प्रश्नावली-1A
1. बिंदु (15, 8) की दूरी मूल बिंदु से ज्ञात करें-
उत्तर:- √x2+y2=
√(15)2+(8)2=√225+64=√289=17
2. यदि O(0,0) मूल बिंदु हो और P के निर्देशांक (-3, 4) हों तो OP ज्ञात करें-
उत्तर=√x2+y2=√(-3)2+(4)2=√9+16=√25=5
3. सिद्ध कीजिये कि बिंदु (acosA, asinA) की दूरी मूल बिंदु से सर्वदा एक ही रहती है, चाहे A का मान कुछ भी हो|
उत्तर:-
x=acosA, y=asinA
OP=√(acosA)2+(asinA)2
=√a2cos2A+a2sin2A=√a2(sin2A+cos2A)
=√a2=a
4. (i) बिंदुओं (-1, 3) तथा (-5, 7) के बीच की दूरी ज्ञात करें-
उत्तर:-
√(x1-x2)2+(y1-y2)2=√(-1-(-5)2+(3-7)2
√(-1+5)+(-4)2=√(4)2+(-4)2=√16+16
=√32=4√2
(ii) बिंदुओं A(5, -8) और B(-7, -3) के बीच की दूरी ज्ञात करें-
उत्तर:- √(x1-x2)2+(y1-y2)2
=√(5+7)2+(-8+3)2
=√(12)2+(-5)2=√144+25=√169=13
5. (i) सिद्ध कीजिये कि बिंदुओं (acosA, 0) तथा (0, asinA) की दूरी सदैव a इकाइयाँ होती है, चाहे A का मान ज्ञात करें-
उत्तर:-
√(x1-x2)2+(y1-y2)2
=√(acosA-0)2+(0-asinA)2
=√a2cos2A+a2sin2A
=√a2(cos2A+sin2A) =√a2=a
(ii) यदि बिंदुओं A, B, C और D के निर्देशांक क्रमशः (2, -2), (8, 4), (5, 7) और (-1, 1) हो तो सिद्ध करें कि
(A)AB=CD
AB=√(2-8)2+(-2-4)2
=√(-6)2+(-6)2
=√36+36=√72=6√2
CD=√(5-(-1)2+(7-1)2
=√(5+1)2+(6)2
=√(6)2+(6)2=√36+36=√72=6√2
(B)AB=CD
AD=√(2-(-1)2+(-2-1)2
=√(3)2+(-3)2=√9+9=√18=3√2
BC=√(8-5)2+(4-7)2
√(3)2+(-3)2=√9+9=√18=3√2
(C)AD=BC
AC=√(2-5)2+(-2-7)2=√(-3)2+(-9)2
=√9+81=√90=3√10
BD=√(8-(-1)2+(4-1)2
=√(8+1)2+(3)2=√(9)2+(3)2=√81+9
=√90=3√10
6. (i) यदि बिंदुओं (a, 5) और (3, 3) के बीच की दूरी 8 इकाइयाँ हो तो सिद्ध करें
a=3+-2√15
Ans.
