प्रश्नावली-2
1. 8 सेमी किनारे वाले एक घन को 2 सेमी किनारे वाले कितने घनों में रूपांतरित किया जा सकता है| फिर प्राप्त सभी घनों का एकत्रित पृष्ठ क्षेत्रफल ज्ञात करें-
उत्तर:-घन का आयतन=(भुजा)3=(8)3=512
घन का आयतन=2×2×2=8
अभीष्ट संख्या= 512 =64
8
एक छोटे घन का पृष्ठ क्षेत्रफल=6× भुजा× भुजा
6×2×2=24
कुल घनों का पृष्ठ क्षेत्रफल=64×24=1536
2. 4.2 सेमी त्रिज्या का एक धातु का गोला पिघलाकर 6 सेमी त्रिज्या वाले बेलन के रूप में ढाला जाता है बेलन की ऊँचाई निकाले-
उत्तर:—
गोला का आयतन= 4 πr3 = 4 π(4.2)3
3 3
बेलन का आयतन= πr2h=π(6)2×h
π×6×6×h= 4 π×4.2×4.2×4.2
3
h= 4×4.2×4.2×4.2 = 296.352 =2.74
3×6×6 108
3. तीन घनाकार धातु पिंडों की भुजाएँ क्रमशः 3 सेमी 4 सेमी और 5 सेमी है| तीनों को पिघलाकर एक घनाकार पिंड बनाया गया है, तो इस नये घन की (1) भुजा और (2) पूर्ण पृष्ठ का क्षेत्रफल निकाले-
उत्तर:—
3सेमी भुजा के घन का आयतन=भुजा3=(3)3=27
4 —- —- ———=4×4×4=64
5 —– —— ————-=5×5×5=125
तीनों घनों को जोड़ा गया है—–
परिणामी आयतन=27+64+125=216
माना कि परिणामी घन का किनारा=a
तो परिणामी घन का आयतन=(a)3
(a)3=216
a=3√216=√6×6×6=6
(2) परिणामी घन के पूर्ण पृष्ठ क्षेत्रफल=6×( भुजा)2
6×6×6=216
4. 1.75 सेमी व्यास और 2 सेमी मोटाई वाले कितने चांदी के सिक्कों को गलाकर 5.5 सेमी× 3.5 सेमी आयाम का एक घनाभ बनाया जा सकता है?
उत्तर:-एक सिक्के का आयतन= πr2h
π( 1.75 )2× 2 d=1.75 r=1.75/2= 2
2 10 10
घनाभ का आयतन=लं× चौ× ऊँ=5.5×10×3.5
अभीष्ट सिक्कों की संख्या= घनाभ का आयतन
सिक्के का आयतन
5.5×10×3.5 = 5.5×10×3.5×7×2×2
22 × 1.75 ×1.75 22×1.75×1.75× 2
7 2 2 10
55×10×35×7×2×2×1000
22×175×175×2
53900000 =400
673750×2
5. 15 मीटर लंबे और 12 मीटर चौड़े खेत के एक कोने में 8 मीटर लंबा, 2.5 मीटर और चौड़ा तथा 2 मीटर गहरा गड्ढा खोदा गया है और मिट्टी को खेत के शेष भागों में समान रूप से फैला दिया गया है| ज्ञात करें कि खेत का तल कितना ऊंचा उठ गया है|
उत्तर:-
आयताकार खेत की लंबाई=15 मीटर तथा चौड़ाई=12 मीटर
क्षेत्रफल=लं०× चौड़ाई=15×12=180
गड्ढे का क्षेत्रफल=8×2.5=20
खेत के उस भाग का क्षेत्रफल जिसमें मिट्टी फैलायी जायेगी=180-20=160
माना कि खेत का तल h मीटर ऊँचा उठता है तो
160×h=8×2×2.5
160h=40
h= 40 = 1
160 4
6. 22 सेमी किनारे वाले एक ठोस घन को पिघलाकर एक 7 सेमी लंबा वृत्ताकार समबेलन बनाया गया है| बेलन की त्रिज्या ज्ञात करें-
उत्तर:-
22 सेमी किनारे वाले घन का आयतन=भुजा 3=(22)3
7 सेमी लंबे बेलनाकार तार का आयतन=πr2h
22×22×22= 22 ×r2×7
7
r2= 22×22×22
22
r2=22×22, r=22
7. किसी लंबवृतीय ठोस बेलन के आधार की त्रिज्या 4 सेमी तथा ऊंचाई 3 सेमी है, इस ठोस को पिघलाकर 2 सेमी त्रिज्या तथा 1.5 सेमी ऊंचाई वाले कितने छोटे छोटे ठोस बेलन बनाए जा सकता है?
उत्तर:—
4 सेमी त्रिज्या तथा 3 सेमी ऊंचाई वाले बेलन का आयतन=πr2h=π×4×4×3=48π
2 सेमी त्रिज्या तथा 1.5 सेमी ऊंचाई वाले बेलन का आयतन=πr2h
=πr2h=6π
π×2×2×1.5=6π
अभीष्ट बेलन की संख्या= 48π =8
6π
8. 7 सेमी ऊंचाई के ठोस समबेलन जिसकी आधार की त्रिज्या 2 सेमी है, को पिघलाकर कितने 2 सेमी किनारे वाले घनाकार पासे बनाए जा सकते हैं?
