प्रश्नावली-1B
1. उस बिंदु के निर्देशांक ज्ञात करें जो बिंदुओं (4, -3) और (8, 5) को मिलाने वाले रेखा खंड को 3:1 के अनुपात में अंतर्विभाजित करता है|
उत्तर:—–
m1=3 m2=1
x1=4 x2=8
y1=-3 y2=5
(x, y)= m1x2+m2x1, m1y2+m2y1
m1+m2 m1+m2
3×8+1×4 , 3×5+1×(-3)
3+1 3+1
24+4 , 15-3
4 4
28 , 12 =(7, 3)
4 4
2. उस बिंदु के निर्देशांक ज्ञात करें बिंदुओं (-1, 7) और (4, -3) को मिलाने वाले रेखा खंड को 2:3 के अनुपात में अंतर्विभाजित करता है|
उत्तर:-
m1=2 m2=3
x1=-1 x2=4
y1=7 y2=-3
(x, y) = m1x2+m2x1 , m1y2+m2y1
m1+m2 m1+m2
2×4+3×(-1) , 2×(-3)+3×7
2+3 2+3
8 – 3 , -6 + 21
5 5
5 , 15 =(1, 3)
5 5
3. (i) यदि A(0, 2), B(3, 0) और रेखा खंड AB पर P एक बिंदु इस प्रकार है कि AB/AP=5/2 तो के P निर्देशांक ज्ञात करें-
ANSWER:——
AB/AP=5/2
AB – 1 = 5 – 1
AP 1 2 1
AB-AP = 5-2
AP 2
BP = 3
AP 2
M1=2 M2=3
X1=0 X2=3
Y1=2 Y2=0
(X, Y) =M1X2+M2X1 , M1Y2+M2Y1
M1+M2 M1+M2
2×3+2×0 , 2×0+3×2
3+2 3+2
6 , 6
5 5
(ii) यदि A और B के निर्देशांक (1, 2) तथा (2, 3) है| रेखा खंड AB पर R के निर्देशांक ज्ञात कीजिए जबकि AR:RB=4:3
ANSWER:—–
AR = 4 = m1
RB 3 m2
m1=4, m2=3
x1=1 x2=2
y1=2 y2=3
R= m2x2+m2x1 m1y2+m2y1
m1+m2 m1+m2
4×2+3×1 4×3+3×2
4+3 4+3
8+3 12+6 = 11 18
7 7 7 7
4. (2, -3) और (5, 6) को मिलाने वाला रेखा खंड को x अक्ष किस अनुपात में विभाजित करता है|
Answer:::–
(x, 0) = m1x2+m2x1 m1y2+m2y1
m1+m2 m1+m2
0= m1y2+m2y1
m1+m2
m1y2+m2y1=0
m1×6+m2×(-3)=0
6m1-3m2=0
6m1=3m2
m1 = 3 = 1
m2 6 2
m1:m2=1:2
5. (i) बिंदुओं (3, -6) और (-6, 8) को मिलाने वाले रेखा खंड को x अक्ष किस अनुपात में बांटता है?