AB=√(a-3)2+(5-3)2
8=√(a-3)2+(2)2
Squaring on both sides
64=(a-3)2+4
64-4=(a-3)2
60=(a-3)2
√60=a-3
+-2√15=a-3 =a=3+-2√15
(ii) यदि P=(7, 5), Q=(10m+3) और PQ=5 इकाइयाँ हो तो सिद्ध करें कि m=-2 अथवा 6
उत्तर:-
P(7, 5)=x, y
Q=(10, m+3)
PQ=√(x1-x2)+(y1-y2)2
5=√(7-10)2+(5-(m+3)2
Squaring on both sides
25=(-3)2+(5-(m+3)2
25=9+(5-m-3)2
25-9=(2-m)2
16=(2-m)2
√16=2-m
+-4=2-m
-4-2=-m 4-2=-m
-m=-6 -m=2
m=6 m=-2
(iii) यदि M और N के निर्देशांक क्रमशः (P-3,11) और (6,3) हो तो सिद्ध करें कि P=24 अथवा -6 जबकि MN=17 इकाइयाँ
Answer:-
MN=√(x1-x2)2+(y1-y2)2
17=√(P-3-6)2+(11-3)2
17=√(P-9)2+(8)2
Squaring on both sides
289=(P-9)2+64
289-64=(P-9)2
225=(P-9)2
√225=(P-9)2
+-15=P-9
P=15+9=25 P=-15+9=-6
7. सिद्ध करें कि बिंदुओं (-5, 2) और (10, -3) से बिंदु (5, 7) की दूरियाँ बराबर है|
उत्तर:-
A(-5, 2) B(10, -3) C(5, 7)
AC=√(-5-5)2+(2-7)2
=√(-10)2+(-5)2
=√100+25=√125
BC=√(10-5)2+(-3-7)2
=√(5)2+(-10)2
=√25+100=√125
8. यदि A और B बिंदुओं के निर्देशांक क्रमशः (asinA, -bcosA) और (-acosA, bsinA) हो तो सिद्ध करें कि OA2+OB2=a2+b2 जहाँ मूल बिंदु है|
उत्तर:-
OA=√(0-asinA)2+(0-(-bcosA)2
OA=√a2sin2A+b2cos2A
Squaring on both sides
OA2=a2sin2A+b2cos2A ——(1)
OB=√(0-(-acosA)2+(0-bsinA)2
OB=√a2cos2A+b2sin2A
Squaring on both sides
OB2=a2cos2A+b2sin2A ——-(2)
Equation (1)+ (2)
OA2+OB2=a2sin2Ab2cos2A+a2cos2A+b2sin2A
=sin2A(a2+b2)+cos2A(a2+b2)
=a2+b2(sin2A+cos2A)
=a2+b2
OA2+OB2=a2+b2 proved
9. (i) यदि (x, y) की दूरियाँ दो बिंदुओं (1, 2) और (-3, 4) से बराबर हो तो सिद्ध करें कि
2x-y+5=0
Ans.
√(x-)2+(y-2)2=√(x+3)2+(y-4)2
Squaring on both sides
(x-1)2+(y-2)2=(x+3)2+(y-4)2
x2-2x+1+y2-4y+4=x2+6x+9+y2-8y+16
-2x-4y+5=6x-8y+25
6x-8y+25+2x+4y-5=0
8x-4y+20=0
2x-y+5=0
(ii) x और y के बीच एक संबंध स्थापित करें ताकि बिंदु (x, y) बिंदुओं (7, 1) और (3, 5) से समदूरस्थ हो|
उत्तर:-
√(x-7)2+(y-1)2=√(x-3)2+(y-5)2
Squaring on both sides
(x-7)2+(y-1)2=(x-3)2+(y-5)2
x2-14x+49+y2-2y+1=x2-6x+9+y2-10y+25
-14x+49-2y+1=-6x+9-10y+25
-14x+49-2y+1+6x-9+10y-25=0
-8x+8y+16=0
-x+y+2=0
2=x-y
10. (i) यदि A=(2, -3) और रेखा खंड AB की लंबाई=10 इकाइयाँ तथा B का भुज=10 तो दिखाइए कि B की कोटि B अथवा -9 होगी|
उत्तर:-
AB=√(2-10)2+(-3-P)2
10=√(-8)2+(-3-P)2
Squaring on both sides
100=64+(-3-P)2
100-64=(-3-P)2
36=(-3-P)2
√36=-3-P
+-6=-3-P
6+3=-P -6+3=-P
