विविध प्रश्नावली
1. (a) यदि 5SecA=13 बाकी सभी त्रिकोणमितीय अनुपात के मान परिभाषा से निकाले—
Answer:–
5secA=13
SecA= 13
5
कर्ण = 13
आधार 5
कर्ण=13 आधार=5
लंब=√कर्ण2-आधार 2=√(13)2-(5)2
=√169-25=√144=12
SinA=लंब/कर्ण=12/13
CosA=आधार/कर्ण=5/13
tanA=लंब/आधार=12/5
CotA=आधार/लंब=5/12
SecA=कर्ण/आधार=13/5
CosecA=कर्ण/लंब=13/12
(b) ∆ABC में <B=90°, AB=7 सेमी और AC-BC=1 सेमी है तो
(i)sinC (ii)cosC (iii)tanA+secA के मान ज्ञात करें-
Answer:—
माना कि BC=x
AC-BC=1
AC-x=1 AC=1+x ——-(1)
समीकरण ∆ABC में,
AC=√(AB)2+(BC)2
AC2=(7)2+(x)2 ——(2)
समीकरण (1) तथा (2) से,
(7)2+(x)2=(x+1)2
49+x2=x2+2x+1
49-1=2x 48=2x x=48/2=24
BC=24 AC2=(7)2+(24)2
AC2=49+576 AC=√625=25
(i) sinC=AB/AC=7/25
(ii) cosC=BC/AC=24/25
(iii)tanA+secA= sinA + 1
CosA cosA
7
25 + 1 = 7 + 25 =7+25 = 32
24 24 24 24 24 24
25 25
2.यदि 3cotA=4 तो सिद्ध करें कि 1-tan2A
1+tan2A
=cos2A-sin2A
Answer::::::——-
3cotA=4
CotA= 4
3
आधार = 4
लंब 3
आधार=4 लंब=3
कर्ण=√(4)2+(3)2=√16+9=√25=5
1 – 3 ×3
LHS= 1-tan2A = 4 ×4
1+tan2A 1 + 3× 3
4×4
16-9
16 = 7
16+9 25
16
RHS= cos2A-sin2A= 4×4 – 3×3
5×5 5×5
16 – 9 = 7
25 25 25
LHS=RHS
3. मान ज्ञात करें—–
(i) sin30+tan45-cosec60
Sec30+cos60+cot45
1 + 1 – 2 √3+2√3-4
2 1 √3 = 2√3
2 + 1 + 1 4+√3+2√3
√3 2 1 2√3
3√3 -4 = 3√3-4
2√3 3√3+4
3√3+4
3√3
2√3 – 4 × 3√3-4 = (3√3-4)2
3√3+ 4 3√3-4 (3√3)2-(4)2
(3√3)2-2×3√3×4+(4)2 =9×3-24√3+16
(3√3)2-(4)2 9×3-16
27+16-24√3 = 43-24√3
27-16 11
(ii) 2 cosec98cosec98 – 2 cot58tan32
3 3
-5 tan13tan37tan45tan53tan77
3
Answer::::—-
2 cosec58cosec58- 2 cot58tan(90-58)
3 3
-5 tan13tan77tan45tan54tan37
3
2 cosec58cosec58 – 2 cot58cot58
3 3
– 5 tan13tan(90-13)tan53tan(90-53)
3
2 (cosec58×cosec58-cot58×cot58)
3
– 5 tan13cot13×1×tan53cot53
3
2 ×1- 5 ×1×1×1= 1 (2-5)= 1×(-3)=-1
3 3 3 3
4. त्रिभुज ABC एक समकोण त्रिभुज है जिसमें <A=90°, AD|BC, <BAD=30 और AD=6 है तो ∆ABC की परिमिति ज्ञात करें-
ANSWER::::—–
समकोण ∆ADB में,
cos30= AD = 6
AB AB
√3 = 6 AB√3=12
2 AB
AB= 12√3 = 12√3 =4√3
√3×√3 3
tan30= BD
AD
1 = BD
√3 6
BD= 6 = 2×√3×√3 =BD=2√3
√3 √3
समकोण ∆ADC में
cos<CAD=cos60= AD
AC
1 = 6 AC=12
2 AC
tan<CAD=tan60= CD
AD
√3 = CD CD=6√3
1 6