Answer:—-
(x, 0)= m1x2+m2x1 m1y2+m2y1
m1+m2 m1+m2
0= m1y2+m2y1
m1+m2
m1y2+m2y1=0
m1×8+m2×(-6)=0
8m1-6m2=0
8m1=6m2
m1 = 6 = 3
m2 8 4
m1:m2=3:4
(ii) बिंदुओं (5, -6) और (-1, -4) को मिलाने वाली रेखा खंड को y अक्ष किस अनुपात में बांटता है? छेदन बिंदु भी ज्ञात करें-
Answer:——
(0, y) = m1x2+m2x1 m1y2+m2y1
m1+m2 m1+m2
0= m1x2+m2x1
m1+m2
m1x2+m2x1=0
m1×(-1)+m2×5=0
-m1+5m2=0
5m2=m1
m1 = 5
m2 1
m1:m2=5:1
y= 5×(-4)+1×(-6)
5+1
-20-6 = -26 = -13
6 6 3
6. मूल बिंदु से उस बिंदु की दूरी निकाले जो (5, -4) और (3, -2) बिंदुओं को मिलाने वाले रेखा खंड को 4:3 के अनुपात में अंतर्विभाजित करती है|
उत्तर:——
(x, y) = m1x2+m2x1 m1y2+m2y1
m1+m2 m1+m2
4×3+3×5 4×(-2) + 3×(-4)
4+3 4+3
12+15 -8-12 = 27 -20
7 7 7 7
मूल बिंदु से दूरी=√(0- 27 )2+(0+ 20 )2
7 7
√ 729 + 400 =√ 1129 = 1 √1129
49 49 49 7
7. (i) उन बिंदुओं के निर्देशांक ज्ञात करें जो बिंदु (4, -1) को बिंदु (-2, -3) से मिलाने वाले रेखा खंड को तीन बराबर भागों में बांटते हैं|
उत्तर::—
P के निर्देशांक द्वारा, 1:2
m1=1 m2=2
x1=4 x2=-2
y1=-1 y2=-3
(x, y)= m1x2+m2x1 m1y2+m2y1
m1+m2 m1+m2
1×(-2)+2×4 1×(-3) + 2×(-1)
1+2 1+2
-2 + 8 -3 -2 = 6 -5 =2, -5
3 3 3 3 3
Q के निर्देशांक द्वारा, 2:1
(x, y) = m1x2+m2x1 m1y2+m2y1
m1+m2 m1+m2
2×(-2) +1×4 2×(-3) +1×(-1)
2+1 2+1
-4 + 4 -6 – 1 =0, -7
3 3 3
(iii) उन बिंदुओं के निर्देशांक ज्ञात करें जो (2, -2) और (-7, 4) को मिलाने वाले रेखा खंड को समद्विभाजित करता है|
उत्तर:—–
P के निर्देशांक द्वारा 1:2
m1=1 m2=2
x1=2 x2=-7
y1=-2 y2=4
(x, y)= m1x2+m2x1 m1y2+m2y1
m1+m2 m1+m2
1×(-7) +2×2 1×4+2× (-2)
1+2 1+2
-7+4 4-4 = -3 , 0=(-1, 0)
3 3 3
Q के निर्देशांक द्वारा 2:1
m1=2 m2=1
x1=2 x2=-7
y1=-1 y2=4
(x, y) = m1x2+m2x1 m1y2+m2y1
m1+m2 m1+m2
2×(-7) +1×2 2×4+1×(-2)
2+1 2+1
-14 +2 8-2 = -12 , 6 =(-4, 2)
3 3 3 3
8. (i) बिंदु p(-6, 10) एवं Q(3, -8) को मिलाने वाले रेखा खंड को (-4, 6) किस अनुपात में बांटता है|
उत्तर:-
X=-4 y=6
x1=-6 x2=3
y1=10 y2=-8
x= m1x2+m2x1
m1+m2
-4=m1×3+m2×(-6)
m1+m2
-4m1-4m2=3m1-6m2
-4m1-3m1=-6m2+4m2
-7m1=-2m2
m1 = – 2
m2 – 7
m1:m2=2:7
(ii) वह अनुपात ज्ञात करें जिसमें बिंदु (-6, a) बिंदुओं A(-3, -1) तथा B(-8, 9) से बनने वाले रेखा खंड को बांटता है| a का मान ज्ञात करें-
