प्रश्नावली-2B
1.(i) cosA को A के पूरक कोण के त्रिकोणमितीय अनुपात में व्यक्त करें|
Sin(90-A)
(ii) tanA को A के पूरक कोण के त्रिकोणमितीय अनुपात में व्यक्त करें|
cot(90-A)
(iii) cotA को A के पूरक कोण के त्रिकोणमितीय अनुपात में व्यक्त करें|
tan(90-A)
(iv) SecA को A के पूरक कोण के त्रिकोणमितीय अनुपात में व्यक्त करें|
Cosec(90-A)
(v) cosecA को A के पूरक कोण के त्रिकोणमितीय अनुपात में व्यक्त करें|
Sec(90-A)
2.(i) sin2(90-A) +cos2(90-A) का सरलतम मान लिखिये—–
1
(ii)Cos2(90-A)-cot2(90-A) का सरलतम मान लिखिये——
1
(iii)Sec2(90-A)-tan2(90-A) का सांख्यिक मान क्या होगा|
1
3.(i)Sin2(90-A) +cosec2(90-A)-(tan2A-sin2A)
Cos2A+sec2A-tan2A+sin2A
Sin2A+cos2A+sec2A-tan2A=1+1=2
(ii)Cosec2(90-A)+sec2(90-A)-(tan2A+cot2A)
Sec2A+cosec2A-tan2A-cot2A
Sec2A-cot2A+cosec2A-cot2A=1+1=2
(iii)Cosec2A-sin2(90-A)-(tan2(90-A)+sin2A)
Cosec2A-cos2A-cot2A-sin2A
Cosec2A-cot2A-(sin2A+cos2A)=1-1=0
4. निम्नलिखित में प्रत्येक का सांख्यिक मान लिखे-
(i) sin2(90-A) +sin2A
Cosec2(90-A)-tan2A
Cos2A+sin2A = 1 =1
Sec2A-tan2A 1
(ii) cosec2A-tan2A
Cosec2A-tan2(90-A)
Sec2A -tan2A = 1 =1
Cosec2A-cot2A 1
5.(i) 1-sin2(90-A) का मान SinA के रूप में व्यक्त करें-
1-cos2A=sin2A
(ii)1+cot2(90-A) को secA के रूप में व्यक्त करें-
1+tan2A=sec2A
(iii)1+tan2(90-A) का रूप के रूप में क्या होगा?
1+cot2A=cosec2A=sec2(90-A)
(iv)Cosec67×cosec67-tan23×tan23 का सरलतम मान क्या होगा?
Cosec2(90-23) -tan23×tan23
Sec23×sec23-tan23×tan23
=1
6.यदि A+B=90 तो रिक्त स्थानों को B के त्रिकोणमितीय अनुपात से पूरा करें-
(i) sinA=………
A+B=90
A=90-B
SinA=Sin(90-B)
SinA=CosB
(ii)tanA=……
A+B=90
A=90-B
tanA=tan(90-B)
tanA=cotB
(iii) cosA=…….
A+B=90
A=90-B
CosA=cos(90-B)
CosA=sinB
7. यदि A+B=90 तो रिक्त स्थानों को A के त्रिकोणमितीय अनुपात से पूरा करें-
(i)CotB=
A+B=90
B=90-A
CotB=Cot(90-A)=tanA
(ii) secB=…..
SecB=sec(90-A)=cosecA
(iii)cosecB
CosecB=cosec(90-A)=secA
8.रिक्त स्थानों की पूर्ति करें ताकि कथन सत्य हो-
(i) sin35°=cos…. 0 से 90 के बीच कोण लेकर
Sin35=sin(90-55)=cos55
(ii)cos50=sin….. 0 से 90 के बीच कोण लेकर
Cos55=cos(90-40)=sin40
9.रिक्त स्थान भरें-
tan23=tan(90-67)=cot67
10.रिक्त स्थानों की पूर्ति करें-
(i)sin70=sin(90-20)=cos20
(ii)cos48=cos(90-42)=sin42
(iii)tan50=tan(90-40)=cot40
(iv)sec35=sec(90-55)=cosec55
(V)cos50=cos(90-40)=sin40
(Vi)sin35=sin(90-55)=cos55
11. रिक्त स्थानों की पूर्ति करें—–
(i)cos70=0.3420, sin20=…
Sin20(90-70)=cos70=0.3420
(Ii)sin54-cos36=
Sin(90-36)-cos36
Cos36-cos36=0
(iii) sin50+cos40=2sin…..
