प्रश्नावली-3
रिक्त स्थानों को भरें——
1.(a) चित्र में PQR एक समकोण त्रिभुज है जिसमें QR क्षैतिज है, QR=8√3 और QPR=30 तो
(i) R पर P का उन्नयन कोण=……
(ii)P पर R का अवनमन कोण=…….
(iii) Q से P की ऊँचाई=……..
Answer:—–
(i)60°[180-(90+30)]
(ii)60=(90-30)
(iii)24m
(b) ABC एक समकोण त्रिभुज है जिसमें BC क्षैतिज है AB=8 BAC=60 तो
(i) C पर A का………30 होगा
(ii)A पर C का………..30होगा
(iii) Bसे C की दूरी…………
Answer:—–
(i)उन्नयन कोण (ii)अवनमन कोण (iii) 8√3
2. ABC, A=90 AB=6 AC=2√3
तो B की माप
Answer::::::——
tanA= 2√3
6
tanA= 2√3
2√3×√3
tanA= 1
√3
tanA=tan30
A=30
3.(i) समकोण त्रिभुज ABC में कर्ण AC=12 एवं A=60 तो शेष भुजाओं की लंबाईयां निकाले—
Answer:—–
Cos60= BA
CA
1 = AB
2 12
AB=12/2=6
tan60= BC
6
√3= BC
6
BC=6√3
(ii) in figure, ABC=90 BAC=60
AB =tan60
BC
AB =√3
BC
AB=√3BC
√3 गुणा
4.(i) एक वायुयान क्षैतिज तल के साथ 30° का कोण बनाते हुए जमीन से उड़ता हुआ 184 मीटर जाता है तो जमीन से वायुयान की ऊँचाई कितनी होगी?
Answer:—–
माना कि C बिंदु पर 30 का कोण बनाते हुए वायुयान उड़कर A बिंदु पर पहुँचती है| तो AB=?
समकोण ABC,
Sin30= AB
AC
1 = AB
2 184
(क्योंकि वायुयान 184 मीटर उड़कर जाती है)
2AB=184 =>AB=184/2=92
(ii) एक पतंग की डोरी 100 मीटर लंबी है| यदि डोरी एक सरल रेखा के रूप में है| एवं भूतल के साथ A कोण इस प्रकार बनाती है कि SinA=8/15 तो भूतल पतंग की ऊँचाई निकाले-
उत्तर:—–
माना कि पतंग C बिंदु पर A का कोण बनाते हुए बिंदु पर उड़ रही है| पतंग की डोरी की लंबाई=100 है|
ABC,
SinA= AB
AC
8 = AB
15 100
15AB=8×100=800
AB=800/15
AB=160/3=53.3
5.(i) AB एक उध्वार्धर दीवार है, जिसका B भाग भूमि के संपर्क में है| सीढ़ी, जमीन से C बिंदु पर टिकी हुई है| यदि ACB=60 BC=3 तो सीढ़ी की लंबाई ज्ञात करें-
उत्तर:—–
माना कि AB ऊर्ध्वाधर दीवार से AC सीढ़ी टिकी हुई है|
समकोण ABC में,
Cos60= BC
AC
1 = 3
2 AC
AC=3×2=6
(ii) एक मजदूर दीवार पर ईंट पहुँचाने के लिए सीढ़ी पर चढ़ रहा है जिसका उपरी सिरा दीवार से शीर्ष तक पहुँचाता है| दीवार की ऊँचाई 15 मीटर तथा सीढ़ी का भूमितल के साथ बना कोण 60° है| सीढ़ी के ऊपरी सिरे तक चढ़ने के लिए मजदूर द्वारा तय की गई दूरी निर्धारित करें—–
उत्तर:—–
माना कि AB दीवार से AC सीढ़ी लगी है जो 60 का कोण बनाती है|
समकोण ABC में
sin60= AB
AC
√3 = 15
2 AC
AC= 2×15 = 30 =10√3
√3 √3
(iii) 10 मीटर ऊँचा एक खंभे को सीधा खड़ा रखने के लिए एक स्टील की तार का एक सिरा खंभे की चोटी के साथ 45° का कोण बनाये तो तार की लंबाई निकाले—–
उत्तर:—–
माना कि AB खंभे को सीधा खड़ा रखने के लिए AC तार को C बिंदु पर स्थित किया गया है|
समकोण ABC में,
sin45= AB
AC
1 = 10
√2 AC
AC=10√2=10×1.4140=14.14m=141.14
6.(i) AB एक उर्ध्वाधर दीवार है, जिसका B भाग समतल भूमि के संपर्क में है| AC सीढ़ी है, यदि BAC=30 और AC=3 मीटर तो BC निकाले-
Answer::—;:-
माना कि AB दीवार से AC सीढ़ी जो 3m लंबी है BC=?