उत्तर:-
2 सेमी त्रिज्या तथा 7 सेमी ऊंचाई वाले समबेलन का आयतन=πr2h
π×2×2×7=28π
घनाकार पासे का आयतन= भुजा 3= 2×2×2
पासे की अभीष्ट संख्या= 28×22 =11
8×7
9. लोहे का एक टुकड़ा घनाकार है जिसका किनारा 14 सेमी है| इस टुकड़े को पिघलाकर एक छड़ बनायी जाती जिसका व्यास 7 सेमी है| छड़ की लंबाई ज्ञात करें-
उत्तर:-
14 सेमी किनारे वाले घनाकार टुकड़े का आयतन= भुजा 3=(14)3
7 सेमी व्यास वाले छड़ का आयतन=2πr2h
22 × 7 × 7 ×h
7 2 2
22 × 7 × 7 ×h=14×14×14
7 2 2
h= 14×14×14×7×2×2 = 784
22×7×7 11
10. 20 मीटर तथा 7 मीटर व्यास का एक कुआँ खोदा गया है और कुएँ से निकाली गई मिट्टी को समान रूप से फैलाकर 22 ×14 विस्तार का एक चबुतरा बनाया गया है| चबुतरे की ऊँचाई मालूम कीजिये—-
उत्तर:-
कुएँ की ऊँचाई h=20, व्यास=7 त्रिज्या=7/2
कुएँ का आयतन=πr2h= 22 × 7 × 7 ×20
7 2 2
=770
माना कि चबुतरे की ऊँचाई=h
770=22×14h
h= 770 = 5 =2.5
22×14 2
11. लोहे का एक टुकड़ा लंब वृत्तीय बेलन के रूप में है| जिसका व्यास 1.5 और लंबाई 3.5 है| टुकड़े का आयतन ज्ञात करें जिस टुकड़े को पिघलाकर एक छड़ के रूप में बनाया गया है, जिसका आधार वर्गाकार है तथा इसकी भूजा की लंबाई 5 है, छड़ की लंबाई भी ज्ञात करें-
उत्तर:-
लंबवृतीय बेलन के टुकड़े का व्यास=1.5
त्रिज्या= 1.5 = 15 = 3
2 2×10 4
ऊंचाई=3.5
बेलनाकार टुकड़े का आयतन= πr2h
22 × 3 × 3 × 3.5 = 99
7 4 4 10 16
माना कि छड़ की लंबाई hमी है, तो छड़ का आयतन= छड़ के आधार का क्षेत्रफल×लंबाई=(5)2×h=25h
बेलनाकार टुकड़े का आयतन= छड़ का आयतन
3 मी= 3 ×100=75
4 4
h=3.5 मी=3.5×100=350 सेमी
2× 22 ×75×75×350=25h
7
6187500=25h
h= 6187500 =247500मी; 2475 सेमी
25
12. एक घनाकार लड़की के एक फलक से एक अर्ध गलीय आकृति इस प्रकार काट ली जाती है कि अर्ध गोला का व्यास d घन के एक किनारे के बराबर है| शेष ठोस का पृष्ठ क्षेत्रफल ज्ञात करें-
उत्तर:-
घन का किनारा=a
अर्ध गोला की त्रिज्या=a/2
अर्ध गोला भाग काटने के बाद शेष भाग का क्षेत्रफल= घन का कूल पृष्ठ क्षेत्रफल – अर्ध गोला के आधार का क्षेत्रफल + अर्ध गोला के वक्र पृष्ठ का क्षेत्रफल
6a2-π( a )2+2π( a )2
2 2
6a2- πa2 + 2πa2
4 4
24a2-πa2+2πa2 = 24a2+πa2
4 4
a2 (π+24)
4
(2) एक घन के किसी पृष्ठ पर एक अर्द्ध गोले को स्थापित कर एक सजावटी ब्लॉक बनाया गया है| यदि घन का किनारा 5 सेमी और अर्द्ध गोले का व्यास 4.2 हो तो ब्लॉक का पृष्ठ क्षेत्रफल ज्ञात करें-
उत्तर:-
अभीष्ट पृष्ठ क्षेत्रफल=घन का कुल पृष्ठ क्षेत्रफल- अर्द्ध गोले के आधार का क्षेत्रफल+ अर्द्ध गोले का पृष्ठ क्षेत्रफल
=6× भुजा 2 -πr2+2πr2
6×5×5-π×(2.1)2+2π(2.1)2
150-4.41π+2π×4.41
150+π×4.41
150+ 22 × 441
7 100
150+ 1386
100
150+13.86=163.86
13. 14 सेमी किनारे वाले एक घनाकार काठ के टुकड़े को छीनकर वृहतम लंबवृतीय शंकु बनाया गया है जिसका आधार फलक पर है| शंकु का आयतन औ कुल पृष्ठ क्षेत्रफल ज्ञात करें-
उत्तर:–
अभीष्ट शंकु का h=14 r=14/2=7
शंकु का आयतन= 1 πr2h
3
1 × 22 ×7×7×14= 2156
3 7 3
l=(4)2+h2=√(7)2+(14)2=√49+196
√245=15.6
शंकु के कुल पृष्ठ क्षेत्रफल=πr(l+r)
22 ×7(1.56+7)=22×22.6=497.2
7
14. 2.4 सेमी ऊंचाई और 1.4 व्यास वाले एक ठोस बेलन से उसी ऊंचाई और उसी व्यास वाला एक शंक्वाकार छेद काट लिया जाता है, तो बचे हुए ठोस का कुल पृष्ठ क्षेत्रफल ज्ञात करें-
उत्तर:-
बेलन की ऊँचाई=शंकु की ऊँचाई=2.4
बेलन की त्रिज्या=शंकु की त्रिज्या= 1.4 =0.7
2
तिरछी ऊँचाई=l=√h2+r2
√(2.4)2+(0.7)2=√5.76+0.49=√6.25=2.5
शेष ठोस का पृष्ठ क्षेत्रफल= बेलन के वक्र का पृष्ठ क्षेत्रफल+ शंकु का पृष्ठ क्षेत्रफल+ बेलन के ऊपर वाले वृत्तीय आधार का क्षेत्रफल
2πrh+πrl+πr2=πr(2h+l+r)
22 ×0.7×(2×2.4+2.5+0.7)
7
22 ×0.7×(4.8+3.2)
7
22 ×0.7×8.0
7
22 × 7 ×8= 176 =17.6
7 10 10
15. उस बड़े से बड़े लंबवृतीय शंकु का आयतन ज्ञात करें जो उस घन में से काटा जा सकता है, जिसकी प्रत्येक किनारे की लंबाई 28 सेमी है|
उत्तर:-
शंकु का आयतन= 1 πr2h
3
1 × 22 × (28) ×28
3 7 2
1 × 22 × 28 × 28 ×28
3 7 2 2
11×28×28×2 =17248 =5749.33
3 3
16. (1) शीशे के एक ठोस गोले जिसकी त्रिज्या 8 है| से 1 सेमी त्रिज्या वाली कितनी गोलियाँ बनायी जा सकती है?