Sin50+cos(90-50)
Sin50+sin50=2sin50
(Iv)sin40+cos50=2cos……
Sin(90-50)+cos50
Cos50+cos50=2cos50
(V) cos35 =1
Sin……
Cos35 = cos35 =1
Sin(90-35) cos35
Cos35=sin55
12.(i) यदि cos35=x तो sin55 का मान x के पदों में क्या होगा?
Cos35=x
Sin55=sin(90-35)=cos35=x
(ii) यदि sin43=m तो cos47 का मान m के पदों में लिखो?
Cos47=m
Cos(90-43)=sin43=m
13. सरलतम रूप में मान लिखे–
(i) sin50 = sin50
Pcos50 Pcos(90-50)
Sin50 = 1
Psin50 P
(ii) tan49 = tan49 = tan49 =1
Cot41 cot(90-49) tan49
(iii) cot50 = cot50 = cot50 =1
tan40 tan(90-50) cot50
(iv)2sin20= 2sin20 =2sin20= 2
3cos70 3cos(90-20) 3sin20 3
(V) √5×cosec39=√5×cosec39 =√5
Sec(90-39) cosec59
(Vi) sin10 = sin10 =sin10 =1
Cos80 cos(90-10) sin10
14. यदि A+B=90, SinA=a, SinB=b तो सिद्ध करें कि——–
(i)tanA=90
A+B=90
A=90-B
SinA=sin(90-B)=cosB
a=cosB
A+B=90
B=90-A
SinB=sin(90-A)=cosA
b=cosA
a = cosB
b cosA
tanA= sinA = a
CosA b
(ii) a2+b2=1
Cos2B+cos2A=sin2A+cos2A
15.(i) यदि cos43=a तो cos47 का मान a के पदों में लिखे-
Cos43=a
Cos47=cos(90-43)=sin43=a
Cos47 =√1-a2
√1-sin43×sin43
(ii) यदि cos47=a तो sin43 और tan43 को a पदों में लिखे-
Cos47=a
Sin43=sin(90-47)=cos47=a
Sin43=√1-cos47×cos47=√1-a2
tan43= sin43 = a
Cos43 √1-a2
(iii) cot36=m तो sec54 का मान m के पदों में लिखे-
cot36=m
Sec54=sec(90-36)=cosec36
√1+m2
1+cot2m=cosec2m
(iv) sin36=m तो sin54 का मान m के पदों में निकाले-
Sin36=m
Sin54=sin(90-36)=cos36
√1-sin36×sin36=√1-m2
16. सिद्ध करें कि——-
(i)Lhs=sin40+sin75
=sin40+sin(90-15)=sin40+cos15
Rhs=cos15+cos50
Cos15+cos(90-40)=sin40+cos15
(ii)cos1-cos89=sin89-sin1
Lhs=cos1-cos89
Cos1-cos(90-1)=cos1-sin1
Rhs=sin89-sin1
Sin(90-1)-sin1=cos1-sin1
(iii) sin54+cos67=sin23+cos36
Lhs=sin54+cos67
=sin54+cos(90-23)=sin54+sin23
Rhs=sin23+cos36
=sin23+cos(90-54)=sin23+sin54
17.(i) sin65×cos38=cos25×sin52
Lhs=Sin65×cos38
=sin65×cos(90-52)=sin65×sin52
Rhs=cos25×sin52
=cos(90-65)×sin52=sin65×sin52
(ii) sin25×sin65=cos25×cos65
Lhs=sin25×sin(90-25)
Sin25×cos25
Rhs=cos25×cos65
Cos25×cos(90-25)=cos25×sin25
18.i)cosec67×cosec67-tan23×tan23=1
Cosec2(90-23) -tan23×tan23
sec23×sec23-tan23×tan23=1
(ii)tan15tan30tan45tan60tan75=1
tan15tan75tan30tan45tan60