उत्तर:-
x=-6 y=a
x1=-3 x2=-8
y1=-1 y2=9
x= m1x2+m2x1
m1+m2
-6= m1×(-8) + m2×(-3)
m1+m2
-6m1-6m2=-8m1-3m2
-6m1+8m1=-3m2+6m2
2m1=3m2
m1 = 3
m2 2
m1:m2=3:2
y= m1y2+m2y1
m1+m2
a= 3×9+2×(-1)
3+2
= 27-2 = 25 =5
5 5
9. बिंदुओं (2, -2) और (-2, 2) को मिलाने वाले रेखा खंड के मध्य बिंदु के निर्देशांक ज्ञात करें-
उत्तर:-
x1=2, y1=-2, x2=-2, y2=2
X= x1+x2 = 2-2 = 0 =0
2 2 2
Y= y1+y2 = -2+2 = 0 =0
2 2 2
10. बिंदुओं (6, 8) और (2, 4) को मिलाने वाले रेखा खंड के मध्य बिंदु की दूरी (1, 2) से ज्ञात करें-
उत्तर:-
x1=6, y1=8, x2=2, y2=4
X= x1+x2 = 6+2 = 8 =4
2 2 2
Y= y1+y2 = 8+4 = 12 =6
2 2 2
(4, 6) (1, 2)
Distance= √(4-1)2+(6-2)2=√(3)2+(4)2
=√9+16=√25=5
11. बिंदुओं (3, 4) और (k, 7) को मिलाने वाले रेखा खंड का मध्य बिंदु(x, y) है, जहाँ 2x+2y+2=0 तो k का मान ज्ञात करें-
उत्तर:-
x1=3, y1=4, x2=k, y2=7
X= x1+x2 = 3+k
2 2
Y= y1+y2 = 4+7
2 2
2x+2y+2=0
2× 3+k + 2× 4+7 + 2=0
2 2
3+k+4+7+2=0
k+15=0
k=-15
12. रेखा खंड AB का मध्य बिंदु (2,4) है,और A के निर्देशांक (5, 7) है तो B के निर्देशांक ज्ञात करें-
उत्तर:—–
AB=(2, 4)= X=2, Y=4
A=(5, 7)= x1=5, y1=7
B=(x, y)= x2=x, y2=y
X= x1+x2 Y= y1+y2
2 2
2= 5+x 4= 7+y
2 2
4=5+x 8=7+y
x=4-5=-1 y=8-7=1
13. किसी त्रिभुज के शीर्ष के निर्देशांक (1, 1) है और उससे गुजरने वाली भुजाओं के मध्य बिंदुओं के निर्देशांक (-2, 3) और (5, 2) है तो त्रिभुज के शेष शीर्षों के निर्देशांक ज्ञात करें-
उत्तर:—
मध्य बिंदु=(-2, 3) मध्य बिंदु=(5,2)
A=(1, 1) A(1,1)
B=(x, y) B(x, y)
-2= 1+x 5= 1+x
2 2
-4=1+x 10=1+x
x=-4-1=-5 x=10-1=9
3= 1+y 2= 1+y
2 2
6=1+y 4=1+y
y=6-1=5 y=4-1=3
14. किसी त्रिभुज की भुजाओं के मध्य बिंदुओं के निर्देशांक (1, 1) (2, -3) (3, 4) है| त्रिभुज के शीर्षों के निर्देशांक ज्ञात करें-
उत्तर:-
मध्य बिंदुओं के निर्देशांक–(3, 4),(2,-3),(1, 1)
A(x1, y1), B(x2, y2), C(x3, y3)
3= x1+x2
2
x1+x2=6 ——-(1)
4= y1+y2
2
y1+y2=8 —–(2)
2= x2+x3
2
x2+x3=4 ———-(3)
-3= y2+y3
2
y2+y3=-6 ———-(4)
1= x1+x3
2
x1+x3=2 ————(5)
1= y1+y3
2
y1+y3=2 ———-(6)
समी ० (1) +(3) +(5) को जोड़ने पर,
x1+x2+x2+x3+x1+x3=6+4+2=12
2×1+2×2+2×3=12