उत्तर:-
8 सेमी त्रिज्या वाले गोले का आयतन= 4 πr3
3
4 π×8×8×8
3
1 सेमी त्रिज्या वाले गोले का आयतन=4 πr3
3
4 ×1×1×1
3
अभीष्ट संख्या= 4/3π×8×8×8 =512
4/3×1×1×1
(2) 8 सेमी त्रिज्या वाले ठोस गोले से 2 सेमी त्रिज्या वाले कितने ठोस गोले बनाये जा सकता है सभी छोटे गोले के कुल पृष्ठ क्षेत्रफल ज्ञात करें-
उत्तर:-
8 सेमी त्रिज्या वाले गोले का आयतन= 4 π(8)3
3
2 सेमी त्रिज्या वाले गोले का आयतन= 4 π(2)3
3
अभीष्ट संख्या= 4/3π×8×8×8 =64
4/3π×2×2×2
सभी छोटी गोली का पृष्ठ क्षेत्रफल
=64×4π×2×2=1024π
17. 14 सेमी व्यास वाले एक नल के द्वारा 5 किमी प्रति घंटा की दर से पानी आयताकार तालाब में प्रवाहित हो रहा है जो 50 मी लंबी और 44 मी चौड़ा है| उस समय को निर्धारित करे जिसमें तालाब में पानी की सतह 7 सेमी से ऊपर उठ जाए|
उत्तर:-
1 घंटा में प्रवाहित होने वाले जल का आयतन=
πr2h= 22 ×( 14 )2×5×1000
7 2×100
14 meter
200
1km=1000m
22 × 14×14 ×5×1000
7 200×200
21560000 =77
280000
तालाब में जल की मात्रा=50×44× 7 =22×7
100
अभीष्ट समय= 22×7 = 154 =2
77 77
18. 3 सेमी त्रिज्या वाले एक गोले को पिघलाकर 0.2 सेमी व्यास वाला एक तार बनाया गया है| तार की लंबाई निकालिए——-
उत्तर::—
3 सेमी त्रिज्या वाले गोले का आयतन= 4 πr3
3
4 π(3)3
3
2 सेमी व्यास वाला तार का आयतन=πr2h
=π( 0.2 )2×h=π( 1 )2h
2 10
4 π×3×3×3=π× 1 × 1 ×h
3 10 10
4π×3×3×3×10×10 =h=3600cm; 36m
3×π
19. शीशे के एक आयताकार ठोस की लंबाई 11 चौडाई और मोटाई 5 है |उससे 1 सेमी व्यास वाली कितनी गोलियाँ ढालकर बनाई जा सकती है|
उत्तर:-
आयताकार ठोस का आयतन=लं०× चौ× ऊँ
11×8×5=440
1सेमी व्यास वाली गोली का आयतन= 4 π( 1 )3
3 2
4 × 22 × 1 × 1 × 1 = 11
3 7 2 2 2 21
अभीष्ट संख्या= 440 = 440×21=840
11 11
21
20. एक शंकु 24 ऊंचा है तथा उसके आधार की त्रिज्या 6 है| इसे पिघलाकर एक गोले के रूप में ढाला गया है| गोले की त्रिज्या निकाले-
उत्तर:-
शंकु का आयतन = 1 πr2h
3
1 π×6×6×24
3
गोले का आयतन= 4 πr3
3
1 π×6×6×24= 4 πr3
3 3
r3= π×6×6×24 = π×4×6×6×6
4π 4π
r=3√6×6×6=6
21. शीशे के किसी गोले को पिघलाकर उसकी छोटी छोटी गोलियाँ बनायी गयी है जिनकी त्रिज्या गोले की त्रिज्या की आधी है| छोटी कितनी गोलियाँ बनेगी? सभी छोटी गोलियों के संपूर्ण पृष्ठ का गोले के संपूर्ण पृष्ठ के अनुपात मालूम कीजिये——-
उत्तर:—-
माना कि बड़े गोले की त्रिज्या=r
छोटे गोले की त्रिज्या=r
2
बड़े गोले का आयतन= 4 πr3
3
छोटे गोले का आयतन= 4 π ( r )3
3 2
गोली की संख्या= 4/3πr3 = 1 =8
4/3πr3 1
8 8
बड़े गोले के संपूर्ण पृष्ठ क्षेत्रफल=4πr2
छोटे 1 गोले के संपूर्ण पृष्ठ क्षेत्रफल=4π( r )2
2
8 गोली का संपूर्ण पृष्ठ क्षेत्रफल=8×4π( r )2
2
8×4π× r2 =8πr2
4
अनुपात= 8πr2 =2:1
4πr2
22. 28 सेमी भुजा वाले एक ठोस घन को छीलकर वृहतम गोला बनाया गया है तो गोले का आयतन निकाले-π=22/7
उत्तर:-
घन की भुजा=गोले का व्यास=28;त्रिज्या=28/2=14
वृहतम गोला का आयतन= 4 πr3
3
4 × 22 ×14×14×14= 344096 =11498.7
3 7 3
23. 3 सेमी त्रिज्या वाले एक ठोस अर्ध गोला को पिघलाकर उसी के आधार के बराबर आधार वाला एक लंबवृतीय शंकु बनाया गया है| शंकु की ऊँचाई निकाले-
उत्तर:-
3 सेमी त्रिज्या वाले अर्द्ध गोले का आयतन=
2 πr3= 2 π×3×3×3
3 3
शंकु का आयतन= 1 πr2h= 1 π(3)2h
3 3
2 π×3×3×3= 1 π×3×3h
3 3
2×3=h; h=6
24. पीतल के तीन गोलों की त्रिज्या क्रमशः 6,8,10 है| इन गोलों को पिघलाकर एक बड़ा ठोस गोला बनाया गया है| इस बड़े गोले की त्रिज्या ज्ञात करें-
उत्तर::–
6 सेमी त्रिज्या वाले गोले का आयतन= 4 π(6)3
3
8 सेमी त्रिज्या वाले गोले का आयतन= 4 π(8)3
3
10 सेमी त्रिज्या वाले गोले का आयतन= 4 π(10)3
3
माना कि बड़े गोले की त्रिज्या=R
बड़े गोले का आयतन= तीनों छोटे गोले के आयतनों का योगफल
4 πR3= 4 π[(6)3+(8)3+(10)3]
3 3
4 πR3= 4 π(216+512+1000)
3 3
4 πR3= 4 π×10728
3 3
R3=10728; R=3√10728=12
25. 24 सेमी ऊंचाई और 6 सेमी आधार त्रिज्या के शंकु का रूपांतरण एक गोले के रूप में किया गया है| गोले की त्रिज्या ज्ञात करें-
उत्तर:—–
शंकु का आयतन= 1 πr2h
3
1 π×6×6×24
3
गोले का आयतन = 4 πr3
3
1 π×6×6×24= 4 πr3
3 3
4r3=6×6×24
r3= 6×6×24 ;r3=6×6×6; r=6
4
26. शीशे के एक गोलाकार खोल को जिसका बाहरी व्यास 18 है, पिघलाकर एक ऐसे लंब वृत्तीय बेलन में बदल दिया गया है जिसकी ऊंई8 और जिसका व्यास 12 सेमी है| खोल का भीतरी व्यास ज्ञात करें-
उत्तर::—
माना कि खोल का भीतरी व्यास =d
भीतरी त्रिज्या =d/2
बाहरी त्रिज्या = 18/2 =9
गोलाकार शीशे का बाहरी आयतन= 4 πr3
3
= 4 π(9)3
3
गोलाकार शीशे का भीतरी आयतन= 4 π( d )3
3 2
गोलाकार शीशे में स्थित शीशे का आयतन= बाहरी आयतन – भीतरी आयतन लंब वृत्तीय बेलन का आयतन
πr2h=π×6×6×8 – 36×8π
4 π(9)3- 4 π( d )3= 4 π[(9)3-( d )3]
3 3 3
4 π( 729 – d3 )
3 8
A/q, 36×8π= 4π (729- d3 )
3 8
36×8×3 =729 – d3
4 8
d3 =729- 216=513
8
d3=513×8; d=3√8×513=2×8=16
27. 10.5 की त्रिज्या वाले धातु के एक ठोस गोले को पिघलाकर 3.5 त्रिज्या और 3.0 ऊंचाई वाले कितने शंकु बनाए जा सकता है?
