प्रश्नावली-1C
1. उस त्रिभुज के क्षेत्रफल निकाले शीर्ष बिंदुओं के निर्देशांक निम्नलिखित हैं|
(i) (-5, -1) (3, -5) (5, 2)
Answer:—-
x1=-5, y1=-1, x2=3, y2=-5, x3=5, y3=2
क्षेत्रफल=1/2[x1(y2-y3)+x2(y3-y1)+x3(y1-y2]
1/2[-5(-5-2)+3(2+1)+5(-1+5)]
1/2[-5×(-7)+3×3+5×4]
1/2(35+9+20)
1 ×64=32
2
(ii) (1, -2) (-3, 4) (5, -6)
Answer:—-
x1=1, y1=-2 x2=-3, y2=4 x3=5, y3=-6
क्षेत्रफल=1/2[x1(y2-y3)+x2(y3-y1)+x3(y1-y2]
1/2[1(4+6)-3(-6+2)+5(-2-4)]
1/2[1×10-3×(-4)+5×(-6)]
1/2[10+12-30]
1 ×(-8)= -4
2
(iii) (-5, 7) (-4, -5) (4, 5)
Answer:—-
x1=-5, y1=7, x2=-4, y2=-5, x3=4, y3=5
क्षेत्रफल=1/2[x1(y2-y3)+x2(y3-y1)+x3(y1-y2]
1/2[-5(-5-5)-4(5-7)+4(6+5)]
1/2[-5×(-10)-4×(-2)+4×11]
1/2[50+8+44]
1 ×106 = 53
2
(iv)(at1,2at1),[(at2)2,2at2],[(at3)2,2at3]
Answer:—-
x1=at1,y1=2at1,
x2=(at2)2,y2=2at2,x3=(at3)2, y3=2at3
क्षेत्रफल=1/2[x1(y2-y3)+x2(y3-y1)+x3(y1-y2]
1/2[at2(2at2-2at3)+(at2)2(2at3-2at1)+(at3)2(2at1-2at2)]
1/2[2a2(t1)2(t2-t1)+2a2(t2)2(t3-t1)+2a2(t3)2(t1-t2)]
1 ×2a2[(t1)2(t2-t3)+(t2)2(t3-t1)+(t3)2+(t1-t2]
2. (i) यदि प्रथम पाद के बिंदुओं A(x,y) B(1,2) C(2,1) से बने त्रिभुज ABC का क्षेत्रफल 6 हो तो सिद्ध करें कि x+y=15
उत्तर:—-
x1=x x2=1 x3=2
x2=y y2=2 y3=1
क्षेत्रफल=1/2[x1(y2-y3)+x2(y3-y1)+x3(y1-y2]
6= 1 [x(2-1)+1(1-y)+2(y-2)]
2
12=[x+1-y+2y-4]
12=x+y-3
x+y=15
(ii) किसी त्रिभुज का क्षेत्रफल 5 वर्ग इकाई है| यदि त्रिभुज के दो शीर्षों के निर्देशांक (2, 1) और (3, -2) है| और तीसरा शीर्ष (x,y) इस प्रकार हो कि y=x+3 तो तीसरा शीर्ष ज्ञात करें-
Answer:—-
x1=2 y1=1
x2=3 y2=-2
x3=x y3=y
क्षेत्रफल=1/2[x1(y2-y3)+x2(y3-y1)+x3(y1-y2]
5=1/2[2(-2-y)+3(y-1)+x(1-(-2)]
5=1/2[-4-2y+3y-3+3x]
5=1/2[3x+y-7]
5=1/2[3x+x+3-7] y=x+3
5= 1 [4x-4] y= 7 +3
2 2
10=4x-4 y= 7+ 3×2
4x=10+4=14 2
x= 14 y= 7+6
4 2
x= 7 y= 13
2 2
3.सिद्ध करें कि बिंदुएं (0, 11) (2, 3) (3, -1)
संरेख है?