9=-P -3=-P
P=-9 P=3
(ii) यदि बिंदु (x, y) की दूरी (-3, 0) , (3,0) में प्रत्येक से 4 इकाइयों के बराबर हो तो दिखाइए कि x=0 तथा y= +-√7
Answer:—
Distance=√(x-(-3)2+(y-0)2
4=√(x+3)2+y2
Squaring on both sides
16=(x+3)2+y2
(x+3)2+y2-16=0 ——-(1)
Distance=√(x-3)2+(y-0)2
4=√(x-3)2+(y)2
Squaring on both sides
16=(x-3)2+y2
(x-3)2+(y2)-16=0 ———(2)
From eq (1) &(2)
(x+3)2+y2-16=(x-3)2+(y)2-16
x2+6x+9+y2-16=x2-6x+9+y2-16
6x+6x=0
12x=0
x=0
(iii) दिखाइए कि a=5 अथवा 1 जिससे कि बिंदुओं (a,2) और (3,4) के बीच की दूरी √8 इकाइयाँ है|
उत्तर:-
AB=√(a-3)2+(2-4)2
√8=√(a-3)2+(2-4)2
Squaring on both sides
8=(a-3)2+4
8-4=(a-3)2
4=(a-3)2
√4=a-3
+-2=a-3
2=a-3 -2=a-3
2+3=a -2+3=a
a=5 a=1
(iv) बिंदु (0, 1) की दूरी बिंदुओं P(x,6) और R(5,-3) से समान है तो x का मान बताओं|
Answer:—-
QP=√(x1-x2)2+(y1-y2)2
=√(0-x)2+(1-6)2
=√x2+(-5)2=√x2+25 ——(1)
QR=√(0-5)2+(1-(-3)2
√25+(4)2=√25+16=√41 —-(2)
From eq (1) &(2)
√x2+25=√41
Squaring on both sides
x2+25=41
x2=41-25=16
x=√16=+-4
11. (i) x अक्ष पर स्थित उस बिंदु के निर्देशांक ज्ञात करें जो बिंदुओं (-2, 5) और (2, -3) से समदूरस्थ है|
उत्तर:-
(x, 0) और (-2, 5) के बीच की दूरी=
√(x-(-2)2+(0-5)2
(x, 0) और (2, -3) के बीच की दूरी=
√(x-2)2+(0+3)2
√(x-(-2)2+(0-5)2=√(x-2)2+(0+3)2
√(x+2)2+25=√(x-2)2+9
Squaring on both sides
(x+2)2+25=(x-2)2+9
x2+4x+4+25=x2-4x+4+9
4x+4x=9-25
8x=-16
x=-16/8=-2
(ii) y अक्ष पर स्थित बिंदु के निर्देशांक ज्ञात करें जो निम्नलिखित से समदूरस्थ हो|
(a) (-5, -2) and (3, 2)
(b) (6, 5) and (-4, 3)
Answer:——
(a) (0, y) और (-5, -2) के बीीच की दूरी=
√(0-(-5)2+(y-(-2)2
(0,y) और (3, 2) के बीच की दूरी=
√(0-3)2+(y-2)2
√(0+5)2+(y+2)2=√(-3)2+(y-2)2
Squaring on both sides
(5)2+(y+2)2=(-3)2+(y-2)2
25+y2+4y+4=9+y2-4y+4
4y+29=-4y+13
4y+4y=13-29
8y=-16
y=-2
(B) (0, y) और (6, 5) के बीच की दूरी=
√(0-6)2+(y-5)2
(0,y) और (-4, 3) के बीच की दूरी=
√(0-(-4)2+(y-3)2
√(0-6)2+(y-5)2=√(0-(-4)2+(y-3)2
Squaring on both sides
(-6)2+(y-5)=(4)2+(y-3)2
36+y2-10y+25=16+y2-6y+9
61-10y=25-6y
-10y+6y=25-61
-4y=-36
y=-36/-4=9
12. (i) सिद्ध करें कि तीन क्रमागत बिंदुएं (2, 1), (5, -1) और (8, -3) संरेख है|
उत्तर:-
P (2, 1), Q(5, 1) और R (8, -3)
PQ=√(2-5)2+(1-1)2=√(-3)2+(2)2
√9+4=√13
QR=(5-8)2+(-1+3)2=√(-3)2+(2)2
√9+5=√13
PR=√(2-8)2+(1+3)2=√(-6)2+(4)2
√36+16=√52=2√13