2(x1+x2+x3)=12
x1+x2+x3=12/2=6
x1+x2+x3=6 ————(7)
समी ० (7) – (1)
x1+x2+x3-(x1+x2)=6-6
x3=0
समी ० (7) – (3)
x1+x2+x3-(x2+x3)=6-4
x1=2
समी ० (7) – (5)
x1+x2+x3-(x1+x3)=6-2
x2=4
समी ० (2) +(4) +(6) को जोड़ने पर,
y1+y2+y2+y3+y1+y3=8-6+2
2y1+2y2+2y3=4
2(y1+y2+y3) =4
y1+y2+y3=2 ———(8)
समी ० (8) – (2)
y1+y2+y3-(y1+y2)=2-8
y3=-6
समी ० (8) – (4)
y1+y2+y3-(y2+y3) =2+6
y1=8
समी ० (8) – (4)
y1+y2+y3-(y1+y3)=2-2
y2=0
(x1, y1)=(2, 8)
(x2, y2)=(4, 0)
(x3, y3)=(0, -6)
15. किसी त्रिभुज की भुजाओं के मध्य बिंदुओं के निर्देशांक (a,b),(c,d),(e,f) है तो इसके शीर्षों के निर्देशांक ज्ञात करें-
उत्तर:——-
माना कि ABC एक त्रिभुज है| जिसमें AB BC AC के मध्य बिंदु क्रमशः (a,b) (c,d) (e,f) है|
A(x1, y1) B(x2, y2) C(x3, y3)
a= x1+x2
2
x1+x2=2a ——-(1)
c= x2+x3
2
x2+x3=2c ——-(2)
e= x1+x3
2
x1+x3=2e ———–(3)
समीकरण (1) +(2) +(3) से
x1+x2+x2+x3+x1+x3=2a+2c+2e
2×1+2×2+2×3=2(a+c+e)
2(x1+x2+x3)=a+c+e
x1+x2+x3=a+c+e ———-(4)
समीकरण (4) में से समीकरण (1) (2) (3) को घटाने पर,
x1+x2+x3=a+c+e=c+e-a
x1+x2 =2a
x3=a+c+e-2a=c+e-a
x1+x2+x3=a+c+e
x2+x3=2c
x1=a+c+e-2c=a+e-c
x1+x2+x3=a+c+e
x1 +x3=2e
x2=a+c-e
y के निर्देशांक
b= y1+y2
2
y1+y2=2b ——–(5)
d= y2+y3
2
y2+y3=2d ——–(6)
f= y1+y3
2
y1+y3=2f ———–(7)
समीकरण (5) +(6) +(7) से
y1+y2+y2+y3+y3+y1=2v+2d+2f
2y1+2y2+2y3=2(b+d+f)
y1+y2+y3=b+d+f ——(8)
समीकरण (8) में से (5) (6) (7) को क्रमशः घटाने पर
y3=b+d+d-2b=f+d-b
y1=b+d+f-2d=b+f-d
y2=b+d+f-2f=b+d-f
A, B, C= (a+e-c, b+f-d, a+c-e)
16. A=(1, 1), B(3, -1) और रेखा AB पर P एक बिंदु इस प्रकार स्थित है कि B A और P के बीच में स्थित है| एवं AP 2AB तो P के निर्देशांक ज्ञात करें-
उत्तर:-
माना कि AP रेखा के बीच में B(3,-1) बिंदु स्थित है|
दिया हुआ कि AP=2AB
B, AP का मध्य बिंदु हुआ
3= 1+x -1= 1+y
2 2
6=1+x -2=1+y
x=6-1=5 y=-2-1=-3
17. किसी समांतर चतुर्भुज के तीन लगातार शीर्षों के निर्देशांक (6, -1) (10, 6) और (13, -5) है, चौथे निर्देशांक ज्ञात करें-
उत्तर:-
माना कि ABCD एक समांतर चतुर्भुज है, D के निर्देशांक x, y माना AC और BD विकर्ण है जो एक दूसरे को समद्विभाजित करते हैं तो D(x,y) ज्ञात करना है|
E= 10+x , 6+y ——–(1)
2 2
E= 6+13 , -1-5
