BC
2
25= 1 ×x×20
2
25×2=20x
50=20x
x= 50 =2.5
20
5. उस त्रिभुजाकार पार्क का क्षेत्रफल ज्ञात करें जिसकी भुजाएँ 40m, 24m और 32m है|
Answer:—-
S= a+b+c = 40+32+24 = 96 =48
2 2 2
∆ABC क्षेत्रफल=√s(s-a)(s-b)(s-c)
=√48(48-40)(48-32)(48-24)
=√48×8×16×24
=√2×2×2×2×3×2×2×2×2×2×2×2×2×2×2×3
=2×2×2×2×2×2×2×3=384
6. उस त्रिभुजाकार पार्क का क्षेत्रफल ज्ञात करें जिसकी भुजाएँ 120m, 80m और 50m है| एक ओर 10m चौड़े फाटक के लिए स्थान छोड़ते हुए इसके चारों ओर ₹50 प्रति मीटर की दर से बांध लगाने का खर्च निकाले-
Answer:——
S= a+b+c
2
120+80+50 = 250 =125
2 2
क्षेत्रफल=√s(s-a)(s-b)(s-c)
=√125(125-120)(125-80)(125-50)
=√125×5×45×75
√5×5×5×5×3×3×5×3×5×5
375√15
परिमित=a+b+c=120+80+50=250
बाड़ लगाने का खर्च=(250-10)×50
240×50=12000
7.(a) उस त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात करें जिसकी दो भुजाएँ 18cm और 10cm है और जिसका परिमाप 42cm है|
Answer:—-
S=a+b+c
42=18+10+c c=42-18-10=14
S= a+b+c = 18+14+10
2 2
42 =21
2
क्षेत्रफल=√s(s-a)(s-b)(s-c)
√21(21-18)(21-14)(21-10)
√21×3×7×11
√7×3×3×7×11=3×7√11=21√11
(b) एक त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात करें जिसके दो भुजाएँ 8cm और 11cmहै और जिसका परिमाप 32cmहै|
Answer:—-
S=a+b+c
32=8+11+c c=32-11-8=13
S= a+b+c = 13+11+8 = 32 =16
2 2 2
क्षेत्रफल=√s(s-a)(s-b)(s-c)
=√16(16-13)(16-11)(16-8)
=√16×3×5×8
=√2×2×2×2×3×5×2×2×2
=2×2×2√30=8√3
8. हीरोन के सूत्र के प्रयोग से उस त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात करें जिसकी प्रत्येक भुजा 10cm है|
Answer:—-
AB=BC=AC=10
S= a+b+c = 10+10+10 = 30 =15
2 2 2
क्षेत्रफल=√s(s-a)(s-b)(s-c)
=√15(15-10)(15-10)(15-10)
=√15×5×5×5=√5×3×5×5×5=25√3
9. हीरोन की सूत्र की सहायता से उस त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात करें जिसकी तीनों भुजाएँ बराबर है और त्रिभुज का परिमाप 180cm है|
Answer:—–
AB+BC+AC=180
AB=BC=AC=60
S= a+b+c
2
60+60+60 = 180 =90
2 2
क्षेत्रफल=√s(s-a)(s-b)(s-c)
=√90(90-60)(90-60)(90-60)
=√90×30×30×30
=√3×30×30×30×30=30×30√3
900√3
10. (i) किसी त्रिभुज की भुजाएँ 3:5:7 के अनुपात में है| इसकी परिमित 300m है तो त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात करें-
Answer:—–
Let 3x, 5x, 7x
3x+5x+7x=300
15x=300 x=300/15=20