PQ+QR=√13+√13=2√13=PR proved
(ii) सिद्ध करें कि तीन क्रमागत बिंदुएं (-3, 16), (1, 4) और (3, -2) एक रैखिक है|
उत्तर:-
P(-3, 16) Q(1, 4) R(3, -2)
PQ=√(-3-1)2+(16-4)2=√(-4)2+(12)2
√16+144=√160=4√10
QR=√(1-3)2+(4-(-2)2=√(-2)2+(6)2
√4+36=√40=2√10
PR=√(-3-3)2+(16-(-2)2=√(-6)2+(18)2
√36+324=√360=6√10
PQ+QR=4√10+2√10=6√10=PR proved
(iii) दिखाइए कि तीन क्रमागत बिंदुएं (-5, -4), (1, 2) और (3, 4) संरेख है|
उत्तर:-
P(-5, -4) Q(1, 2) R(3, 4)
PQ=√(-5-1)2+(-4-2)2=√(-6)2+(-6)2
√36+36=√72=6√2
QR=√(1-3)2+(2-4)2=√(-2)2+(-2)2
√4+4=√8=2√2
PR=√(-5-3)2+(-4-4)2=√(-8)2+(-8)2
√64+64=√128=8√2
PQ+QR=6√2+2√2=8√2=PR proved
13. सिद्ध करें कि उस त्रिभुज की परिमिति 12 इकाइयाँ है, जिसके शीर्ष के निर्देशांक (3, 4) (0, 4) और (3, 0) है| साथ ही, यह भी सिद्ध करें कि त्रिभुज की कोई दो भुजाएँ मिलकर तीसरी भुजा से बड़ी होती है|
उत्तर:-
A(3, 4) B(0, 4) C(3, 0)
AB=√(3-0)2+(4-4)2=√(3)2=√9=3
BC=√(0-3)2+(4-0)2=√(-3)2+(4)2=√9+16
=√25=5
AC=√(3-3)2+(4-0)2=√(4)2=√16=4
Perimeter of triangle=AB+BC+AC=3+5+4=12
14. सिद्ध करें कि बिन्दुएं (0, 2) (3, 1) (1, -1) एक समद्विबाहु त्रिभुज के शीर्ष है| इसके आधार की लंबाई प्राप्त करें——
उत्तर:—-
AB=√(0-3)2+(2-1)2=(-3)2+(1)2
√9+1=√10
BC=√(3-1)2+(1-(-1)2=√(2)2+(2)2
√4+4=2√2
AC=√(0-1)2+(2-(-1)2=√(-1)2+(3)2
√1+9=√10
AB=BC समद्विबाहु त्रिभुज के शीर्ष है
15. सिद्ध करें कि बिंदुएं (2a, 4a) (2a, 6a) और (2a+√3, 5a) एक समबाहु त्रिभुज के शीर्ष है| जिसके प्रत्येक भुजा की लंबाई 2a इकाइयाँ है|
उत्तर:-
A(2a, 4a) B(2a, 6a) C(2a+√3, 5a)
AB=√(2a-2a)2+(4a-6a)2=√4a2=2a
BC=√(2a-2a-√3a)2+(6a-5a)2
=√3a2+a2=√4a2=2a
AC=√(2a-2a-√3a)2+(4a-5a)2
√3a2+(-a)2=√4a2=2a
16. सिद्ध करें कि (1, √3) (1, 3√3) और (4, 2√3) एक समबाहु त्रिभुज के शीर्ष है|
उत्तर:-
(1, √3) (1, 3√3) और (4, 2√3)
AB=√(1-1)2+(√3-3√3)2=√(-2√3)2=12
BC=(1-4)2+(3√3-2√3)2=√(-3)2+(√3)2
√9+3=√12
AC=√(1-4)2+(√3-2√3)2=√(-3)2+(-√3)2
√9+3=√12
17. सिद्ध करें कि (3, 4) (8, -6) और (13, 9) एक समकोण समद्विबाहु त्रिभुज के शीर्ष है| यह भी दिखाइए कि कर्ण की लंबाई 5√10 इकाइयाँ है|
उत्तर:-
(3, 4) (8, -6) और (13, 9)
AB=√(3-8)2+(4+6)2=√(-5)2+(10)2
√25+100=√125
BC=√(8-13)2+(-6-9)2=√(-5)2+(-15)2
√25+225=√250=5√10
AC=√(3-13)2+(4-9)2=√(-10)2+(-5)2
√100+25=√125
18. सिद्ध कीजिये कि (-2, 3) (8, 3) और (6, 7) मिलकर एक समकोण त्रिभुज बनाते हैं| क्या यह त्रिभुज समद्विबाहु भी है?