उत्तर:—
x1=0 x2=2 x3=3
y1=11 y2=3 y3=-1
क्षेत्रफल=1/2[x1(y2-y3)+x2(y3-y1)+x3(y1-y2]
1/2[0(3-(-1)+2(-1-11)+3(11-3)]
1/2[0-24+24]
1 ×0=0
2
4. (i) k के किस मान के लिए बिंदुएं (3, k) (7, -2) (5, 1) संरेख है|
उत्तर:—–
x1=3 x2=7 x3=5
y1=k y2=-2 y3=1
क्षेत्रफल=1/2[x1(y2-y3)+x2(y3-y1)+x3(y1-y2]
0=1/2[3(-2-1)+7(1-k)+5(k-(-2)]
0=1/2[3×(-3)+7-7k+5(k+2)]
0=1/2[-9+7-7k+5k+10]
0= 1 [-9+17-2k]
2
0=8-2k
2k=8
k= 8 =4
2
(ii) k के किस मान के लिए बिंदुएं (1, 1) (3, k) (-1, 4) संरेख है|
Answer:—-
x1=1 x2=3 x3=-1
y1=1 y2=k y3=4
क्षेत्रफल=1/2[x1(y2-y3)+x2(y3-y1)+x3(y1-y2]
0=1/2[1(k-4)+3(4-1)-1(1-k)]
0=1/2[k-4+9-1+k]
0= 1 [2k+4]
2
2k+4=0
2k=-4
k=-4/2=-2
5. सिद्ध करें कि बिंदुएं (3, 3) (∆, 0) (0,k) एक रैखिक होंगे यदि 1 + 1 = 1
∆ k 3
Answer:—–
x1=3, y1=3 x2=∆, y2=0 x3=0,y3=k
क्षेत्रफल=1/2[x1(y2-y3)+x2(y3-y1)+x3(y1-y2]
0=1/2[3(0-k)+∆(k-3)+0(3-0)]
0=1/2[-3k+∆k-3∆+0]
0=-3k+∆k-3∆
3k+3∆=∆k
दोनों ओर 3k∆ से भाग देने पर,
3k + 3∆ = ∆k
3k∆ 3k∆ 3k∆
1 + 1 = 1
∆ k 3
6. उस चतुर्भुज का क्षेत्रफल निकाले जिसके शीर्ष क्रमानुसार (-4, -2) (-3, -5) (3, -2) (2, 3) है|
उत्तर:-
A को D से मिलाने पर,
ABC का क्षेत्रफल
=1/2[-3(-2-(-2)+3(-2-(-5)-4(-5+2)]
=1/2[-3×0+3×3-4×(-3)]
1/2[0+9+12]= 21
2
ACD का क्षेत्रफल
=1/2[-4(-2-3)+3(3+2)+2(-2+2)]
1/2[20+15]= 35
2
ABCD का क्षेत्रफल=ABC+ADC
21 + 35 = 56 =28
2 2 2
7. किसी चतुर्भुज के शीर्षों के निर्देशांक (1, 1) (7, -3) (12, 2) (7, 21) है| सिद्ध करें कि चतुर्भुज का क्षेत्रफल 132 वर्ग ईकाई है|
उत्तर:-
B को D से मिलाया
ABD का क्षेत्रफल
=1/2[1(-3-21)+7(21-1)+7(1-(-3)]
1/2[-24+140+28]= 1 ×124=62
2
DBC का क्षेत्रफल
=1/2[7(2-(-3)+12(-3-21)+7(21-2)]
1/2[7×5+12×(-24)+7×19]
1/2[35-288+133]
1/2[168-288]= 1 ×120=60
2
ABCD का क्षेत्रफल=62+60=132
8. यदि त्रिभुज के शीर्ष क्रमशः A(1,-4) B(1,1) C(4,5) हो तो A से BC पर लंब की लंबाई ज्ञात करें-
उत्तर:——
x1=1, y1=-4, x2=1, y2=1, x3=4, y3=5
ABC का क्षेत्रफल
=1/[1(1-5)+1(5-(-4)+4(-4-1)]
1/2[-4+9-20]= 1 [-15]= -15 = 15
2 2 2
BC=√(1-4)2+(1-5)2=√(-3)2+(-4)2
√9+16=√25=5
AD= ∆ABC का क्षेत्रफल
1 BC
2
15
2
1 ×5
2
15 × 2 =3
2 5
9. त्रिभुज ABC के शीर्ष A(4,-6) B(3,-2) और C(5,2) है| AD इसकी एक माध्यिका है| सिद्ध करें कि AD त्रिभुज ABC को समान क्षेत्रफल वाले दो त्रिभुजों में बांटता है|
उत्तर:-
माना कि ABC एक त्रिभुज है| जिसकी माध्यिका AD है| AD माध्यिका है| इसिलिए D मध्यबिंदु है|
D= 3+5 =4, -2+2 = 0 =0
2 2 2
x1=4, y1=0, x2=5, y2=2, x3=4, y3=-6, x4=3, y4=-2
त्रिभुज ABD क्षेत्रफल
=1/2[3(0-(-6)+4(-6-(-2)+4(-2-0)]
1/2[3×6+4×(-4)+4×(-2)]
1/2[18-16-8]
1 ×[-6]=-3
2
त्रिभुज ADC क्षेत्रफल
=1/2[4(2-(-6)+5(-6-0)+4(0-2)]
1/2[4×8+4×(-6)+4×(-2)]
1/2[32-30-8]= 1 ×(-6)=-3
2
10. त्रिभुज ABC के शीर्ष क्रमशः (1,1) (-3,2) (4,-1) है| D, E और F क्रमशः भुजा BC, CA AB के मध्य बिंदु हो तो सिद्ध करें कि
ABC का क्षेत्रफल=4× DEF का क्षेत्रफल
Answer:——
माना कि ABC एक त्रिभुज है| और D, E, F मध्य बिंदु है| DEF को मिलाया|
D मध्य बिंदु है| इसिलिए निर्देशांक
= -3+4 = 1 , 2+(-1) = 1
2 2 2 2
E के निर्देशांक= 1+4 = 5 , 1-1 =0
2 2 2
F के निर्देशांक= -3+1 = -2 = -1
2 2
1+2 = 3
2 2
DEF का क्षेत्रफल=
1 [ 1 (0- 3 )+ 5 ( 3 – 1 )-1( 1 -0) ]
2 2 2 2 2 2 2
1 [ 1 × -3 + 5 × 2 -1× 1 ]
2 2 2 2 2 2
1 [ -3 + 5 – 1 ]
2 4 2 2
1 [ -3+10-2 ]= 1 × 5 = 5
2 4 2 4 8
ABC का क्षेत्रफल=
1/2[1(2-(-1)-3(-1-1)+4(1-2)]
1/2[3+6-4]
1 ×5 = 5
2 2
5 = 4× 5 = 5
2 8 2
ABC का क्षेत्रफल=4× DEF का क्षेत्रफल
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