उत्तर::::-
गोले की त्रिज्या=10.5 =21/2
गोले का आयतन = 4 πr3
3
शंकु की त्रिज्या= r=3.5=7/2
शंकु की ऊंचाईh=3
शंकु का आयतन = 1 πr2h
3
1 π× ( 7 )2×3
3 2
4π × 21 × 21 × 21
शंकु की संख्या 3 2 2 2
1 π× 7 × 7 ×3
3 2 2
4×21×21×21 × 2×2 =21×6=126
2×2×2 7×7×3
28. 11 घन डेसी मीटर शीशे में से 0.5 डेसी मी
21
त्रिज्या का एक गोला काट लिया गया है| बचे हुए शीशे को पिघलाकर एक दूसरा गोला बनाया गया| इसका व्यास ज्ञात करें-
उत्तर:-
0.5 डेसी मीटर त्रिज्या वाले गोले का आयतन
= 4 πr3
3
4 × 22 × 5 × 5 × 5 = 22
3 7 10 10 10 21
शेष शीशा= 22 – 11 = 11
21 21 21
11 =दुसरे गोले का आयतन
21
11 = 4 πr3
21 3
11 = 4 × 22 ×r3
21 3 7
4×22×r3=11
r3= 11
4×22
r3= 1
2×2×2
r= 1 d= 1 ×2=1
2 2
29. एक गोले का व्यास 6 है| गोले को पिघलाकर एक समान वृत्तीय अनुरूप प्रतिच्छेद वाला एक लंबा तार बनाया गया है| यदि तार की लंबाई 36 हो तो उसकी त्रिज्या ज्ञात करें- π=3.14
उत्तर:-
गोले का व्यास= 6 त्रिज्या=6/2=3
गोले का आयतन= 4 πr3= 4 π×3×3×3=36π
3 3
36 सेमी लंबे तार का आयतन=πr2h=πr2×36
36π=πr2×36 r2=36/36 r=1
30. 80 लंबे और 50 चौड़े एक आयताकार तालाब में 500 व्यक्ति स्नान करते हैं| तालाब में पानी की सतह कितनी ऊंची उठ जायेगी यदि किसी एक व्यक्ति द्वारा पानी का औसत विस्थापन 0.94 हो?
उत्तर:—
1 व्यक्ति के द्वारा 0.04 विस्थापन होता है|
500 व्यक्ति द्वारा कुल विस्थापन=500×0.04
माना कि तल सेमी उठ जाता है|
500×40× ऊँ=500×0.04
ऊँ= 500×0.04 = 500×14 = 1 =0.5
50×80 40000 20
31. ठोस लंबवृतीय बेलनाकार काठ के टुकड़े के आधार व्यास और ऊंचाई समान है? इससे एक अर्ध गोलाकार टुकड़ा काट लिया जाता है| यदि अर्द्ध गोला और बेलन के आधार समान हो तो कितने प्रतिशत काठ बच जाता है?
उत्तर:-
बेलनाकार ठोस का आयतन=πr2h
अर्द्ध गोलाकार का आयतन= 2 πr3
3
शेष भाग = πr2h – 2 πr3 (h=r)
3
πr3 – 2 πr3= 3πr3-2πr3 = πr3
3 3 3
πr3 में शेष πr3 बचता है|
3
1 — — πr3
3
πr3
100 — —- πr3 ×100= 100
3πr3
शेष प्रतिशत= 100 – 100
1 3
300-100 = 200
3 3
32. (1) किसी शंकु के छिन्नक की तिरछी ऊंचाई 4 सेमी और उसके वृत्तीय सिरों की परिमित 18 सेमी और 6 है| छिन्नक का पृष्ठ क्षेत्रफल ज्ञात करें-
उत्तर:-
2πr1 पहली परिधि=18
πr= 18 =9
2
2πr =6
πr=6/2=3
छिन्नक का वक्र पृष्ठ=π(πr1+πr)l=(9+3)×4=
12×4=48
(2) एक शंकु के एक 45 सेमी ऊंचे छिन्नक के सिरों की त्रिज्याएं 28 सेमी एवं 7 है| इसका आयतन वक्र पृष्ठ क्षेत्रफल एवं कुल पृष्ठ क्षेत्रफल ज्ञात करें-
उत्तर:-
ऊं=45 r1=28 r2=7
छिन्नक का आयतन= 1 πh[(r1)2+(r2)2+r1×r2]
3
1 × 22 ×45 [(28)2+(7)2+28×7]
3 7
1 × 22 ×45(784+49+196)
3 7
1 × 22 ×45×1029=48510
3 7
वक्र पृष्ठ क्षेत्रफल=π(r1+r2)l
l=√(h)2+[(r1)2-(r2)2]=√(45)2+(28-7)2
√2025+(21)2=√2025+441=√2466=49.65
वक्र पृष्ठ क्षेत्रफल= 22 ×(28+7)×49.65
7
22 ×35×49.65=110×49.65=5461.65
7
कुल पृष्ठ क्षेत्रफल=π(r1+r2)l+π(r1)2+π(r2)2
22 (28+7)×49.65+ 22 ×(28)2+ 22 ×(7)2
7 7 7
22 ×35×49.65+88×28+154
7
5461.5+2464+154=8079.5
33. किसी शंकु की ऊँचाई 14 सेमी एवं आधार की त्रिज्या 6 है| आधार से 7 की ऊँचाई से अक्ष के लंबवृत समतल से काटकर शंकु के दो भाग बनाए गए हैं| नीचे वाले भाग का आयतन ज्ञात करें-
उत्तर::–
माना कि समतल काट के वृत्त की त्रिज्याPQ=r1 h1=OP=(14-7)=7
∆OPQ तथा ∆∆OAB समरूप है|
OP = PQ
OA AB
7 = r1
14 6
r1×14=6×7=42
r1=42/14=3
त्रिज्या PQ=r1=3
कटे हुए शंकु का आयतन= 1 πr2h
3
पूरे शंकु का आयतन= 1 πr2h
3
1 π(6)2×14= 1 π×36×14
3 3
नीचे वाले भाग का आयतन=
( 1 π36×14 – 1 π×9×7)
3 3
1 π(504-63)= 1 × 22 ×441=462
3 3 7
