विविध प्रश्नावली
1. बिंदुएं (a,b) और (-a,-b) के बीच की दूरी निकाले-
उत्तर:-
x1=a, y1=b, x2=-9, y2=-b
Distance=√(x1-x2)2+(y1-y2)2
√(a-(-a)2+(b-(-b)2
√(a+a)2+(b+b)2
√(2a)2+(2b)2
√4a2+4b2
√4(a2+b2)
2√a2+b2
2. जांचे कि बिंदुएं (2, 3) (-2, -11) और (1, 5) संरेख है| कि नहीं|
उत्तर:-
x1=2, y1=3, x2=-2, y2=-11, x3=1, y3=5
क्षेत्रफल=1/2[x1(y2-y3)+x2(y3-y1)+x3(y1-y2]
1/2[2(-11-5)-2(5-3)+1(3-(-11)]
1/2[2×(-16)-2×2+1×14]
1/2[-32-4+14]= 1/2×(-22)=-11 Not
3. (i) सिद्ध करें कि बिंदुएं (6, 4) (7, 2) और (5, -2) एक समद्विबाहु त्रिभुज के शीर्ष है| इसके आधार की लंबाई ज्ञात करें-
उत्तर:-A(6,4) B(7,2) C(5, -2)
AB=√(6-7)2+(4-(-2)2=√(-1)2+(6)2
√1+36=√37
AC=√(6-5)2+(4-(-21)2=√(1)2+(6)2
√1+36=√37
BC=√(7-5)2+(-2+2)2=√(2)2+(0)2
√4=2
AB=BC
(ii) क्या बिंदुएं A(3,2) B(-2,-3) और (2, 3) किसी त्रिभुज के तीन शीर्ष है? यदि हां तो त्रिभुज का प्रकार बताएं|
Answer:—-
A(3,2) B(-2,-3) और (2, 3)
AB=√(3-(-2)2+(2-(-3)2=√(5)2+(5)2
√25+25=√50=5√2
BC=√(-2-2)2+(-3-3)2=√(-4)2+(-6)2
√16+36=√52=2√13
AC=√(3-2)2+(2-3)2=(1)2+(-1)2
√1+1=√2 विषमबाहु
4. किसी चतुर्भुज के शीर्ष क्रम से (4, 5) (7, 6) (4, 3) (1, 2) है| चतुर्भुज का सटीक प्रकार बताएं|
उत्तर:—-
(4, 5) (7, 6) (4, 3) (1, 2)
AB=√(4-7)2+(5-6)2=√(-3)2+(-1)2
√9+1=√10
BC=√(7-4)2+(6-3)2=√(3)2+(3)2
√9+9=√18=3√2
CD=√(4-1)2+(3-2)2=√(3)2+(1)2
√9+1=√10
DA=√(1-4)2+(2-5)2=√(-3)2+(-3)2
√9+9=√18=3√2
ABCD एक समांतर चतुर्भुज
AC=√(4-4)2+(5-3)2=√(0)2+(2)2
√0+4=√4=2
BD=√(7-1)2+(6-2)2=√(6)2+(4)2
√36+16=√52
5. यदि बिंदुओं (-3, 4) और (3, 6) से बिंदु (x,y) की दूरियाँ समान हो तो x और y में क्या संबंध है|
उत्तर:-
A(-3, 4) O(X, Y) B(3, 6)
OA=AB
(OA)2=(OB)2
(x+3)2+(y-4)2=(x-3)2+(y-6)2
x2+6x+9+y2-8y+16=x2-6x+9+y2-12y+36
6x+6x+12y-8y=36-16
12x+4y=20
3x+4y=5
6.(i) किसी वृत्त का व्यास AB है, जिसका केन्द्र है (2, -3) है और B निर्देशांक (1, 4) है तो A के निर्देशांक ज्ञात करें-
उत्तर:——
A(X, Y) O(2, -3) B(1, 4)
x+1 =2 y+4 =-3
2 2
x+1=4 y+4=-6
x=4-1=3 y=-6-4=-10
(ii) यदि बिंदुएं A(4, 3) और B(X, 5) एक वृत्त पर स्थित है जिसका केन्द्र O(2,3) है तो X का मान ज्ञात करें-
उत्तर:—–
A(4, 3) O(2,3) B(X, 5)
OA=OB
(OA)2=(OB)2
(4-2)2+(3-3)2=(2-x)2+(3-5)2
(2)2+(0)2=4-4x+x2+(-2)2
4+0=4-4x+x2+4
x2-4x+4=0
x2-2x-2x+4=0
x(x-2)-2(x-2)=0
(x-2)(x-2)
x-2=0 x-2=0
x=2 x=2
7. यदि किसी समांतर चतुर्भुज के शीर्ष क्रमानुसार (1, 2) (4, y) (x, 6) (3, 5) हो तो x और y के मान ज्ञात करें-
उत्तर:-