AB=4√3, AC=12, BC=BD+DC=(2√3+6√3)
=8√3
ABCकी परिमिति=4√3+12+8√3=12√3+12
5. यदि 5cosA=3 तो त्रिकोणमितीय तादात्म्य से (i)tanA (ii)cosecA (iii)sinA+cotA के मान निकाले—–
Answer:—–
5cosA=3
CosA= 3
5
आधार = 3
कर्ण 5
आधार=3 कर्ण=5
लंब=√कर्ण2-आधार2=√(5)2-(3)2
=√25-9=√16=4
(i)tanA=लंब/आधार=4/3
(ii)cosecA=कर्ण/आधार=5/4
(iii)sinA+cotA= 4 + 3 =16+15 = 31
5 4 20 20
6. (SinA+cosecA)2+(cosA+secA)2=tan2A+cot2A+7
Answer:—
LHS=(sinA+cosecA)2+(cosA+secA)2=
Sin2A+cosec2A+2sinAcosecA+cos2A+sec2A+2cosAsecA
=1+2×1+1+2×1=3+3=6
RHS=tan2A+cot2A+7
Sin2A + cos2A + 7
Cos2A sin2A
(Sin2A)2+(cos2A)2 +7sin2Acos2A
Sin2Acos2A
=(Sin2A)2+(cos2A)2+2sin2Acos2A+5sin2Acos2A
=(sin2A+cos2A)2+5×sin2A×cos2A
1×1+5×1=1+5=6
LHS=RHS
7.(sinA-cosecA)(cosA-secA)= 1
tanA+cotA
=sinAcosA
Answer:-:::
(SinA-cosecA) (cosA-secA)=(sinA- 1 )
SinA
(CosA- 1 )=( sin2A-1 )( cos2A-1)
CosA sinA cosA
-1(1-sin2A) × -1(1-cos2A)
SinA cosA
Cos2A × sin2A =sinAcosA=1
SinA cosA
RHS===
1 = 1 = 1
tanA+cotA sinA + cosA sin2A+cos2A
CosA sinA sinAcosA
1 =1(sin2A+cos2A=1, sinAcosA=1)
1
SinAcosA=1
8.(i) cotA + tanA =1+secAcosecA
1-tanA 1-cotA
Answer:—–
1 + tanA
tanA(1-tanA) (1- 1 )
tanA
1 + tanA
tanA(1-tanA) tanA-1
tanA
= 1 + tan2A
tanA(1-tanA) tanA-1
= 1 + tan2A = 1-tan3A
tanA(1-tanA) -(1-tanA) tanA(1-tanA)
= (1-tanA)(1×1+1•tanA+tan2A)
tanA(1-tanA)
1+tan2A+tanA(1-tanA=1)=sec2A+tanA
tan2A (1-tanA ) tanA
1
Sec2A +1= cos2A +1= 1 × cosA+1
tan2A sinA cos2A sinA
CosA
1 +1=1+cosecAsecA
SinAcosA
(ii)sinA(1+tanA)+cosA(1+cotA)=secA+
cosecA
Answer:-
LHS=sinA+cosA+( 1+sin2A + cos2A )
CosA sinA
SinA+cosA+( sin3A+cos3A )
SinAcosA
SinA+cosA(sinA+cosA)(sin2A- sinAcosA+cos2A)
SinAcosA
SinA+cosA ( 1+1-sinAcosA)
SinAcosA
SinA+cosA ( 1 + 1-1 )
SinAcosA sinAcosA
SinA+cosA ( 1 +0)
SinAcosA
SinA + cosA
SinAcosA sinAcosA
1 + 1 =secA + cosecA
CosA sinA
9. 2sec2A-sec4A-2cosec2A+cosec4A
=cot4A-tan4A
Answer:::::——
2sec2A-2cosec2A-(sec4A-cosec4A)
2(sec2A-cosec2A)-(sec4A-cosec2A)
Sec2A-cosec2A(2-(sec2A+cosec2A)
{(1+tan2A)-(1+cot2A)}-{2-(1+tan2A+cot2A)
(1+tan2A-1-cot2A)(2-(2+tan2A+cos2A)
(tan2A-cot2A)-1)(tan2A+cot2A)
(-1)(tan4A-cot4A=cot4A-tan4A