2 2
समीकरण (1) और (2) से
10+x = 19 6+y = -6
2 2 2 2
20+2x=38 12+2y=-12
2x=38-20=18 2y=-12-12=-24
x=18/2=9 y=-24/2=-12
18. (i) यदि बिंदुएं A(6,1) B(8,2) C(9,4) और (x,3) किसी समांतर चतुर्भुज के क्रमानुसार शीर्ष हो तो x का मान ज्ञात करें-
उत्तर:-
माना कि A, B, C, D एक समांतर चतुर्भुज है|
माना कि AC और BD एक दूसरे को E बिंदु पर प्रतिच्छेद करते हैं|
E, AC तथा BD का मध्य बिंदु है|
E= 10+x , 6+3 ——-(1)
2 2
E= 13+6 , -1-5 ——-(2)
2 2
समीकरण (1) और (2) से
10+x = 19
2 2
10+x=19
x=19-10=9
(ii) बिंदुएं (-2, -1), (1, 0) और (4, 3) समांतर चतुर्भुज के तीन लगातार शीर्ष बिंदु है तो चौथे शीर्ष बिंदु के निर्देशांक ज्ञात करें-
उत्तर:-
माना कि ABCD एक समांतर चतुर्भुज की लगातार भुजाएँ है| चौथी बिंदु D के निर्देशांक (x,y) माना
AC तथा BD विकर्ण है| इसिलिए एक दूसरे को समद्विभाजित करती है|
E मध्य बिंदु है|
E= 1+x , 0+y ——–(1)
2 2
E= -2+4 , -1+3 ——-(2)
2 2
समीकरण (1) तथा (2) से
1+x = 2 0+y = -1+3
2 2 2 2
1+x=2 0+y=-1+3
x=2-1=1 y=2
19. किसी समांतर चतुर्भुज के दो शीर्ष (3, 2) (-1, 0) है एवं विकर्णों का प्रतिच्छेदन बिंदु (2, -5) है, तो समांतर चतुर्भुज के शेष दो शीर्ष निकालिए—–
उत्तर:-
माना कि ABCD एक समांतर चतुर्भुज है| बिंदु A और B के निर्देशांक क्रमशः (3, 2) और (-1, 0) है|
C और D के निर्देशांक क्रमशः x, y तथा x2, y2 माना
यहाँ M A C तथा BD का विकर्ण है| m मध्य बिंदु है|
2= 3+x1 2=x2-1
2 2
4=3+x1 4=x2-1
x1=4-3=1 x2=4+1=5
-5= 2+y1 -5= 0+y2
2 2
-10=2+y1 -10=0+y2
y1=-10-2=-12 y2=-10
20. उस त्रिभुज की मध्यिकाओं की लंबाईयां निकाले शीर्षों के निर्देशांक (1, -1) (0, 4) (-5, 3) है|
उत्तर:-
माना कि ABC एक त्रिभुज है जिसमें
AB, BC तथा AC भुजा के मध्य
बिंदु क्रमशः F, E तथा D है|
x1= 1-5 = -4 =-2
2 2
y1= -1+3 = 2 =1
2 2
x2= -5+0 = -5
2 2
y2= 4+3 = 7
2 2
x3= 1+0 = 1
2 2
y3= -1+4 = 3
2 2
माध्यिका BD= √(0-2)2+(4-1)2=√(-2)2+(3)2=√4+9=√13
माध्यिका AE=√(1-( -5 )2 + (-1- 7 )2
2 2
√(1+ 5 )2+( -2-7 )2
2 2
√( 7 )2 + ( -9 )2
2 2
√ 49 + 81 =√ 130 = √130
4 4 4 2
माध्यिका CF=√( 1 + 5 )2+( 3 -6 )2
2 1 2
√( 1+10 )2+( -3 )2
2 2
√( 11 )2+ 9 =√ 121 + 9
2 4 4 4
√ 121+9 = √ 130
4 2