tan15×tan(90-15)tan30tan45tan60
tan15×cot15× 1 ×1×√3
√3
1× 1 ×1×√3=1
√3
(iii)tan9tan27tan45tan63tan81=1
tan9tan81tan27tan63tan45
tan9tan(90-9)tan27tan(90-27)×1
tan9cot9tan27cot27×1
1×1×1=1
19.Sin67×sin67+sin23×sin23=cos89×cos89+cos1×cos1=1
Lhs=Sin67×sin67+sin23×sin23
Sin67×sin67+sin2(90-67)
Sin67×sin67+cos67×cos67=1
Rhs=cos89×cos89+cos1×cos1
Cos89×cos89+cos2(90-89)
cos89×cos89+sin89×sin89
(ii)sin20×sin20+sin70×sin70=1
Sin20×sin20+sin2(90-20)
Sin20×sin20+cos20×cos20=1
(iii)sin85×sin85+sin80×sin80+sin10×sin10+sin5×sin5
Sin85×sin85+sin5×sin5+sin80×sin80+sin10×sin10
Sin85×sin85+sin2(90-85)+sin80×sin80+sin2(90-80)
Sin85×sin85+cos85×cos85+sin80×sin80+cos80×cos80
1+1=2
(Iv)cos10×cos10+cos20×cos20+cos30×cos30+cos40×cos40+cos50×cos50+cos60×cos60+cos70×cos70+cos80×cos80=4
=Cos10×cos10+cos80×cos10+cos20×cos20+cos70×cos70+cos30×cos30+cos60×cos60+cos40×cos40+cos50×cos50
=cos10×cos10+cos2(90-10)+cos20×cos20+cos2(90-20)+cos30×cos30+cos2(90-30)+cos40×cos40+cos2(90-40)
=cos10×cos10+sin10×sin10+cos20×cos20+sin20×sin20+cos30×cos30+sin30×sin30+cos40×cos40+sin40×sin40=1+1+1+1=4
20.sin42×cos48+cos42×sin48
Sin42×cos(90-42)+cos42×sin(90-42)
sin42×sin42+cos42×cos42=1
21. सिद्ध करें कि——
Sin6×sin6+sin12×sin12+sin18×sin18+…… Sin72×sin72+sin78×sin78+sin84×sin84=7
=sin6×sin6+sin84×sin84+sin12×sin12+sin78×sin78+sin18×sin18+sin72×sin72+sin24×sin24+sin66×sin66+sin30×sin30+sin60×sin60+sin36×sin36+sin54×sin54+sin42×sin42+sin48×sin48
=sin6×sin6+sin2(90-6)+sin12×sin12+sin2(90-12)+sin18×sin18+sin2(90-18)+sin24×sin24+sin2(90-24)+sin30×sin30+sin2(90-30)+sin36×sin36+sin2(90-36)+sin42×sin42+sin2(90-42)
=sin6×sin6+cos6×cos6+sin12×sin12+cos12×cos12+sin18×sin18+cos18×cos18+sin24×sin24+cos24×cos24+sin30×sin30+cos30×cos30+sin36×sin36+cos36×cos36+sin42×sin42+cos42×cos42=1+1+1+1+1+1+1=7
(ii) tan1tan2tan3…….. tan89=1
tan1tan2tan3……. tan89=tan1tan89tan2tan88tan3tan87……..tan89tan1=tan1tan(90-1)tan2tan(90-2)…… =tan1cot1tan2cot2tan3cot3=1×1×1=1
22. Sin(90-A)cot(90-A)=sinA
Sin(90-A)cot(90-A)
CosAtanA=cosA× sinA =sinA
CosA
(ii) sin(90-A) =sinA
tan(90-A)
CosA = cosA =sinA
CotA cosA
SinA
(iii)sec2A-cot2(90-A)=cos2(90-A)+cos2A