10 (1-tanA)2 = 1+tan2A
(1-cotA) 1+cot2A
Answer:—-
( 1-tanA )2 ( 1-tanA )2
( 1-tanA )2 = 1 – 1 ) = tanA-1
1-cotA tanA tanA
( 1-tanA ×tanA)2 = (-tanA)2=tan2A
(-(1-tanA)
Sin2A = sec2A = 1+tan2A
Cos2A cosec2A 1+cot2A
[Sin2A=1/cosec2A , sec2A=1/cos2A]
(ii) एक मीनार की चोटी से एक 7 मी ऊंचे भवन के शिखर और आधार के अवनमन कोण क्रमशः 45 और 60 है| मीनार की ऊंचाई ज्ञात करें-
उत्तर:—
माना कि AB मीनार की चोटी से 7M ऊंचे भवन CD के शीर्ष और पाद का अवनमन कोण क्रमशः 45 और 60 है|CD=EB=7M
BD=EC समकोण ∆ABD में
tan60= AB
BD
√3= 7+AE BD√3=7+AE
BD
BD= 7+AE
√3
पुनः समकोण ∆AEC में
tan45= AE
EC
1= AE AE=EC
EC
(EC=BD=7+AE√3)
7+AE = AE
√3
√3×AE=7+AE √3AE-AE=7
AE(√3-1)=7 AE= 7 = 7
√3-1 1.732-1
AE= 7 AE= 7000 =9.56
0.732 732
मीनार की चोटी की ऊंचाई=7+9.56=16.56
11.(i) sinA-cosA+1 =secA+tanA
SinA+cosA-1
Answer:——
CosA( sinA -1+ 1 )
SinA-cosA+1 = cosA cosA
SinA+cosA-1 CosA ( sinA +1- 1 )
CosA cosA
tanA-1+secA = tanA+secA-1
tanA+1-secA tanA-secA+1
SecA+tanA-(sec2A-tan2A)
tanA-secA+1
SecA+tanA-(secA+tanA)(secA-tanA)
tanA-secA+1
SecA+tanA(tanA-secA+1)=secA+tanA
tanA-secA+1
(ii) tanA+secA-1 = 1+sinA
tanA-secA+1 cosA
LHS
tan1+secA-1=tanA+secA-(sec2A-tan2A)
tanA-secA+1 tanA-secA+1
tanA+secA-(secA+tanA)(secA-tanA)
tanA-secA+1
tanA+secA(1-(secA-tanA)
tanA-secA+1
tanA+secA(1-secA+tanA)=tanA+secA
tanA-secA+1
SinA + 1 = sinA+1
CosA cosA cosA
12. मान बताएं—–
Sin63×sin63+sin27×sin27 Cos17×cos17+cos73×cos73
Answer:—
Sin63×sin63+sin2(90-63)
Cos17×cos17+cos2(90-17)
Sin63×sin63+cos63×cos63 = 1 =1
Cos17×cos17+sin17×sin17 1
13. सिद्ध करें कि——
(i) tan67tan42tan23tan42tan48=1
tan67tan(90-67)tan42tan(90-42)
tan67cot67tan42cot42=1×1=1
(ii) sin38sin52-cos38cos52=0
Sin38sin(90-38)-cos38cos(90-38)
Sin38cos38-cos38sin38=1-1=0
14.(i) यदि cosec(A-20)=sec4A जहाँ 20° <A और 4A न्यून कोण है| तो A का मान ज्ञात करें-
Answer:——
Cosec(A-20)=sec4A
Cosec (A-20)=cosec (90-4A)
A-20=90-4A
A+4A=90+20=110
5A=110 A=110/5=22°
(ii)यदि tanA=cot(30+A) तो सिद्ध करें कि A=3A
Answer:—-
tanA=cot(30+A)
Cot(90-A)=cot(30+A)
90-A=30+A 90-30=A+A
60=2A A=60/2=30