Sin30= BC
AC
1 = BC
2 3
BC=3/2=1.5
(ii) एक मीनार के शीर्ष का उन्नयन कोण उसके पाद से 15 मीटर दूरी पर 60 है तो मीनार की ऊँचाई ज्ञात करें-
उत्तर:——
माना कि AB दीवार से 15 मीटर की दूरी पर C बिंदु के साथ का 60 कोण बनाती है तो
समकोण ABC में
tan60= AB
AC
√3 = AB
1 15
AC=15×√3=15√3
7.(i) नदी को पार करने के लिए किसी व्यक्ति को पुल के अनुदिश एक किनारे से दूसरे किनारे तक 236 की दूरी तय करनी पड़ती है| यदि नदी के किनारे के साथ पुल 30 का कोण बनाए तो नदी की चौड़ाई निकाले——
उत्तर:——
मान कि BC किनारा पुल के साथ 30° का कोण बनाता है| आदमी द्वारा तय की दूरी 236 मीटर तो नदी की चौड़ाई BC ज्ञात करना है|
समकोण ABC में
Sin30°= AB
AC
1 = AB
2 236
AB=236/2=118
(ii) माना कि आप पुल पर चढ़कर कोई नदी पार करना चाहते हैं| पुल नदी के किनारे के साथ 60 का कोण बनाता है| यदि आपको नदी के किनारे से दूसरे किनारे तक जाने में 200 की दूरी तय करनी पड़ती है तो नदी की चौड़ाई क्या होगी?
उत्तर:—–
माना कि AB पुल के साथ किनारा 60 का कोण बनाती है| दूरी 200m है तो AB=?
Sin60= AB
AC
√3 = AB
2 200
200√3=2AB
AB= 200√3 =100√3
2
8. एक स्तंभ की छाया की लंबाई, स्तंभ की ऊँचाई से 1/√3 गुनी है| सूर्य का उन्नयन कोण बताएं–
उत्तर:——
माना कि AB स्तंभ की ऊँचाई x-m है इसिलिए BC छाया की लंबाई X×1/√3 तो A=?
समकोण ABC में
tanA= AB = x =√3
BC X
√3
tanA=√3
tanA=tan60
A=60
9.(i) एक 30 मीटर लंबी सीढ़ी 15 मीटर ऊंची दीवार के सहारे इस तरह से खड़ी है कि उसका उपरी सिरा दीवार के शीर्ष को स्पर्श कर रहा है| सीढ़ी भूमितल के साथ कितना कोण बनाती है| सकारण लिखे-
उत्तर:——
माना कि AB दीवार से AC सीढ़ी लगी है जिसकी लंबाई 30m है|
समकोण ABC में,
SinA= AB
AC
SinA= 15
30
SinA= 1
2
SinA=Sin30
A=30°
(ii) एक उर्ध्वाधर स्तंभ 2√3 ऊंचा है, तथा उसकी परछाई की लंबाई 2 मीटर है| प्रकाश स्रोत का उन्नयन कोण क्या होगा? सकारण लिखे-
उत्तर:—–
माना कि AB उर्ध्वाधर स्तंभ की परछाई BC है|
समकोण ABC में
tanA= AB
BC
tanA= 2√3
2
tanA=√3
tanA=tan60
A=60
10. भूमि के किसी बिंदु से एक पतंग की तनी हुई डोरी की लंबाई 85 मीटर है| यदि भूमितल के साथ डोरी इस प्रकार बनाए की tanA=15/8 हो तो पतंग कितनी ऊंचाई पर उड़ रही है|
उत्तर:—–
माना कि AB ऊंचाई पर पतंग उड़ रही है, पतंग की डोरी की लंबाई AC=85m, AB=?
tanA=15/8
AC=√(AB)2+(BC)2=√(15)2+(8)2
√225+64=√289=17
SinA= AB = 15
AC 17
In ABC,
SinA= AB
AC
15 = AB
17 85
AB= 85×15 =5×15=75
17
11. 1.5m लंबा एक आदमी एक पेड़ की चोटी को देखता है और चोटी का उन्नयन कोण उसकी आंख पर 60 है तो पेड़ की ऊंचाई ज्ञात करें यदि पेड़ से आदमी की दूरी 36 मीटर है|
उत्तर:—–
माना कि AB=1.5m ऊंचाई की एक आदमी है जो सीधा खड़ा होकर CE पेड़ की चोटी पर देखता है जिसे आंख पर 60 का कोण बनता है|
समकोण EDB में
tan60°= ED
DB
√3= ED
36
ED=36×√3=36×1.732=62.352
पेड़ की ऊंचाई=1.5+62.352=63.852
12. हवा के झोंके से पेड़ की उपरी भाग टूटकर 2√3 मीटर की दूरी पर 60° के कोण पर जमीन को छूता है तो पेड़ की पहली ऊंचाई निकाले-
उत्तर:—–
माना कि DB पेड़ है| जिसका AD भाग टूटकर C बिंदु पर जमीन के साथ 60° का कोण बनाती है तो BD की ऊँचाई निकालना है|
ABC,
tan60= h
2√3
√3= h
2√3
h=√3×2√3=6
Again ABC,
AC=√(AB)2+(BC)2=√(6)2+(2√3)2
√36+12=√48=6.93
पेड़ की पहली ऊंचाई=6+6.93=12.93
13.(i) भूमि के किसी बिंदु से किसी मिनार की चोटी का उन्नतांश 30 है| मीनार की ओर 30 मीटर बढ़ने पर चोटी का उन्नतांश 60 हो जाता है तो मीनार की ऊँचाई निकाले-
उत्तर:—–
माना कि AB एक मीनार है जिसके शीर्ष का उन्नतांश कोण बिंदु से 30 तथा C बिंदु से है| तो AB=?