Sec2A-cot2(90-A)=sec2A-tan2A
1 – sin2A = (1-sin2A) = cos2A =1
Cos2A cos2A cos2A cos2A
Rhs=cos2(90-A)+cos2A=sin2A+cos2A=1
(iv) sin(90-A)sinA -1=-sin2A
tanA
Lhs= sin(90-A)sinA -1
tanA
CosAsinA -1
tanA
CosAsinA×cosA -1
SinA
Cos2A-1=(-1)(1-cos2A)
(-1)(sin2A)=-sin2A
(V) cos(90-A) + sinA =2
SinA cos(90-A)
Lhs= cos(90-A) + sinA
SinA cos(90-A)
SinA + sinA =1+1=2
SinA sinA
*tan(90-A)cot(90-A)=sec(90-A)sinA=1
CotAtanA=cosecAsinA=1
23. सरल करें—-
(i) cos(90-A)×cosA +cos2(90-A)
tanA
SinA×cosA + sin2A
tanA
SinA×cosA +sin2A
SinA
CosA
SinA×cosA×cosA+sin3A
SinA
SinA×cosA×cosA + sin3A
SinA sinA
Cos2A+sin2A=1
(ii) tan(90-A)cotA
Sec(90-A)cosecA
CotA×cotA = cot2A
CosecA×cosecA cosec2A
Cos2A
Sin2A =cos2A× sin2A =cos2A
1 sin2A
Sin2A
(iii) sin(90-A) ×cot(90-A)
SinA
CosA×tanA =cotA×tanA=1
SinA
(iv) cos15-cos75
Sin75-sin15
Cos15-cos(90-15)
Sin75-sin(90-75)
Cos15-sin15 = cos15(1-tan15)
Sin75-cos75 sin75(1-tan75)
25. मान निकाले—–
(i) cos20 + cosA
Sin70 sin(90-A)
Cos(90-70) + cosA
Sin70 cosA
Sin70 +1 =1+1=2
Sin70
(ii) 3sin62 – sec42
Cos28 cosec48
3sin62 – sec42
Cos(90-62) cosec(90-42)
3sin62 – sec42 =3-1=2
Sin62 sec42
26.सिद्ध करें कि (1+tan2A)cosAcos(90-A)=tanA
(1+tan2A)cosAcos(90-A)
=sec2A×cosA×sinA
= 1 ×cosA×sinA= sinA =tanA
Cos2A cosA
27. सिद्ध करें कि——-
CosAcos(90-A)-sinAsin(90-A)=0
CosASinA-sinAcosA=0
28. सिद्ध करें कि ∆ABC
(i) cot A+B =tan C
2 2
∆ABC,
A+B+C=180
A+B+C = 180
2 2
A+B + C =90
2 2
A+B =90- C
2 2
Cot A+B = cot (90- c )
2 2
Cot A+B = tan c
2 2
(ii) cos B+C =sin A
2 2
A+B+C=180
A+B+C = 180
2 2
B+C + A =90
2 2
B+C =90- A
2 2
Cos B+C = cos(90- A )
2 2
Cos B+C = sin A
2 2
(iii) sin A+B = cos c
2 2
A+B+C=180
A+B = 90 – C
2 2
Sin A+B = sin (90- C )
2 2
Sin A+B = cos C
2 2
(iv) sec A+B = cosec c
2 2
A+B+C = 180
2 2
A+B =90 – C
2 2
Sin A+B = sec (90- c )
2 2
Sin A+B = cosec c
2 2
(v) tan B+C = cot A
2 2
A+B+C=180
A+B+C= 180
2 2
B+C = 90 – A
2 2
tan B+C = tan (90- A )
2 2
tan B+C = cot A
2 2
29. (i) 3A=A -6 यदि न्यून कोण हो तथा sin3A=cos(A-6) तो सिद्ध करें कि A=24
Sin3A=cos(A-6)
Cos(90-3A)=cos(A-6)
90-3A=A-6
90+6=A+3A
4A=96 A=96/4=24
(ii) यदि sin3A=cos2A तो सिद्ध करें कि A=18
Sin3A=cos2A