34. पानी पीने वाला एक ग्लास 14 सेमी ऊँचाई वाले शंकु के छिन्नक के रूप में है| उसके दो वृत्तीय सिरों के व्यास क्रमशः 4 और 2 है| ग्लास की क्षमता ज्ञात करें-
उत्तर:—
ग्लास की क्षमता (आयतन)=
1 πr[(r1)2+(r2)2+r1r2]
3
1 × 22 ×14[(2)2+(1)2+2×1]
3 7
1 × 22 ×14[14+1+2]
3 7
1 × 22 ×14×7=308
3 7 3
35. एक धातु की खुली बाल्टी एक शंकु के छिन्नक के रूप में है, जो उसी धातु के एक खोखले बेलनाकार आधार पर जुड़ी हुई है| बाल्टी के दोनों वृत्तीय सिरों के पास 45 और 25 है| बाल्टी की कुल उदग्र ऊँचाई 40 है एवं बेलनाकार आधार की ऊँचाई 6 है| बाल्टी बनाने में लगे धातु के चदरे का क्षेत्रफल ज्ञात करें| बाल्टी में अंटने वाली पानी का आयतन भी निकाले- π=22/7 , 1000 सेमी 3=1 ली
उत्तर:-
ऊपरी सिरे का व्यास=45 त्रिज्या=45/2=22.5
निचले सिरे का व्यास=25 त्रिज्या=25/2=12.5
प्रयुक्त धातु के चदरे का क्षेत्रफल= शंकु के छिन्नक का वक्र पृष्ठ क्षेत्रफल+ वृत्तीय आधार का क्षेत्रफल+ बेलन का वक्र पृष्ठ क्षेत्रफल
l=√(h)2+(r1-r2)2=√(34)2+(22.5-12.5)2
√1156+(10)2=√1156+100=√1256=35.55
r1=22.5 r2=12.5
[ 22 ×35.44(22.5+12.5)+ 22 ×(22.5)2+2×
7 7
22×12.5×6]
7
22 ×35.44×35.0+ 22 ×12.5×12.5+2× 22
7 7 7
×1.25×6
3798.40+24062.50+471.42
22 (35.44×35+156.25+150)
7
22 (1240.40+156.25+150)
7
22 ×1545.65= 34026.30 =4860.9
7 7
बाल्टी का आयतन=
1 πh[(r1)2+(r2)2+r1r2]
3
1 × 22 ×34[(22.5)2+(12.5)2+22.5×12.5]
3 7
1 × 22 ×34(506.25+156.25+281.25)
3 7
1 × 22 ×34×94375= 705925 =33.62
3 7
36. किसी शंकु की ऊँचाई 30 है| आधार के समांतर एक तल के द् उससे एक छोटा शंकु काट गया है| यदि इसका आयतन दिए गए शंकु के आयतन का 1/27 भाग हो तो आधार के एक कितनी दूरी उपर से परिच्छेद काटा गया है?
उत्तर:–
माना कि OAB मूल शंकु है| OPQ काटा गया छोटा शंकु है|
समरूप त्रिभुज ORQ और OCB में
CB = OC = 30
RQ OR H1
r1 = 30
r2 h1
मूल शंकु का आयतन= 1 πr2h
3
1 πr2×30=10πr2
3
छोटे शंकु का आयतन= 1 πr2h=
1 πr2h= 1 ×10πr2
3 27
r2h1= 1 ×10r2
9
h1= 10 ( r ) ——(2)
9 r1
समीकरण (1) और (2) से
h1= 10 ( 30 )
9 h1
h1= 10 × 900
9 h2
h3= 9000 =1000
9
h3=(10)3; h=10
आधार से ऊँचाई=30-10=20
37. एक बर्तन खोखले अर्द्ध गोले के रूप का है जिसके उपर एक खोखले बेलन जुड़ा है| अर्द्ध गोले का व्यास 14 सेमी है और बर्तन की कुल ऊँचाई 13 सेमी है| बर्तन का भीतरी पृष्ठ क्षेत्रफल ज्ञात करें-
उत्तर:-
अर्द्ध गोले की त्रिज्या=14/2=7
बेलन की ऊँचाई=13-7=6
बर्तन का भीतरी पृष्ठ क्षेत्रफल= बेलन का वक्र पृष्ठ क्षेत्रफल+ अर्द्ध गोले का वक्र पृष्ठ क्षेत्रफल
2πrh+2πr2=2πr(h+r)
2× 22 ×7(6+7)
7
2×22×13=572
38. (1) 3 सेमी किनारे वाले 3 घनों को एक सीध में रखकर एक घनाभ बनाया गया है| इस घनाभ का कुल पृष्ठ क्षेत्रफल ज्ञात करें-
उत्तर:—
3 घनों को एक सीध में जोड़ा गया है|
लंबाई=3+3+3=9
चौड़ाई=3
ऊँचाई=3
परिणामी घनाभ का कुल पृष्ठ क्षेत्रफल=
2×(लं× चौ+चौ×ऊ+ऊ×लं०)
2×(9×3+3×3+3×9)
2×(27+9+27)=2×63=126
(2) 2 घन जिसमें प्रत्येक का आयतन 64 सेमी है| को सिरा से सिरा सटाकर रखने से बने घनाभ का पृष्ठ क्षेत्रफल ज्ञात करें-
उत्तर:-
माना कि घन की भुजा=× है
घन का आयतन=भुजा3
64=x3
x= 4
अत: घन की भुजा=4
दोनों घनों को जोड़ने पर, घनाभ की लंबाई=4+4=8
चौड़ाई=4 ऊँचाई=4
घनाभ का कुल पृष्ठ क्षेत्रफल=
2×(लं× चौ+चौ×ऊ+ऊ×लं०)
2×(8×4+4×4+4×8)
2×(32+16+32)=2×80=160
39. एक तंबू का आकार नीचे से वृत्तीय बेलन का है और ऊपर से उसी आधार पर के सम वृत्तीय शंकु है| बेलन का व्यास 4 है| बेलनाकार भाग की ऊँचाई 2.1 मीटर है जबकि शंकु की तिरछी ऊँचाई 2.8 है| तंबू में लगे कैनवास का क्षेत्रफल निकाले- 500 रूपये प्रति वर्ग मीटर की दर से कैनवास का मूल्य निकाले-
उत्तर:-