समकोण ABC में,
tan60= AB
BC
√3= h
x
h=√3x ———(1)
tan30= AB
BD
1 = h
√3 x+30
h√3=x+30
h= x+30
√3
Put the value of h in eq (1)
h=√3x
x+30 =√3x
√3
x+30=x×√3x
3x=x+30
3x-x=30
2x=30 x=30/2=15
h=√3x=√3×15=15√3
(ii) एक मीनार अपनी जड़ की सतह के किसी बिंदु पर 60 का कोण बनाती है, उस बिंदु से 20 पीछे हटने पर वह 30 का कोण बनाती है| मीनार की ऊँचाई निकाले-
उत्तर:—-
माना कि AB मीनार से C बिंदु की उन्नति कोण 60 है तथा D बिंदु से उन्नति कोण है तो AB=?
माना कि BC=X तथा AB=h
ABC,
tan60= AB
BC
√3= h
x
h=√3x ———-(1)
ABD,
tan30= AB
BD
1 = h
√3 x+20
√3h=x+20
h= x+20
√3
Put the value of h in eq (1)
h=√3x
x + 20 = x√3
√3 1
x+20=3x
20=3x-x 2x=20 x=20/2=10
h=√3x=√3×10=10√3
14.(i) 20 ऊंचे मीनार की एक झंडा गड़ा है| जमीन पर स्थित एक बिंदु झंडे के पाद और शीर्ष के उन्नयन कोण क्रमशः 45 और 60 है तो झंडे के खंभे की लंबाई मालूम ज्ञात करें-
Answer:——
माना कि BD मीनार पर AD झंडा गड़ा है| BD 20 मीटर तो AB=? AD=h मीटर माना समकोण ABC में
tan60= AB
BC
√3= 20+h
BC
BC×√3=20+h
BC= 20+h
√3
DBC,
tan45= DB
BC
1= 20
BC
BC=20
Put the value of BC=20 in eq (1)
BC= 20+h
√3
20= 20+h
√3
20√3=20+h
h=20√3-20=20(√3-1)=20(1.732-1)
20×0.732=14.64
(ii) किसी मीनार पर 10 मीटर लंबा एक झंडा खड़ा है| जमीन पर स्थित एक बिंदु से झंडे के पाद और शीर्ष के उन्नयन कोण क्रमशः 6० है| तो मीनार की ऊँचाई निकाले—-
उत्तर:—-
माना कि BD मीनार पर 10m लंबा झंडा खड़ा है| माना BD=hमीटर समकोण DBC में
tan30= BD
BC
1 = h
√3 BC
BC=h√3 —–(1)
ABC,
tan60= AB
BC
√3= 10+h
BC
BC×√3=10+h
BC= 10+h
√3
Put the value of BC in eq (1)
10+h =h√3
√3
10+h=h√3×√3
10+h=3h
3h-h=10 2h=10 h=10/2=5
(iii) भूमि पर एक बिंदु से, ऊंचे एक भवन की चोटी और एक हेलीकॉप्टर, जो भवन की चोटी के ठीक उपर कुछ ऊंचाई पर जा रहा है, उन्नयन कोण क्रमशः 30 और 60 है| भूमि से हेलीकॉप्टर की ऊँचाई मालूम करें—
उत्तर:—–
माना कि BD छत से C बिंदु पर 30 तथा A से हेलीकॉप्टर और C बिंदु का कोण है 60| तो
AD=?