21. यदि किसी त्रिभुज के शीर्षों के निर्देशांक (-2, 3) (8, 3) और (6, 7) हो तो उस त्रिभुज के केन्द्रक के निर्देशांक लिखिये-
उत्तर:-
x= x1+x2+x3 = -2+8+6 = 12
3 3 3
Y= y1+y2+y3 = 3+3+7 = 13
3 3 3
22. किसी त्रिभुज का केंद्रक (1, 3) और उसके दो शीर्ष (-7, 6) तथा (8, 5) है| तो तीसरे शीर्ष के निर्देशांक लिखिये-
उत्तर:-
1= x-7+8 3= y+5+6
3 3
3=x+1 9=y+11
x=3-1=2 y=9-11=-2
23. त्रिभुज ABC में A=(k,2) B=(1,-k) और C=(-k,1+k) है| सिद्ध करें कि k के प्रत्येक मान के लिए त्रिभुज ABC का केन्द्रक एक ही है| और नियत केन्द्रक के निर्देशांक भी ज्ञात करें-
Answer:—
x= k+1-k = 1
3 3
y= 2-k+1+k = 2-k+1+k = 3 =1
3 3 3
24. यदि त्रिभुज ABC के शीर्षों के निर्देशांक (3-X,Y-2), (4,7) और (-4+4X,2Y+4) है और इसका केन्द्रक मूल बिंदु है तो X और Y के मान निकाले-
उत्तर:—
3-x+4-4+4x =0 y-2+7+2y+4 =0
3 3
3x+3=0 3y+9=0
3x=-3 3y=-9
x=-1 y=-3
25. यदि किसी त्रिभुज के दो शीर्ष के निर्देशांक (-3, 1) और (0, -2) हो और त्रिभुज का केंद्र मूल बिंदु पर स्थित हो तो तीसरे शीर्ष का निर्देशांक ज्ञात करें-
उत्तर:-
0= -3+0+x 0= 1-2+y
3 3
-3+x=0 -1+y=0
x=3 y=1
26. उस त्रिभुज के अंत: केंद्र के निर्देशांक प्राप्त करें कीजिये शीर्षों के निर्देशांक क्रमशः (-1, 12) (-1, 0) (4, 0) है|
उत्तर:-
c=√(-1-(-1)2+(0-12)2=√(0)2+(12)2=12
a=√(-1-4)2+(0-0)2=√(-5)2=√25=5
b=√(1-(4)2+(12-0)2=√(5)2+(12)2
√25+144=√159=13
G= (ax1+bx2+cx3, ay1+by2+cy3)
a+b+c a+b+c
5×(-1) +13×(-1)+12×4 = 48-18
5+13+12 30
30 =1
30
5×12+13×0+12×0 = 60 =2
5+13+12 30
27. उस त्रिभुज के अंत: केन्द्र के निर्देशांक ज्ञात करें जिसके शीर्षों के निर्देशांक क्रमशः (0, 0) ( 7 , 0)
3
( 5 , 4 ) है|
9 3
Answer:—–
AB=C, BC=a, AC=b
a=√( 7 – 5 )2+(0- 4 )2
3 9 3
√( 21-5 )2+ 16
9 9
√( 16 )2+ 16
9 9
√ 256 + 16
81 9
√ 256+144 =√ 440 = 20
81 81 9
b=√(0- 5 )2+ (0- 4 )2
9 3
=√ 25 + 16
81 9
√ 25+144
81
√ 169
81
= 13
9
C=√(0- 7 )2+(0-0)2
3
=√ 49 +0
9
= 7
3
G= ax1+bx2+cx3 , ay1+by3+cy3
a+b+c a+b+c
13 × 7 + 7 × 5
9 3 3 9 + 20×0
20 + 13 + 7 9
9 9 3
0+ 91 + 35
27 27
20 + 13 +21
9
91+35
27
54
9
126 × 9
27 54
7
9
20 ×0+ 13 ×0+ 7 × 4
9 9 3 3
20 + 13 + 7
9 9 3
0+0+ 28/9
20+13 +21
9
28 × 9
9 54
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