Cos(90-3A)=cos2A
90-3A=2A
90=2A+3A
5A=90 A=90/5=18
(iii) cosA+sinA=√2sin(90-A) तो cotA का मान निर्धारित करें—-
CosA+sinA=√2sin(90-A)
CosA+sinA=√2×cosA
√2= cosA + sinA
CosA cosA
√2=1+tanA
√2-1=tanA
1 =cotA [tanA=1/CotA]
√2-1
CotA= 1 × √2+1 = √2+1
√2-1 √2+1 √2×√2-1×1
√2+1 =√2+1
2-1
30.(i) सिद्ध करें कि
CosA + sinA =2
Sin(90-A) cos(9-A)
CosA + sinA
CosA sinA
1+1=2
(ii) सिद्ध करें कि
SinA + cosA =secA×cosecA
Sin(90-A) cos(90-A)
SinA + cosA
CosA sinA
Sin2A+cos2A
CosA×SinA
1 =SecACosecA
CosASinA
31. सिद्ध करें कि
Cos70 + cos59 -8cos60×cos60=0
Sin20 sin31
Cos70 + cos59 -8cos60×cos60=0
Sin(90-20) sin(90-59)
Cos70 + cos59 -8( 1 )2
Cos70 cos59 2
1+1-8× 1 =2-2=0
4
32. त्रिकोणमितीय सारणी का प्रयोग किए बिना निम्नलिखित के मान ज्ञात करें
cos20cos20+cos70cos70+sin35sec55
Sin59×sin59+sin31×sin31
Cos20cos20+cos2(90-20)+sin35sec90-35
Sin59×sin59+sin2(90-59)
Cos20cos20+sin20sin20+sin35cosec35
Sin59×sin59+cos59×cos59
1 + sin35× 1 =1+1=2
1 sin35
(ii) sin80 + cos59×cosec31
Cos10
Sin80 + cos59cosec(90-59)
Cos(90-80)
Sin80 +cos59sec59
Sin80
Sin80 +cos59× 1 =1+1=2
Sin80 cos59
(iii) ( sin27 )2+( cos63 )2
Cos63 sin27
( sin27 )2+( cos63 )2
Cos(90-27) sin(90-63)
( sin27 )2+( cos63 )2
Sin27 cos63
(1)2+(1)2=1+1=2
3tan25tan40tan50tan65-1/2tan60tan60
4(cos29cos29+cos61cos61)
3tan25tan65tan40tan50-1/2tan60tan60
4(cos29×cos29+cos2(90-29)
3tan25tan90-25tan40tan90-40)-1/2(√3)2
4(cos29×cos29+sin29×sin29)
3tan25cot25tan40cot40-1/2× 3
4×1
3×1×1- 3 3- 3 6-3
2 = 2 = 2
4 4 4
3
2 = 3 = 3
4 2×4 8
33. सिद्ध करें कि——
( sin47 )2+(cos43 )2-4cos45cos45=0
Cos43 sin47
( sin47 )2+( cos47 )2-4× 1 × 1 =0 Cos(90-47) sin(90-43)
( sin47 )2+( cos43 )2-4× 1
Sin47 cos43 2
(1)2+(1)2-2=2-2=0
34. सिद्ध करें कि—-
(cos25×cos25+cos65×cos65)+cosecA×sec(90-A)-cotA×tan(90-A)=2
=cos25×cos25+cos2(90-25)+cosecA×cosecA-cotA×cotA
=cos25×cos25+sin25×sin25+cosecA×cosecA-cotA×cotA
1+1=2
35. यदि A और B न्यून कोण हो तथा
(i)sinA=sinB तो सिद्ध करें किA+B=90
SinA=cosB A+B=90
A+B=90
A=90-B
SinA=Sin(90-B)
SinA=cosB
(ii)tanA=tanB तो सिद्ध करें किA+B=90
tanA=tanB A+B=90
A+B=90
A=90-B
tanA=tan(90-B)
tanA=cotB
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