समकोण DBC में,
tan30= BD
BC
1 = 10
√3 BC
BC=10√3
ABC,
tan60= AB
BC
√3= h +13
BC
BC×√3=h+13
BC= h+13
√3
Put the value of BC in eq (1)
10√3 = 10+h
√3
10√3×√3=10+h
10×3=30=10+h h=30-10=20
Height of helicopter=20+10=30
15. एक हवाई जहाज से ठीक दाएं और बाएँ नदी में दो जहाजों के अवनमन कोण 60 और 45 है| यदि दोनों जहाजों के बीच की दूरी 1 किलोमीटर हो तो हवाई जहाज की ऊँचाई निकाले-
उत्तर:—–
माना कि A बिंदु पर हवाई जहाज उड़ रही है जिसके C दाएं और B बिंदुओं पर दो जहाज है जिनके बीच की दूरी एक किलोमीटर है|
ADC,
tan45= AD
DC
1= AD
1-x
AD=1-x ———-(1)
ADB,
tan60= AD
BD
√3= AD
x
AD=√3x ———(2)
From eq (1) &(2)
√3x=1-x
x√3+x=1
x(√3+1)=1
x= 1
√3+1
AD=√3x=√3× 1 = √3
√3+1 √3+1
16.(i) दो व्यक्ति एक मीनार से विपरीत दिशा में है| वे मीनार के शीर्ष का उन्नयन कोण क्रमशः 30 और 45 है| यदि मीनार की ऊँचाई 35 हो तो उन दोनों व्यक्तियों के बीच की दूरी निकाले—–
उत्तर:—-
माना कि AC 35 ऊँचा मीनार है जिसके विपरीत B तथा C बिंदु पर उन्नयन कोण क्रमशः 45 और 30 है तो BD=?
ABC,
tan45= AC
BC
1= 35
BC
BC=35 ——-(1)
ACD,
tan30= AC
CD
1 = 35
√3 CD
CD=35√3=35×1.732=60.62
Distance=BC+CD=35+60.63=95.62
(ii) 50 मीटर ऊँचा एक मीनार के आधार तक एक सड़क सीधी जाती है| मीनार की चोटी से सड़क पर एक ही सीधा में खड़ी दो कारों के अवनमन कोण क्रमशः 60 और 30 है| दोनों कारों के बीच की दूरी निकाले-
उत्तर:—–
माना कि एक लंबी मीनार है| जिसके शीर्ष बिंदु से तथा बिंदुओं पर स्थित कारों के अवनमन कोण 60 और 30 है तो CD=?
समकोण ABC,
tan60= AB
BC
√3= 50
BC
BC= 50 ———(1)
√3
समकोण ∆ABD,
tan30= AB
BD
1 = 50
√3 BD
BD=50√3
CD=BD-C=50√3- 50 = 50√3×√3-50
√3 √3
50×3-50 = 150-50 = 100
√3 √3 √3
100 = 100000 =57.7
1.732 1732
17.(i) एक घर पर सीढ़ी लगी है और सीढ़ी के सिरे का उन्नयन कोण 30 है|सीढ़ी पलट दी जाती है जिससे वे गली के दूसरे किनारे के एक घर से जा लगती है| और इस दशा में सिरे का उन्नयन कोण 60 हो जाता है| यदि सीढ़ी 30 मीटर लंबी हो तो गली की चौड़ाई निकाले-
उत्तर:—–
माना कि CD सीढ़ी DE दीवार से लगी है जब इसे पलट दी जाती है तो कोण 60 हो जाता है तो BE=?
समकोण ABC में,
cos60= BC
AC
1 = BC
2 30
BC=30/2=15
DCE,
cos60= CE
CD
√3 = CE
2 30
CE= 30×√3 =15√3
2
गली की चौड़ाई=BC+CE=15+15√3=15(1+√3)
15(1+1.732)=15×2.732=40.980
(ii) एक 8 मीटर लंबी सीढ़ी किसी घर की दीवार से लगी है और दीवार के साथ 30 का कोण बनाती है| सीढ़ी को पलट कर गली के दूसरे किनारे के घर से लगाने पर उक्त कोण 45 का हो जाता है| गली की चौड़ाई ज्ञात करें-
उत्तर:—–
माना कि AE सीढ़ी जो 8m लंबी है AB दीवार से लगी है जहाँ कोण 30 है उसी सीढ़ी को उलटकर CD दीवार से लगा दी जाती है जिससे कोण 45 हो जाता है तो BD=?
समकोण ABE में
cos30= BE
AE
√3 = BE
2 8
2BE=8√3
BE=8√3/2=4√3=4×1.732=6.928
समकोण CED में
cos45= ED
CE
1 = ED
√2 8
ED= 8 × √2 = 8√2 =4√2
√2 √2 2
4×1.414=5.656
गली की चौड़ाई= BE+ED=6.928+5.656=12.584
18. एक लंबा वृक्ष नदी के किनारे उर्ध्वाधर खड़ा है जिसकी 10√3 सामने किनारे के किसी स्थान से वृक्ष की चोटी का उन्नयन कोण 60 है| उसी सीधा में कितनी दूरी पीछे हटने पर वृक्ष का उन्नयन कोण 30 हो जायेगा|
उत्तर:—-
माना कि AB वृक्ष से C बिंदु का उन्नयन कोण 60 है| तथा D बिंदु तक पीछे हटने पर कोण 30 हो जाता है|
समकोण ABC में,
tan60= AB
BC
√3= 10√3
BC
BC= 10√3 =10
√3
समकोण ABD में,
tan30= AB
BD
1 = 10√3
√3 BD
BD=10√3×√3=10×3=30
CD=BD-BC=30-10=20
19. एक पहाड़ी की 100 मीटर ऊची चोटी से देखने पर पहाड़ की ओर आ रहे दो व्यक्तियों के अवनमन कोण क्रमशः 30 और 45 पाये जाते हैं| यदि दोनों एक दूसरे के ठीक पीछे हो तो उनके बीच की दूरी निकाले-
उत्तर:—-
माना कि AB एक 100 ऊची पहाड़ है जिसके शीर्ष बिंदु A से C तथा D बिंदु पर आ रहे दो व्यक्तियों के अवनमन कोण क्रमशः 45 और 30 है तो CD=?