a=3x=3×20=60
b=5x=5×20=100
c=7x=7×20=140
S= a+b+c = 60+100+140
2 2
300 =150
2
क्षेत्रफल=√s(s-a)(s-b)(s-c)
=√150(150-60)(150-100)(150-140)
=√150×90×50×10
=√5×5×3×2×2×5×2×5×5×3×3×2×5
=5×5×5×2×2×3=1500
(ii) एक त्रिभुज की भुजाएँ 13:14:15 के अनुपात में है और इसकी अर्धपरिमिति 105 है तो त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात करें-
Answer:—-
13x, 14x, 15x
S= a+b+c
2
13x+14x+15x=105
2
42x =105
2
21x=105 x=105/21=5
a=13×5=65
b=14×5=70
c=15×5=75
S=a+b+c=65+70+75=210=105
2 2 2
क्षेत्रफल=√s(s-a)(s-b)(s-c)
=√105(105-65)(105-75)(105-70)
=√105×40×30×35
=√3×7×5×5×2×2×2×2×3×5×5×7
=3×7×5×5×2×2=2100
11.(a) एक त्रिभुज की दो भुजाएँ 15m और 20m है| तथा त्रिभुज की परिमिति 60m है तो त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात करें-
Answer:——
S=a+b+c
60=15+20+c c=60-15-20=25
S= a+b+c = 15+20+25 = 60 =30
2 2 2
क्षेत्रफल=√s(s-a)(s-b)(s-c)
=√30(30-15)(30-20)30-25)
=√30×15×10×5
=√3×5×2×3×5×5×2×5
=2×3×5×5=150
(b) किसी त्रिभुज की दो भुजाएँ 68m और 75m है| तथा इसकी अ अर्द्धपरिमिति 110m है तो त्रिभुज का क्षेत्रफल निकाले-
Answer:—-
S= a+b+c
2
110= 68+75+c
2
220=123+c c=220-143=77
S=a+b+c=77+68+75 =220=110
2 2 2
क्षेत्रफल=√s(s-a)(s-b)(s-c)
=√110(110-77)(110-68)(110-75)
=√110×33×35×42
=√2×5×11×11×3×7×5×7×3×2
=2×5×11×7×3=2310
12.(a) एक त्रिभुज की भुजाएँ क्रम से 51m,52m और 53m है| 52m की भुजा पर उसके सामने के शीर्ष से लंब खींचने से जो दो त्रिभुज बनते हैं, उसका क्षेत्रफल अलग अलग निकालिए—–
Answer:—-
माना कि ABC एक त्रिभुज है जिसमें AB=51m, BC=52m तथा AC=53m है AD लंब BC डाला
BD=CD=26m
इस प्रकार दो अभीष्ट त्रिभुज ABD और ADC मिलते हैं|
S= a+b+c = 51+52+53 = 156 =78
2 2 2
ABC क्षेत्रफल=√s(s-a)(s-b)(s-c)
=√78(78-52)(78-53)(78-51)
=√78×26×25×27
=√13×3×2×13×2×5×5×3×3×3
13×3×3×5×2=1170
ABC क्षेत्रफल= 1 ×BC×AD
2
1170= 1 ×52×AD
2
AD= 1170×2 = 1170 =45
52 26
ABD,
BD=√(AB)2-(AD)2=√(51)2-(45)2
√2601-2025=√576=24
ABD क्षेत्रफल= 1 ×24×45=12×45=540
2
ADC,
DC=(AC)2-(AD)2
√(53)2-(45)2=√2809-2025
=√784=28
ADC क्षेत्रफल= 1 ×28×45=14×45=630
2
(b) एक त्रिभुज की भुजाएँ 21m, 20m और 13m है| सबसे बड़ी भुजा पर उसके सामने के शीर्ष से लंब खींचने पर जो त्रिभुज बनते हैं उनके क्षेत्रफल अलग अलग निकालिए-