15. 1.2m लंबी एक लकड़ी खड़ी होकर होती है कि एक गुब्बारा जमीन से 88.2 ऊँचाई पर एक सीधे में जमीन के समांतर उड़ रहा है| किसी क्षण उस गुब्बारे का उन्नयन कोण 60 पाती है| कुछ समय बाद उन्नयन कोण घटकर 30 हो जाता है| बताएं कि इस दौरान गुब्बारा ने कितनी दूरी तय की थी|
उत्तर:—
माना कि DB ऊँचाई पर गुब्बारा उड़ रहा है| तथा PQ लड़की है|
समकोण ∆ACP में,
tan60= AC
PC
√3=(88.2-1.2)
PC
PC×√3=87
PC= 87 × √3 =29√3
√3 √3
अब समकोण ∆BDP में
tan30= BD
PD
1 = (88.2-1.2) = 87
√3 PD PD
PD=87√3
अभीष्ट दूरी=CD=PD-PC
=87√3-29√3=58√3
16. 30 मी ऊंचे एक भवन से कुछ दूरी पर 1.5 मी लंबा एक लड़का खड़ा है| वह भवन की तरफ कुछ दूरी चलने पर पाता है कि उन्नयन कोण 30 से बढ़कर 60 हो जाता बताइये कि वह लड़का भवन की ओर कितनी दूर गया था|
उत्तर:—-
माना कि PQ 1.5M लंबा लड़का AB भवन की ओर आ रहा है| P बिंदु से A बिंदु का उन्नयन कोण 30° तथा L बिंदु से A बिंदु के उन्नयन कोण 60 है|
AC=AB-BC=30-PQ=30-1.5=28.5
समकोण ∆ACL में
tan60= AC
CL
√3= 28.5
CL
CL= 28.5
√3
पुनः समकोण ∆ACP में
tan30= AC
CP
1 = 28.5 = 28.5 +x=28.5
√3 28.5 +x √3
√3
x=28.5√3- 28.5 =28.5(√3- 1 )
√3 √3
28.5( 3-1 )=28.5× 2 = 57 =19√3
√3 √3 √3
17. जमीन से स्थित किसी बिंदु से 20 ऊंचे एक भवन पर खड़ा एक झंडे के जड़ और शीर्ष के उन्नयन कोण क्रमशः 45 और 60 है| झंडे की ऊंचाई ज्ञात करें-
उत्तर:-
माना कि BC भवन पर AC झंडा खड़ा है| झंडे के जड़ और शीर्ष के उन्नयन कोण क्रमशः 45 और 60 है तो AC=?,AC=Xमाना
समकोण ∆CBP में
tan45= CB
BP
1= 20
BP
BP=20
समकोण ∆ABP में
tan60= AB
BP
√3= (20+x)
20
20√3=20+x x=20√3-20
x=20×1.732-20=34.640-20=14.64
18. किसी मीनार के शीर्ष से एक व्यक्ति मीनार की ओर समरूप वेग से आते हुए एक गाड़ी का अवनती कोण 30 पाता है| 6 सेकेण्ड के बाद वह गाड़ी का अवनती कोण 60 पता है| उस क्षण के कितने समय बाद गाड़ी मीनार के जड़ तक पहुँच जाएगी|
उत्तर:—
माना कि AB मीनार की ओर आते हुए व्यक्ति गाड़ी को देखता है| P बिंदु से Q बिंदु तक आने में 6 सेकंड लगता है|
यदि वेग Vm/second हो तो PQ=6vm
समकोण ∆ABQ में
tan60= AB
BQ
√3= AB BQ= AB
BQ √3
समकोण ∆ABP में
tan30= AB
BP
1 = AB BP=√3AB
√3 BP
PQ=BP-BQ= AB√3 – AB
√3
AB×3-AB = 2AB
√3 √3
6Vm= 2AB 6√3=2AB
√3
AB=6√3/2=3√3 AB
अभीष्ट लगा समय= BQ = √3
V V
AB = 3√3V =3second
V√3 √3V
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