ABC,
tan45= AB
BC
1= 100
BC
BC=100 ——(1)
ABD,
tan30= AB
BD
1 = 100
√3 BD
BD=100√3
CD=BD-BC=100√3-100=100(√3-1)
100(1.732-1)=100×0.732=73.2
20. जब सूर्य की ऊँचाई 60 से बढ़कर 30 हो जाती है तो तो ए बूर्ज की छाया 45 बढ़ जाती है तो बूर्ज की ऊँचाई मालूम करें—-
माना कि 60 कोण पर बूर्ज की छाया BC है जब कोण 30 हो जाता है तो छाया 45m बढ़ जाता है तो
ABC,
tan60= AB
BC
√3= AB
BC
AB=BC√3 ——-(1)
ABD,
tan30= AB
BD
1 = AB
√3 BC+45
BC+45=AB√3 ———(2)
Put the value of AB in eq (2)
BC+45=BC√3×√3
BC+45=3BC
3BC-BC=45
2BC=45
BC=45/2=22.5
AB=BC√3=22.5×1.732=38.97
21.(i) समान ऊँचाई के दो खंभे ए दूसरे से 64 मीटर की दूरी पर स्थित है| उनकी जड़ों को मिलने वाली रेखा पर स्थित किसी बिंदु से खंभों के सिरों के उन्नयन कोण 30 एवं 60 है तो खंभों की ऊँचाई निकाले-
उत्तर:——
माना कि AB तथा CD समान ऊँचाई के दो खंभे है जिसके बीच की दूरी 64M है|
माना कि BE=X
ED=64-X
ABE,
tan30= AB
BE
1 = AB
√3 x
AB= x ——–(1)
√3
CDE,
tan60= CD
ED
√3= CD
64-x
CD=64√3-√3x
From eq(1),
64√3-√3x= x
√3
64√3= x +√3x
√3
64√3= x+√3x×√3
√3
64√3×√3=x+3x=4x
192=4x x=192/4=48
AB= x = 48√3 =16√3
√3 3
(ii) 80 मीटर चौड़ी सड़क के दोनों ओर आमने सामने समान लंबाई वाले दो खंभे लगे हुए हैं| इन दोनों खंभों के बीच सड़क के एक बिंदु से खंभों के शिखर का उन्नयन कोण 60 और 30 है| खंभों की ऊँचाई और खंभों से बिंदु की दूरियाँ ज्ञात करें-
उत्तर:—–
माना कि AB तथा DE दो समान ऊँचाई के खंभे है जो सड़क C बिंदु पर क्रमशः 60 और 30 का कोण बनाते हैं|BE=80M
BC=X,
माना इसिलिए CD=80-X
ABC में,
tan60= AB
BC
√3= AB
x
AB=√3x ——(1)
DEC,
tan30= DE
CE
1 = DE
√3 80-x
DE×√3=80-x
DE= 80-x x√3= 80-x
√3 √3
x√3×√3=80-x 3x=80-x
3x+x=80 4x=80 x=80/4=20
AB=√3x=√3×20=20√3
BC=x=20
CE=80-x=80-20=60
22. एक उदग्र खंभे के उपर का भाग सफेद एवं निचला भाग काला है| जमीन 10 मीटर की दूरी पर स्थित एक बिंदु पर दोनों भाग 30 कोण बनाते हैं तो सफेद भाग की लंबाई निकाले-
उत्तर:—–
माना कि AB एक उदग्र खंभा है जिसका AD भाग सफेद तथा BD भाग काला है|
DCB=ACB=30 AD=?