उत्तर:-
AB=√(-2-8)2+(3-3)2=√(-10)2=10
BC=√(8-6)2+(3-7)2=√(2)2+(-4)2
√4+16=√20=2√5
AC=√(-2-6)2-(3-7)2=√(-8)2+(-4)2
√64+16=√80=4√5
समकोण त्रिभुज:—–
AB2=BC2+AC2
(10)2=(2√5)2+(4√5)2
100=20+80
100=100
19. सिद्ध करें कि बिंदुओं (2, 4) (6, 9) (8, 10) (4, 5) एक समांतर चतुर्भुज के शीर्ष है| यह भी दिखाइए कि यह एक आयत नहीं हो सकता है|
उत्तर:-
AB=√(2-6)2+(4-9)2=√(-4)2+(-5)2
√16+25=√41
BC=√(6-8)2+(-10)2=√(-2)2+(-1)2
√4+1=√5
AD=√(4-2)2+(5-4)=√(2)2+(1)2
√4+1=√5
DC=√(4-8)2+(5-10)2=√(-4)2+(-5)2
√16+25=√41
AC=√(2-8)2+(4-10)2=√(-6)2+(-6)2
√36+36=√72
BD=√(4-6)2+(5-9)2=√(-2)2+(-4)2
√4+16=√20
20. सिद्ध करें कि बिंदुएं (3, 2), (6, 3) (7, 6) (4, 5) एक सम चतुर्भुज के शीर्ष क्या यह एक वर्ग हो सकता है|
उत्तर:-
AB=√(3-6)2+(2-3)2=√(-3)+(-1)=√9+1
√10
BC=√(6-7)2+(3-6)2=√(-1)2+(-3)2
√1+9=√10
AD=√(3-4)2+(-3)2=√1+9=√10
DC=√(4-7)2+(5-6)2=√(-3)2+(-1)2
√9+1=√10
AC=√(3-7)2+(2-6)2=√(-4)2+(-4)2
√16+16=√32
BD=√(4-6)2-(5-3)2=√(-2)2+(2)2
√4+4=√8
21. सिद्ध करें कि बिंदुएं (2, -2) (8, 4) (5, 7) (1, -1) एक समांतर चतुर्भुज के शीर्ष है| क्या यह एक आयात हो सकता है|
उत्तर:——
AB=√(2-8)2+(-2-4)2=√(-6)2+(-6)2
√36+36=√72=6√2
BC=√(8-5)2+(4-7)2=√(3)2+(-3)2
√9+9=√18=3√2
CD=√(5-(-1)2+(7-1)2=√(5+1)2+(6)2
√(6)2+(6)2=√36+36=√72=6√2
AD=√(-1-2)2+(1-(-2)2=√(-3)2+(3)2
√9+9=√18=3√2
AC=√(2-5)2+(-2-7)2=√(-3)2+(-9)2
√9+81=√90=3√10
BD=√(-1-8)2+(1-4)2=√(-9)2+(-3)2
√81+9=√90=3√10
22. सिद्ध करें कि बिंदुएं (-3, 0) (-1, 2) (1, 0) (-1, 2) एक वर्ग के शीर्ष है| इसकी परिमिति भी ज्ञात करें-
उत्तर:—–
AB=√(-3+1)2+(0-2)2=√(-2)2+(-2)2
√4+4=√8=2√2
BC=√(-1-1)2+(2-0)2=√(-2)2+(2)2
√4+4=√8=2√2
CD=√(1-(-1)2+(0-(-2)2=√(1+1)2+(0+2)2
√4+4=√8=2√2
AD=√(-3-(-1)2+(0-(-2)2=√(-3+1)2+(0+2)2