माना कि ABCD एक समांतर चतुर्भुज है जिसके निर्देशांक क्रमशः (1, 2)(4,y) (x,6) (3,5) है|
BD और AC विकर्ण का मध्य बिंदु 0 है
x+1 = 7 5+y = 2+6
2 2 2 2
x+1=7 5+y=2+6
x=7-1=6 y=8-5=3
8. A(-2, -2) और B(2, -4) को मिलाने वाले रेखाखंड पर P एक बिंदु है ताकि
AP= 3 AB तो P के निर्देशांक ज्ञात करें-
7
उत्तर:-
AP= 3 AB
7
BP=AB-AP=AB- 3 AB
7
4AB-3AB = 4AB
7 7
3 AB
AP:BP= 7 =3:4
4 AB
7
A(-2, -2) और B(2, -4)
m1=3, m2=4
(x, y)= m1x2+m2x1 , m1y2+m2y1
m1+m2 m1+m2
3×2+4×(-2) , 3×(-4)+4×(-2)
3+4 3+4
6-8 , -12-8
7 7
-2 , -20
7 7
9. बिंदुएं (-2, 2) और (2, 8) को मिलाने वाले रेखाखंड को चार समान भागों में बांटने वाले बिंदुओं के निर्देशांक ज्ञात करें—–
उत्तर:—-
माना कि AB (-2, 2) और (2, 8) रेखाखंड को P, Q तथा R बिंदुएं समान अनुपात में बांटती है|
P के निर्देशांक ज्ञात करने के लिए
m1=1, m2=3
P=( 1×2+3×(-2) , 1×8+3×2 )
1+3 1+3
2-6 , 8+6
4 4
-4 , 14 =(-1, 7 )
4 4 2
Q के निर्देशांक ज्ञात करने के लिए
m1=2, m2=2
Q= 2×2+2×(-2) , 2×8+2×2
2+2 2+2
4-4 , 16+4 =(0, 5)
4 4
R के निर्देशांक ज्ञात करने के लिए
m1=3 , m2=1
R= 3×(2) +1×(-2) , 3×8+1×2
3+1 3+1
6-2 , 24+2
4 4
4 , 26 = (1, 13 )
4 4 2
10. किसी वर्ग के दो सम्मुख शीर्षों के निर्देशांक (-1, 2) और (3, 2) | शेष शीर्षों के निर्देशांक ज्ञात करें| और वर्ग का क्षेत्रफल भी ज्ञात करें-
उत्तर:—
माना कि ABCD एक वर्ग है| बिंदु A और C के निर्देशांक क्रमशः (-1, 2) और (3, 2) है|
M मध्य बिंदु है|
M के निर्देशांक =( -1+3 , 2+2 )=( 2 , 4 )
2 2 2 2
(1, 2)
MA=MB
(MA)2=(MB)2
(1-(-1)2+(2-2)2=(1-x)2+(2-y)2
(1+1)2+(0)2=1-2x+x2+4-4y+y2
(2)2+0=5-2x-4y+x2+y2
4=5-2x-4y+x2+y2
x2+y2-2x-4y+5-4=0
x2+y2-2x-4y+1=0 ——-(1)
AB=BC
(AB)2=(BC)2
(-1-x)2+(2-y)2=(x-3)2+(y-2)2
1+2x+x2+4-4y+y2=x2-6x+9+y2-4y+4
2x+6x-4y+4y=13-5
8x=8; x=1
Put the value of x=1 in equation (1)
x2+y2-2x-4y+1=0
(1)2+y2-2×1-4y+1=0
1+y2-2-4y+1=0
y2-4y=0
y(y-4)=0
y=0 y-4=0; y=4
वर्ग की भुजा AB =√(-1-1)2+(2-4)2
√(-2)2+(-2)2=√4+4=√8=2√2
वर्ग का क्षेत्रफल= 2√2×2√2=4×2=8
11. त्रिभुज के क्षेत्रफल के प्रयोग से x और y में संबंध बताएं| यदि (x,y) (1,2) और (7,0) एक रैखिक है|
उत्तर:-
माना कि ABC एक त्रिभुज है|
जिसके निर्देशांक (x,y)(1,2) और (7,0) है|
त्रिभुज का क्षेत्रफल=
1/2[x1(y2-y3)+x2(y3-y1)+x3(y1-y2)]=0
1/2[x(2-0)+1(0-y)+7(y-2)]=0
[क्योंकि बिंदु एक रैखिक है|]
x×2+0-y+7y-14=0
2x-y+7y-14=0
2x+6y=14
x+3y=7
12. यदि A(2,-2) और B(3,7) दो बिंदु हो तो रेखा खंड AB को (X,Y) बिंदु किस अनुपात में बांटेगा यदि 2X+Y-4=0 हो?