ADC,
tan30= DB
BC
1 = DB
√3 10
DB×√3=10 DB= 10
√3
ABC,
tan60= AB
BC
√3= AB
10
AB=10√3
AD=AB-BD=10√3 – 10 = 10×√3×√3-10
√3 √3
10×3-10 = 30-10 = 20000 =11.55
√3 1.732 1732
23.(i) एक उदग्र बांस पर के किसी स्थान से एक बंदर पाता है कि जमीन पर स्थित एक वस्तु अवनमन कोण 30 है| बंदर बांस पर 8 और चढ़ जाने पर वस्तु का अवनमन कोण 45 पाता है तो बांस की जड़ से वस्तु की दूरी निकाले—–
उत्तर:—-
माना कि उदग्र बांस AB के D बिंदु पर से बंदर का उन्नयन कोण 30 है| तथा 8 उपर यानि A बिंदु पर चढ़ने के बाद कोण 45 हो जाता है तो BC=? BC=X तथा BD=H
माना समकोण DBC में,
tan30= DB
BC
1 = h
√3 x
x=√3h ——–(1)
ABC,
tan45= AB
BC
1= 8+h
x
x=8+h ——–(2)
From eq (1)+(2)
√3h=8+h
√3h-h=8
h(√3-1)=8
h= 8
√3-1
x=√3h=√3× 8 = 1.732×8
√3-1 1.732-1
13.856 = 13856 =18.92
732 732
(ii) एक पेडस्टल के शीर्ष पर 1.6 मीटर ऊँची मूर्ति लगी है| जमीन के एक बिंदु से मूर्ति के शीर्ष का उन्नयन कोण 60 है और उसी बिंदु से पेडस्टल के शीर्ष का उन्नयन कोण 45 है| पेडस्टल की ऊँचाई मालूम करें-
उत्तर:——-
माना कि BD पेडस्टल पर AD मूर्ति जो 1.6 लंबी है| स्थित है| D बिंदु से वस्तु का उन्नयन कोण 45 तथा A बिंदु से 60 है तो BD=?
समकोण DBC में,
tan45= DB
BC
1= h
x
x=h —-(1)
समकोण ABC में,
tan60= AB
BC
√3= 1.6+h
x
x×√3=1.6+h
h√3=1.6+h
h√3-h=1.6
h(√3-1)=1.6
h(1.732-1)=1.6
h×0.732=1.6
h= 1.6 = 1600 =2.18
0.732 732
24. नदी के किनारे 200√3 ऊँचाई के एक पहाड़ से एक व्यक्ति उसी दिशा में आते हुए एक जहाज का अवनमन कोण 30 पाता है| 2 मिनट के बाद जहाज का अवनमन कोण 60 हो जाता है तो जहाज का वेग ज्ञात करें-
उत्तर:—–
माना कि AB 200√3m ऊँचा पहाड़ है जिसपर बैठा हुआ व्यक्ति D बिंदु से अवनमन कोण 30 पाता है तथा C बिंदु से अवनमन कोण 60 हो जाता है| तो चाल ज्ञात करें-
समकोण ABC में,
tan60= AB
BC
√3= 200√3
BC
BC×√3=200√3
BC= 200√3 =200
√3
समकोण ABD में,
tan30= AB
BD
1 = 200√3
√3 BD
BD=200√3×√3=200×3=600
CD=BD-BC=600-200=400
2 मिनट में जहाज 400 मी की दूरी तय करती है|
1 ———- 400/2 =200
25. 15 सेमी ऊंचे स्तंभ पर 30 सेमी ऊंची एक मूर्ति खड़ी है| स्तंभ की जड़ से 15√3 की दूरी पर मूर्ति कितने अंश का कोण बनायेगी|
उत्तर:—
माना कि BD आधार पर मूर्ति स्थित है जिसकी ऊंचाई क्रमशः 15 और 30 है| BC=15√3
DBC,
tanA= DB
BC
tanA= 15
15√3
tanA= 1
√3
tanA=tan30
A=30
26. 100m चौड़ी एक नदी में एक टापू है| और इसपर एक ऊंचा वृक्ष है| नदी के विपरीत दिशा में दो बिंदु C और D के सीधे में है| यदि P और Q से वृक्ष की चोटी के उन्नयन कोण क्रमशः 30 और 45 है तो वृक्ष की ऊंचाई ज्ञात करें-
उत्तर:—-
माना कि मीटर CD=100M
चौड़ी नदी है जिसमें AB टापू के A बिंदु से C बिंदु का उन्नयन कोण 30 तथा D बिंदु से उन्नयन कोण 45 है| तो AB=?
ABD,
tan45= AB
BD
1= AB
x
AB=x ——-(1)
ABC,
tan30= AB
BC
1 = AB
√3 100-x
AB×√3=100-x
x√3=100-x
x√3+x=100 x(√3+1)=100
x(1.732+1)=100 x(2.732)=100
x= 100 = 100000 =36.5
2.732 2732
27. एक ही क्षैतिज तल पर लंबवत् खड़े एक वृक्ष और 50 मी ऊंची एक मीनार है| मीनार के पाद से वृक्ष की चोटी का उन्नयन कोण 30 और मीनार के शीर्ष से वृक्ष के पाद का अवनमन कोण 60 है| तो वृक्ष की ऊंचाई निकाले-
उत्तर:—–
माना कि AB एक वृक्ष तथा लंबी मीनार है| मीनार के शीर्ष से वृक्ष के पाद का अवनमन कोण 60 तथा मीनार के पाद से वृक्ष की चोटी का उन्नति कोण 30 है| तो AB=?