कुल प्रयुक्त कैनवास का क्षेत्रफल= बेलनाकार भाग में लगे कैनवास का क्षेत्रफल+ शंक्वाकार भाग में लगे कैनवास का क्षेत्रफल
2πrh+πrl=πr(2h+l)
22 ×2(2×2.1+2.8)
7
22 ×2×(4.2+2.8)
7
22 ×2×7=22×2=44
7
1 वर्ग मी कैनवास का मूल्य 500 है|
44 —- ——–=500×44=22000
40. एक समकोण त्रिभुज की समकोण बनाने वाली भुजाएँ 15 तथा 20 है| उसे कर्ण के परित: घुमा दिया जाता है| इस प्रकार से बने हुए दुहरे शंक्वाकार ठोस का आयतन एवं पृष्ठ क्षेत्रफल ज्ञात करें-
उत्तर:–
माना कि ABC एक समकोण त्रिभुज है जिसमें ABC=90,AB=20 BC=15 है| कर्ण AC PAR ABC को घुमाया गया है जिससे दो शंकु प्राप्त हुए| इन शंकुओं का आधार उभयनिष्ठ होगा| उनके शीर्ष उभयनिष्ठ आधार के विपरीत दिशा में होगा|
AC=√(20)2+(15)2=√400+225=√625=25
ABC क्षेत्रफल= 1 × आधार× ऊंचाई
2
1 ×AC×OB= 1 ×25×OB
2 2
ABC क्षेत्रफल= 1 ×BC×AB
2
1 ×15×20=150
2
150= 1 ×25×OB
2
OB= 150×2 =12=OD
25
शंकु ABD का आयतन= 1 π(OB)2•OA
3
1 π(12)2•OA= 1 π×144•OA
3 3
शंकु CBD का आयतन= 1 π(OD)2•OC
3
1 π(12)2•OA= 1 π×144×OA
3 3
निर्मित ठोस का आयतन= 1 π×144•OA+
3
1 π×144×OD
3
1 π×144(OA+OD)
3
1 × 22 ×144×25=1200π
3 7
शंकु ABD का वक्र पृष्ठ क्षेत्रफल=πrl
=π•OB•ABπ•12•20=240π
शंकु BCD का वक्र पृष्ठ क्षेत्रफल
=πrl=π•12•15=180π
कुल पृष्ठ क्षेत्रफल=240π+180π=400× 22
7
=1320
41. एक ठोस खिलौना ऐसा है जैसे एक अर्द्ध गोले पर एक लंबवृतीय शंकु रखा हो| शंकु की ऊँचाई 2 सेमी है| और आधार का व्यास 4 सेमी है| खिलौने का आयतन ज्ञात करें- यदि एक लंबवृतीय बेलन इस खिलौने को परिमित करें तो बेलन और खिलौने के आयतनों का अंतर निकाले- π=3.14
उत्तर:-
खिलौने का आयतन= अर्द्ध गोले का आयतन+ शंकु का आयतन
2 πr3+ 1 πr2h
3 3
D=4 r=4/2=2
2 π(2)3+ 1 π(2)2•2= 1 π(2×8+8)
3 3 3
1 ×3.14(16+8)= 1 ×3.14×24=25.12
3 3
वृत्तीय बेलन की आधार की त्रिज्या=2
ऊँचाई=2+2=4
बेलन का आयतन=π× त्रिज्या× त्रिज्या
3.14×(2)2×4=3.14×4×5=50.24
आयतनों में अंतर=50.24-25.12=25.12
42. (1) एक ठोस जिसमें 120 ऊँचाई वाला और 60 त्रिज्या वाला एक लंबवृतीय शंकु एक 60 त्रिज्या वाले अर्द्ध वृत्त पर खड़ा है, एक पानी से भरे लंबवृतीय बेलन में लंबवृत उसके पेंदी में सटाकर रखा जाता है| बेलन में बचे पानी का आयतन ज्ञात करें यदि बेलन की त्रिज्या 60 और ऊँचाई 180 हो|
उत्तर:—–
बेलन का आयतन= πr2h
22 ×60×60×180=22×3600×180
7
14256000 =203657.4
7
ठोस का आयतन= शंकु का आयतन+ अर्द्ध गोले का आयतन
1 × 22 ×60×60+ 2 × 22 ×60×60×60
3 7 3 7
9504000 + 9504000
21 21
19008000 = 905142.86
21
बेलन में बचे पानी का आयतन= बेलन का आयतन – ठोस का आयतन
203657.14 – 905142.86=1131438.54
1131438.54 =1.31
1000000
(2) एक खिलौने का आकार ऐसा है मानो समान त्रिज्या के एक अर्द्ध गोले पर शंकु आरोपित हो| शंकु के आधार की त्रिज्या 3.5 सेमी है तथा खिलौने की ऊँचाई 15.5 सेमी है| खिलौने का पृष्ठ क्षेत्रफल ज्ञात करें-
उत्तर:-
AO=AC-OC=(15.5-3.5) =12
OB=OC=3.5
शंकु की ऊँचाई AO=H=12
शंकु की तिरछी ऊँचाई l=√(OA)2+(OB)2
√(12)2+(3.5)2=√144+12.25=√156.25=12.5
खिलौने का पृष्ठ क्षेत्रफल= शंकु का वक्र पृष्ठ क्षेत्रफल+ अर्द्ध गोले का वक्र पृष्ठ क्षेत्रफल
πrl+2πr2=πr(l+2r)= 22 ×3.5×(12.5+2×3.5)
7
22 ×3.5×(12.5+7)
7
22 ×3.5×19.5=214.5
7
(3) एक लट्टू की आकृति ऐसी है जैसे एक शंकु के आधार पर एक अर्द्ध गोले आरोपित हो| यदि लट्टू की ऊँचाई 5 और आधार का व्यास 3.5 सेमी हो तो लट्टू का पृष्ठ क्षेत्रफल ज्ञात करें-
उत्तर:-
लट्टू का पृष्ठ क्षेत्रफल= अर्द्ध गोले का पृष्ठ क्षेत्रफल+ शंकु का वक्र पृष्ठ क्षेत्रफल
=2πr2+πrl
h=( 5 – 3.5 ) = 10-3.5 = 6.50 =3.25
2 2 2
l=√h2+r2=√(3.25)2+( 3.25 )2
2