उत्तर:-
माना कि A(2,-2) और B(3,7) एक रेखा है जिसे P(X,Y) बिंदु 1:M2 के अनुपात में बांटती है|
x= 1×3+2×m2 , y= 1×7+m2×(-2)
1+m2 1+m2
3+2m2 , 7-2m2
1+m2 1+m2
2x+y-4=0
2( 3+2m2 ) + 7-2m2 – 4=0
1+m2 1+m2
6+4m2+7-2m2 -4 -4m2 =0
1+m2
-2m2+9=0
2m2=9
m2=9/2
13. चतुर्भुज ABCD के शीर्ष क्रमशः A(1, -2) B(5, 0) C(4, 2) D(1, 3) सिद्ध करें कि इसकी भुजाओं के मध्य बिंदुओं को शीर्ष लेकर बना चतुर्भुज एक सम चतुर्भुज होगा|
उत्तर:—-
P के निर्देशांक=
( 1+5 , -2+0 )= 6 , -2 =(3, -1)
2 2 2 2
Q के निर्देशांक=
( 5+4 , 0+2 ) = 9 , 2 = ( 9 , -1)
2 2 2 2 2
R के निर्देशांक=
4+1 , 2+3 = 5 , 5
2 2 2 2
S के निर्देशांक=
1+1 , 3-2 = 2 , 1 = 1, 1
2 2 2 2 2
PQ= √( 9 -3)2+( 1-(-1)2
2
√( 9-6 )2+(2)2
2
√( 3 )2 + 4 = √ 9 + 4
2 4
√ 9+16 =√ 25 = 5
4 4 2
QR= √( 9 , 5 )2+ ( 1 -5 )2
2 2 2
√( 9-5 )2+ ( 2-5 ) 2
2 2
√( 4 )2 + ( -3 )2
2 2
√4 + 9 =√ 16+9 = √ 25 = 5
4 4 4 2
RS=√( 5 -1)2 + ( 5 – 1 )2
2 2 2
√( 5 – 2 )2+ ( 5-1 )2
2 2
√ ( 3 )2 + ( 4 )2
2 2
√ 9 + 4 = √ 9 + 16 =√ 25 = 5
4 4 4 2
PS= √ (3-1)2+(-1- 1 )2=√(2)2+( -2-1 )2
2 2
√(2)2+ ( -2-1 )2= √4 + 9
2 4
√ 16+9 = √ 25 = 5
4 4 2
PQ=QR=RS=PS सम चतुर्भुज
14. किसी चतुर्भुज के शीर्ष क्रमानुसार (3, 0) (4, 5) (-1, 4) (-2, -1) है सिद्ध करें कि यह एक सम चतुर्भुज है| सम चतुर्भुज का क्षेत्रफल ज्ञात करें-
उत्तर:-
माना कि ABCD एक चतुर्भुज है जिसके शीर्ष बिंदु के निर्देशांक क्रमशः है|
AB=√(3-4)2+(0-5)2=√(-1)2+(-5)2
√1+25=√26
BC=√(4-(-1)2+(5-4)2=√(4+1)2+(1)2
√(5)2+(1)2=√25+1=√26
CD=√(-1-(-2)2+(4-(-1)2=√(-1+2)2+(4+1)2
√(1)2+(5)2=√1+25=√26
AD= √(3-(-2)2+(0-(-1)2=√(3+2)2+(1)2
√(5)2+(1)2=√25+1=√26
AB=BC=CD=AD
ABCD सम चतुर्भुज
AC=√(3-(-1)2+(0-4)2=√(3+1)2+(-4)2
√(4)2+(-4)2=√16+16=√32=4√2
BD=√(4-(-2)2+(5-(-1)2=√(4+2)2+(5+1)2
√(6)2+(6)2=√36+36=√72=6√2
सम चतुर्भुज का क्षेत्रफल= 1/2×AC×BC
1 × 4√2 × 6√2
2
1 × 48= 24
2
15. y अक्ष पर का बिंदु जिसकी बिंदु (4, 2) से दूरी 5 है, निम्नलिखित में कौन है?
उत्तर:—–
y अक्ष पर x=0
(0,y) (4, 2)
(दूरी)2=(x2-x1)2+(y2-y1)2
(5)2=(4-0)2+(2-y)2
25=16+4-4y+y2
y2-4y-5=0
y2+y-5y-5=0
y(y+1)-5(y+1)=0
(y+1)(y-5)=0
y+1=0 y-5=0
y=-1 y=5
(B) (0, -1)
16. ∆ABC में शीर्षों ABC के निर्देशांक क्रमशः (-2, -1)(3,-2)(-1,2) है तो माध्यिका AD की लंबाई है|
उत्तर:—–
A(-2, -1) B(3, -2) C(-1, 2)
मध्य बिंदु D= B+C = 3-1 , -2+2 =(1,0)
2 2 2
A(-2,-1) D(1, 0)
AD=√(-2-1)2+(-1-0)2
√(-3)2+1=√9+1=√10
17. यदि बिंदु (k,-4) से गुजरने वाली कोई रेखा x अक्ष और y अक्ष को क्रमशः (1, 0) और (0, 2) पर काटे तो k का मान है|
उत्तर:——
x + y =1
1 2
2x+y =1
2
2x+y=2
2k-4=2 [x=k, y=-4]
2k=4+2=6
k=6/2=3
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