ABC,
tan30= AB
BC
1 = AB
√3 BC
BC=AB√3 ——(1)
CDB,
tan60= CD
BC
√3= 50
BC
BC= 50
√3
Put the value of BC in eq (1)
50 = AB√3
√3
50=√3×√3×AB=3AB
AB= 50
3
28.(i) एक ही क्षैतिज तल पर खड़ी एक दीवार और 50 मीटर लंबी एक मीनार है| मीनार की चोटी से दीवार के पाद और शीर्ष के अवनमन कोण क्रमशः 45° और 30 है| दीवार की ऊँचाई निकाले—–
उत्तर:—-
माना कि AB एक 50M लंबी मीनार है जिसके शीर्ष से दीवार CD के पाद और शीर्ष का अवनमन कोण 45 और 30 है तो
पुनः माना कि CD=BE=X माना
ABC,
tan45= AB
BC
1= 50
BC
BC=50
AED,
tan30= AE
ED
1 = 50-X
√3 ED
ED=√3(50-X) 50=√3(50-X)
50 =50-X
√3
x=50- 50 = 50 – 50
√3 1.732
50 – 50000 =50-28.87=21.13
1732
29. कोई उर्ध्वाधर मीनार 10 मी ऊंचे झंडे के खंभे की चोटी पर समकोण बनाती है| यदि उनके बीच की दूरी 20 मी हो तो मीनार की ऊंचाई मालूम करें–
उत्तर:—
माना कि ABC एक उर्ध्वाधर मीनार है जो PQ 10M ऊंचे झंडे के खंभे की चोटी पर समकोण बनाती है| झंडे से मीनार की दूरी 20 M हो तो की ऊंचाई निकालना है|
Q से QR पर AB खींचा माना कि
AB=h चित्र से स्पष्ट है कि RA=QP=10m तथा QR=PA=20m
माना कि AQR=Q तो BQR=90-@
RQA, tanA= RA = 10 —–(1)
RQ 20
BQR, tan(90-A)= BR = h-10
QR 20
CotA= h-10 ——–(2)
20
From eq (1)×(2)
tanA×CotA= 10 × ( h-20)
20 20
1= 10h – 200
400
10h-100=400; 10h=400+100=500
h=500/10=50
30. एक घर सड़क के दूसरे ओर अपने स्थित किसी स्तंभ के सिरे पर समकोण बनाती है तथा वह सरल रेखा जो स्तंभ को घर के सिरे से मिलाती है, उर्ध्वाधर दिशा में 60 का कोण बनाती है| यदि सड़क की चौड़ाई 45 मी हो तो घर की ऊँचाई निकाले–
उत्तर:—
माना कि AB एक घर है जो CD स्तंभ के सिरे पर समकोण बनाती है कोण ADE=60°
अब समकोण ADE में
tan60= AE
ED
√3= AE
45
AE=45√3
समकोण DEB में
tan30= BE
DE
1 = BE
√3 45
BE= 45 =15√3
√3
घर की चौड़ाई=45√3+15√3=60√3
31. एक मीनार पर ध्वजडंड खड़ा है| मीनार से 10 मी दर जमीन पर मीनार और ध्वजडंड क्रमशः 45 और 15 के कोण बनाते हैं| तो ध्वजडंड की लंबाई निकाले—–
उत्तर:—–
माना कि BD मीनार पर AD झंडा खड़ा है| D से और A से क्रमशः C बिंदु पर कोण 45 और 15 है तो ध्वजडंड AD की लंबाई निकालना है|
समकोण ABC में
tan45= DB
BC
1= DB
10
DB=10
C=45+15=60
tan60= AB
BC
√3= 10+AD 10√3=10+AD
10
10√3-10=AD 10×1.732-10=AD
AD=17.320-10=7.32
32. एक मनुष्य एक घर के बाहर खड़ा है| उसने एक खिड़की की चोटी तथा पाद के उन्नयन कोण क्रमशः 60 और 45 पाए| यदि वह आदमी घर से 10 फुट की दूरी पर हो तथा उसकी ऊँचाई 5 फुट हो तो खिड़की की लंबाई निकाले-
उत्तर:——
माना कि AB घर तथा AF खिड़की की चौड़ाई है|A से तथा F से D बिंदु का उन्नत कोण क्रमशः 60 और 45 है| तो AF=?