√( 325 )2+( 35 )2=√105625 + 1225
100 20 1000 400
√ 105625 + 30625 = √ 136250 =3.7
10000 1000
समी (1) से लट्टू का पृष्ठ क्षेत्रफल
(2× 22 × 3.5 × 3.5 + 22 × 3.5 ×3.7)
7 2 2 7 2
22 × 3.5 (3.5+3.7)= 22 × 35 × 72
7 2 7 20 10
396 =39.6
10
43. एक लंबवृतीय बेलन के सिरे गोलार्द्ध है| उसका आयतन ज्ञात करें जबकि उसकी संपूर्ण लंबाई 2.7 और प्रत्येक अर्द्ध गोले सिरे का व्यास 0.7 है|
उत्तर:-
अर्द्ध गोले का व्यास=0.7 त्रिज्या= 0.7 = 7
2 20
दोनों अर्द्ध गोलाकार भाग का आयतन= 2 πr3×2
3
2 × 22 × 7 × 7 × 7 ×2
3 7 20 20 20
539 =0.1796667
3000
बेलनाकार भाग का आयतन=πr2h
22 × 7 × 7 ×2= 77 =0.77
7 20 20
कुल आयतन=0.1796667+0.771=0.9497
44. शीशे के एक बेलनाकार ग्लास का भीतरी व्यास 5 है किंतु उसकी पेंदी में एक अर्द्ध गोलाकार उठा भाग है जो उसकी क्षमता को कम कर रहा है| यदि ग्लास की ऊँचाई 10 हो तो ग्लास की प्रकट और वास्तविक क्षमता निकाले-
उत्तर:—-
प्रकट क्षमता=πr2h
=3.14(2.5)2×10=3.14×6.25×10=196.2500
197.25 cm3
अर्द्ध गोलाकार उठा भाग का आयतन= 2 πr3
3
2 ×3.25(2.5)3= 2 ×3.14×2.5×2.5×2.5
7
98.12500 = 9812500 =32.708333
3 300000
वास्तविक क्षमता= प्रकट क्षमता – अर्द्ध गोला का आयतन
196.25-32.708333=163.54
45. 6 सेमी की त्रिज्या के एक गोले में एक घन अंतरित है, तो घन के बाहर गोले के अंश का घन फल निकाले-
उत्तर:-
6 सेमी त्रिज्या वाले गोले का आयतन
4 πr3= 4 × 22 ×6×6×6=905.14285
3 3 7
घन का विकर्ण = √3× भुजा
12=√3× भुजा
भुजा= 12 = 12 =6.9284064
√3 1.732
घन का आयतन=भुजा3=(6.9284064)3
घन के बाहर स्थित गोले का आयतन=322.58301
अभीष्ट आयतन=905.14285-322.58301
=572.6
46. 8 सेमी व्यास की एक अर्द्ध गोलाकार कटोरी पानी से पूर्णतया भरी है| इसमें 4 व्यास की एक कांच की ठोस गोली डाल दी जाती है| बताइये पानी का कौन सा भाग बह जाएगा|
उत्तर:-
अर्द्ध गोलाकार कटोरी का व्यास=8, त्रिज्या=4
4 सेमी त्रिज्या वाले अर्द्ध गोलाकार कटोरी का आयतन=
4 πr3
3×2
2 π×4×4×4= 128π
3 3
कांच की गोली का व्यास=4 r=2
2 सेमी त्रिज्या वाले गोले का आयतन= 4 πr3
3
4 π×2×2×2= 32π
3 3
स्पष्ट है कि अर्द्ध गोलाकार कटोरी के आयतन का चौथाई भाग गोली का आयतन है| अत: 1/4 भाग पानी बह जाएगा|
47. 3 त्रिज्या वाला एक अर्द्ध गोलाकार कटोरी पानी से पूरा भरा है| बराबर भीतरी त्रिज्या वाले एक बेलन में पानी को उड़ने दिया जाता है| बेलन में पानी की गहराई बताएं—-
उत्तर:-
3 सेमी त्रिज्या वाले अर्द्ध गोलाकार कटोरे का आयतन
= 2 πr3= 2 π×3×3×3
3 3
3 सेमी त्रिज्या वाले बेलनाकार पात्र का आयतन
=πr2h
2 π×3×3×3=π×3×3×h
3
H=2=गहराई=2
48. एक बर्तन अधोमुखी शंकु के रूप में है| इसकी ऊंचाई 8 सेमी है और उसकी चोटी जो खुली हुई है कि त्रिज्या 5 सेमी है| यह किनारे तक पानी से भरा हुआ है| जब शीशे की गोलियाँ जिसमें से प्रत्येक की त्रिज्या 0.5 त्रिज्या वाली गोली है बर्तन में डाली जाती है तो पानी का एक चौथाई भाग पानी बह जाता है| बर्तन में डाली गई शीशे की गोली की संख्या बताइये———
उत्तर:—
अर्द्ध शंक्वाकार बर्तन का आयतन= 1 πr2h
3
1 × 22 ×5×5×8= 22×200
3 7
चूंकि प्रत्येक गोली की त्रिज्या=0.5
1 गोली का आयतन= 4 πr3
3
4 × 22 ×0.5×0.5×0.5
3 7
4 × 22 × 5 × 5 × 5 = 11
3 7 10 10 10 21
बर्तन के पूरे पानी का आयतन= 22×200
21
22×200
21 = 22×200 × 21
गोली की संख्या 11 21 11
21
400
प्रश्न से बर्तन के पानी का चौड़ाई भाग पानी बह जाता है| अत: बर्तन में डाली गई गोलियाँ संख्या 400 =100
4
49. 3 सेमी व्यास वाली शीशे की कुछ गोलियाँ पानी युक्त बेलनाकार बीकर में डाली जाती है और वे पूर्णतः डूब जाती है| बीकर का व्यास 12 सेमी है| यदि बीकर में पानी 2 उठ जाए तो बीकर में कितना गोलियाँ डाली गई है?