Answer:-;—
S= a+b+c = 21+20+13 = 54 =27
2 2 2
ABC क्षेत्रफल=√s(s-a)(s-b)(s-c)
=√27(27-21)(27-20)(27-13)
=√27×6×7×14
=√3×3×3×3×2×7×2×7
=3×3×2×7=126
ABC क्षेत्रफल= 1 ×21×h
2
126= 1 ×21×h
2
H= 126×2 =2×6=12
21
आधार=√(कर्ण)2-(लंब)2=√(13)2-(12)2
√169-144=√25=5
ABD क्षेत्रफल= 1 ×5×12=6×5=30
2
ACD,
आधार=√(कर्ण)2-(लंब)2=√(20)2-(12)2
√400-144=√256=16
ACD क्षेत्रफल= 1 ×16×12=16×6=96
2
13. एक समद्विबाहु त्रिभुज की बराबर भुजाओं में से प्रत्येक 25m और आधार 30m है तो इसका क्षेत्रफल ज्ञात करें-
Answer:—–
AB=AC=25 BC=30
S= a+b+c = 30+25+25 = 80 =40
2 2 2
ABC क्षेत्रफल=√s(s-a)(s-b)(s-c)
=√40(40-25)(40-25)(40-30)
=√40×15×15×10
=√2×2×2×5×3×5×3×5×5×2
=2×2×5×5×3=300
14.(a) किसी समद्विबाहु समकोण त्रिभुज का कर्ण 800√2cm है| तो उसका क्षेत्रफल निकाले-
Answer:—-
AB=BC=x
(AC)2=(AB)2+(BC)2
(800√2)2=x2+x2
(800√2)2=2×2
800√2×800√2=2×2
x2= 800×800×2 =640000
2
x=√640000=800
ABC क्षेत्रफल= 1 ×800×800
2
400×800=320000
(b) किसी समद्विबाहु समकोण त्रिभुज का क्षेत्रफल 200cm2 है तो कर्ण लंबाई बताएं—–
उत्तर:—–
AB=AC=x
क्षेत्रफल= 1 ×x×x
2
200= 1 ×(x)2
2
200×2=(x)2
400=(x)2 x=√400=20
AB=AC=20cm
AC=(AB)2+(AC)2
=√(20)2+(20)2
=√400+400=√800=20√2cm
15. एक त्रिभुज की भुजाएँ 3cm, 4cm तथा 6cm है| दूसरे त्रिभुज की भुजाएँ 9cm,12cm तथा 18cm है| इन भुजाओं के क्षेत्रफलों का क्या अनुपात है|
ABC,
S= a+b+c = 4+6+3 = 13
2 2 2
ABC क्षेत्रफल=√s(s-a)(s-b)(s-c)
√ 13 ( 13 -4)( 13 -6)( 13 -3)
2 2 2 2
√ 13 ( 13-8 )( 13-12 )( 13-6 )
2 2 2 2
√ 13 × 10 × 1 × 7
2 2 2 2
DEF,
S= a+b+c = 12+18+19 = 39
2 2 2
DEF क्षेत्रफल=√s(s-a)(s-b)(s-c)
√ 39 ( 39 -12)( 39 -18)( 39 -9)
2 2 2 2
√ 39 ( 39-24 )( 39-36 )( 39-18 )
2 2 2 2
√ 39 × 15 × 3 × 21
2 2 2 2
ar∆ABC
ar∆DEF
√13 ×(10)× 1 × 7 × 2 × 2 × 2 × 2
2 2 2 2 (39) (15) 3 (21)
√ 1 = 1 = 1 =1:9
3×3×3×3 3×3 9
16. किसी समकोण त्रिभुज की छोटी भुजाएँ 4cm, और 3cm है तो समकोण के शीर्ष से कर्ण पर डाले गए लंब की लंबाई निकाले-
उत्तर:-
माना कि ABC एक समकोण त्रिभुज है जिसका कोण B समकोण है| B से AC पर लंब BD| तो BD=?
ABC,
(AC)2=(AB)2+(BC)2
√(4)2+(3)2=√16+9=√25=5
क्षेत्रफल ABC= 1 ×3×4=6
2
ABC क्षेत्रफल= 1 ×AC×BD
2
6= 1 ×5×BD
2
12=5D
D=12/5=2.4
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