समकोण FED में
tan45= FE
ED
1= FE
10
FE=10
समकोण ADE में,
tan60= AE
ED
√3= 10+AF
10
10√3=10+AF 10×1.732=10+AF
17.32=10+AF AF=17.32-10=7.32
33. दो उर्ध्वाधर स्तंभों के बीच की दूरी 66 मी है और एक ही ऊँचाई दूसरे की दुगूनी है, उनकी जड़ों को मिलाने वाली रेखा के मध्य बिंदु पर उनके शिखरों के उन्नयन कोण एक दूसरे के पूरक हैं| उनकी ऊँचाई निकाले—–
उत्तर:—–
माना कि AB तथा CD दो उर्ध्वाधर 2X स्तंभ है| माना कि CD=X M
AB=2X
BE=ED=30
ABE,
tan(90-A)= AB
BE
tan(90-A)= 2x
30
CDE,
tanA= CD
ED
tanA= 2x
30
tanA×tan(90-A)= 2x × x
30 30
tanAcotA= 2x × x
900
1= x × x
450
x2=450 x=√450=15√2
2x=2×15√2=30√2
34.(i) दो भूमि केन्द्रों से मापने पर एक कृत्रिम उपग्रह के उन्नयन कोण एक ही ओर क्रमशः 30 और 60 है| यदि केन्द्रों के बीच की दूरी 400 किमी हो तो उपग्रह की ऊँचाई निकाले—–
उत्तर:—- माना कि AB उपग्रह से D तथा C बिंदु के कोण क्रमशः 60 और 30 है|CD=400,BD=Xमाना
समकोण ABD में,
tan60= AB
BD
√3= AB
X
AB=X√3 ——–(1)
समकोण ABC में,
tan30= AB
BC
1 = AB
√3 X+400
AB×√3=X+400
AB= X+400 ——-(2)
√3
From eq (1) & (2)
x√3= x+400
√3
x√3×√3=x+400 3x=x+400
3x-x=400 2x=400 x=400/2=200
Height of AB=x√3=200√3=200×1.73=346
3416km
(ii) किसी नहर के एक तट पर एक टीवी टावर उर्ध्वाधर खड़ा है| टावर के ठीक सामने दूसरे तट के एक बिंदु से टावर के शिखर का उन्नयन कोण 60 है| उसी तट पर उस बिंदु से 20 मी दूर और उस बिंदु को मीनार के बाद से मिलाने वाली रेखा पर स्थित एक अन्य बिंदु से टावर के शिखर का उन्नयन कोण 30 है| टावर की ऊँचाई और नहर की चौड़ाई निकाले-
उत्तर:—-
माना कि AB एक टीवी टावर है जिसके शिखर A का उन्नयन कोण C तथा D बिंदु पर क्रमशः 60 और 30 है| CD=20 तो AB=? BC=X माना
समकोण ABC में
tan60= AB
BC
√3= AB
x
AB=√3x ——–(1)
समकोण ABD में,
tan30= AB
BD
1 = AB
√3 x+20
AB√3=x+20
AB= x+20
√3
From eq (1) &(2)
स० (1) और (2) से,
√3x= x+20
√3
√3x×x=x+20
3x=x+20 3x-x=20 2x=20
x=20/2=10
नहर की चौड़ाई=10
टावर की ऊँचाई=10√3
35. किसी मीनार के आधार से गुजरने वाली सरल रेखा पर a और b दूरियों पर स्थित क्रमशः दो बिंदुओं P और Q से मीनार के शीर्ष का उन्नयन कोण पूरक हैं| सिद्ध करें कि मीनार की ऊँचाई √ab है|
उत्तर:-
माना कि AB मीनार से a तथा b दूरी पर P और Q बिंदुओं से मीनार के शिखर का उन्नयन कोण क्रमशः 90-A तथा A है|
ABP में,
tan(90-A)= AB —–(1)
a
ABQ में,
tanA= AB
BQ
tanA= AB
b
From eq (1) &(2)
tanA×tan(90-A)= AB × AB
a b
tanA×cotA= AB2
ab
1= AB2
ab
AB2=ab AB=√ab
36. एक मनुष्य जो नदी के किनारे एक पहाड़ी पर खड़ा है, ठीक नीचे के किनारे की ओर समरूप वेग से आते हुए पानी के जहाज का अवनमन कोण 30 देखता है| यदि 6 मिनट के बाद यह अवनमन कोण 60 हो जाता है तो जहाज को अपनी पहली स्थिति से किनारे तक पहुँचने में कितना समय लगेगा|
उत्तर:-
माना कि AB मनुष्य जो पहाड़ी पर खड़ा है C तथा D बिंदुओं पर जहाज का अवनमन कोण 60 और 30 पाता है| CD दूरी तय करने में 6 मिनट लगता है| तो तल BD दूरी तय करने में लगा समय ज्ञात करना है|
ABC,
tan60= AB
BC
√3= AB
BC
AB=BC√3 ——–(1)
ABD,
tan30= AB
BD
1 = AB
√3 BD
BD=AB√3 ———-(2)
FROM EQ (1),
AB=BC√3
BD=BC√3×√3 BD=BC×3
BD=3BC
SO, CD=2BC=6
2BC की दूरी 6 मिनट में तय करती है|
1BC —- —- 6
2BC
3BC —– ——- 6 ×3BC=3×3=9
2BC
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