उत्तर:—-
बेलनाकार बीकर का व्यास=12 त्रिज्या=6
बेलनाकार बीकर का = Πr2h= 22 ×6×6×2
7
1 गोली का व्यास=3 r=3/2
1गोली का आयतन=4 πr3= 4 × 22 × 3 × 3 × 3
3 3 7 2 2 2
22 ×6×6×2
7
गोली की संख्या 4 × 22 × 3 × 3 × 3
3 7 2 2 2
22×6×6×2 × 7×3 =16
7 11×3×3×3
50. 24 सेमी व्यास का एक वृत्तीय बेलन जल से 25 सेमी ऊंचाई तक भरा है| इसमें एक ठोस लोहे का गोला डालने पर जल की सतह 6.75 सेमी ऊंचा हो जाता है तो गोले की त्रिज्या निकाले-
उत्तर:-
चूंकि वृत्तीय बेलन का व्यास=24 r=24/2=12
गोले को डालने पर बेलन में बढ़े हुए जल का आयतन
=πr2h= 22 ×12×12×6.75
7
माना कि डाली गई गोली की त्रिज्या=r
गोली का आयतन= 4 πr3= 4 × 22 ×r3
3 3 7
प्रश्न से,
22 ×12×12×6.75= 4 × 22 ×r3
7 3 7
22×12×12×6.75×3×7=4×22×7×r3
r3= 22×12×12×6.75×3×7
4×22×7×100
r3=3×3×3×3×3×3
r3=3×3×3 × 3×3×3; r=3×3=9
51. 8 सेमी त्रिज्या वाले गोले के परिगत एक सम बेलन बनाया जाता है तो सम बेलन का आयतन निकाले-
उत्तर:-
गोले की त्रिज्या=8 व्यास×8×2=16
ऊंचाई=16
बेलन का आयतन=πr2h
22 ×8×8×16= 22528 =3218.3
7 7
52. शंकुनुमा गिलास के ऊपरी सिरे का व्यास 6 सेमी और ऊंचाई 9 है| यदि एक 3 सेमी व्यास और 2 गहराई वाले बेलनाकार कटोरे से गिलास में दूध भरा जाए तो कितने कटोरे दूध की आवश्यकता होगी?
उत्तर:—
व्यास=6 त्रिज्या=6/2=3 ऊंचाई=9
गिलास की आयतन= 1 πr2h= 1 π×3×3×9
3 3
बेलनाकार कटोरे का आयतन=πr2h=π( 3 )2×2
2
1 π×3×3×9
अभीष्ट संख्या= 3 =3×2=16
π× 3 × 3 ×2
2 2
53. एक मिठाई में उसके आयतन का लगभग 30% तक चीनी का घोल मिला है| 45 पीस मिठाई में लगभग कितना घोल मिलेगा जबकि मिठाई का प्रत्येक पीस 5 लंबा एवं 2.8 सेमी व्यास वाला ऐसा बेलन है जिसके दोनों सिरे अर्द्ध वृत्ताकार है|
उत्तर:—-
त्रिज्या=1.4 ऊँचाई=2.2
एक मिठाई का आयतन= बेलनाकार भाग का आयतन+ अर्द्ध गोलाकार सिरों का आयतन
πr2h+ 2× 2 πr3=πr2(h+ 4 r)
3 3
22 ×1.4×1.4(2.2+ 4 ×1.4)
7 3
22 ×1.4×1.4(2.2+ 5.6 )
7 7
22×0.28( 6.6+5.6 )=22×0.28( 12.2 )
3 3
75.152 = 75152 = 25050.667
3 3000
चीनी के घोल की मात्रा=25050.667×45of 30
100
33818490 =338.2
1000
54. (1) 20 सेमी आंतरिक व्यास वाले एक पाइप को नहर से एक बेलनाकार टंकी व जोड़ता है जिसका व्यास 10 एवं गहराई 2 है| यदि पानी पाइप से होकर 3 किमी/घंटा की वेग से बढ़ता है, तो कितने समय में टंकी भर जाएगी|
उत्तर:-
पाइप की त्रिज्या= 20 =10
2
एक घंटे में बहे हुए पानी का आयतन=πr2h
10×10×300000
टंकी की त्रिज्या= 10 =5m=500cm
2
टंकी की ऊँचाई=2m=200cm
टंकी का आयतन= बेलन का आयतन=πr2h
π×500×500×200
माना कि t समय में टंकी भर जाती है|
t×π×100×300000=π×500×500×200
t= π×500×500×200 = 50000000
π×100×300000 30000000
5 = 5 ×60min=100min=1 hour 40 min
3
(2) 6 मी चौड़े और 1.5 मी गहरे नहर में पानी 10km/h की चाल से बह रहा है| 30 मिनट में यह कितना क्षेत्र सिंचित करेगा| यदि 8 सेमी खड़े जल की आवश्यकता हो?
उत्तर:–
नहर की चौडाई= 6मीटर ,नहर की गहराई=1.5
प्रतिघंटा पानी के कालम की लंबाई=10km
30 मिनट में पानी के कालम की लंबाई
1 ×10km=5km=5000
2
30 मीटर मिनट में बहे पानी का आयतन
6×1.5×5000=45000
8 सेमी= 8 =0.09 मी खड़े पानी की आवश्यकता है|
100
अर्थात ऊँचाई=0.08
30 मिनट में संचित क्षेत्रफल= आयतन = 45000
ऊँचाई 0.08
4500000 =562500
8
55. एक अर्द्ध गोलाकार पानी से भरी टंकी को एक पाइप द्वारा 25 लीटर/से ०
7
दर से खाली किया जा रहा है| आधी टंकी को खाली करने में कितना समय लगेगा यदि इसका व्यास 3 मीटर हो?
उत्तर:-
अर्द्ध गोलाकार टंकी की त्रिज्या= 3
2
टंकी का आयतन= 2 × 22 × 3 × 3 × 3
3 7 2 2 2
99
14
खाली किए गए जल का आयतन= 1 × 99 =
2 14
99 ×1000= 99000
28 28
25 l पानी 1 सेकेंड में खाली होता है|
7
1 litre 1 = 7 second
25 25
7
99000 litre water 7 × 99000 second
28 25 28
99000 =990second=990 =16min30sec
100 60
56. एक अर्द्ध गोलाकार कटोरे, जिसका आंतरिक व्यास 30 सेमी है, कुछ द्रव भरा है| इस द्रव को बेलनाकार बोतलों में भरा जाना है| जिनमें से प्रत्येक का व्यास 5 सेमी तथा ऊंचाई 6 सेमी है| कटोरे को खाली करने में कितना बोतल की आवश्यकता होगी|
उत्तर:-
अर्द्ध गोलाकार टंकी की त्रिज्या= 30 =15
2
कटोरे का आयतन= 2 πr3= 2 × 22 ×(15)3
3 3 7
एक बेलनाकार का आयतन=πr2h
22 ×( 5 )× 5 ×6
7 2 2
बोतलें की संख्या= कटोरे का आयतन
एक कटोरे का आयतन
2 × 22 ×15×15×15
3 7
22 × 5 × 5 ×6
7 2 2
2×5×15×15 ×2
25×3
4500 =60
75
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