√(-2)2+(2)2=√4+4=√8=2√2
AC=√(-3-1)2+(0-0)2=√(-4)2+0=√16=4
BD=√(-1-(-1)2+(2-(-2)2=√(-1+1)2+(2+2)2
√(4)2=√16=4
परिमिति=4×2√2=8√2
(ii) दिखाएं कि बिंदुएं (1, 7) (4, 2) (-1, -1) (-4, 4) एक वर्ग के शीर्ष है| इसका क्षेत्रफल भी ज्ञात करें-
उत्तर:——
A (1, 7) , B (4, 2) , C (-1, -1) , D(-4, 4)
AB=√(1-4)2+(7-2)2=√(-3)2+(5)2
√9+25=√34
BC=√(4-(-1)2+(2-(-2)2=√(4+1)2+(2+1)2
√(5)2+(3)2=√25+9=√34
CD=√(-1-(-4)2+(-1-4)2=√(-1+4)2+(-5)2
√(3)2+25=√9+25=√34
AD=√(1-(-4)2+(7-4)2=√(1+4)2+(3)2
√(5)2+(3)2=√25+9=√34
AC=√(1-(-1)2+(7-(-1)2=√(1+1)2+(7+1)2
√(2)2+(8)2=√4+64=√68
BD=√(4-(-4)2+(2-4)2=√(4+4)2+(-2)2
√(8)2+(-2)2=√64+4=√68
वर्ग के क्षेत्रफल=(√34)2=34
23. उस वृत्त का केंद्र ज्ञात करें जो उस त्रिभुज के परिगत खींचा गया है| जिसके शीर्षों के निर्देशांक (1, 1) (2, 3) (-2, 2) है|
उत्तर:——
माना P(x, y) A(1, 1) B(2, 3) C(-2, 2)
(PA)2=(x-1)2+(y-1)2=x2-2x+1+y2-2y+1
=x2+y2-2x-2y+2
(PB)2=(x-2)2+(y-3)2=x2-4x+4+y2-6y+9
=x2+y2-4x-6y+13
(PC)2=(x-(-2)2+(y-2)2=(x+2)2+(y-2)2
x2+4x+4+y2-4y+4=x2+y2+4x-4y+8
(PA)2=(PB)2
=x2+y2-2x-2y+2=x2+y2-4x-6y+13
-2x-2y+2=-4x-6y+13
2x-2y+4x+6y=13-2
2x+4y=11 ——-(1)
(PA)2=(PC)2
=x2+y2-2x-2y+2=x2+y2+4x-4y+8
-2x-2y+2=4x-4y+8
4x-4y+2x+2y=2-8
6x-2y=-6 ———-(2)
From eq (1)+(2)×2
2x+4y=11
12x-4y=-12
14x=-1
x=-1/14
Put the value of x in eq (1)
2x+4y=11
2×( -1 ) +4y=11
14
-1 + 4y=11
7
4y=11+ 1
7
4y= 77+1 = 78 = 39
7×4 28 14
24. सिद्ध करें कि बिंदु (1, -1) उस वृत्त का केंद्र है जो उस त्रिभुज के परिगत खींचा गया है जिसके शीर्ष के निर्देशांक (4, 3) (-2, 3) (6, -1) है|
उत्तर:—–
P(1,-1) A(4, 3) B(-2, 3) C(6, -1)
(PA)2=(1-4)2+(-1-3)2=(-3)2+(-4)2=9+16=25
(PB)2=(1-(-2)2+(-1-(-3)2=(1+2)2+(-4)2
(3)2+(-4)2=9+16=25
(PC)2=(1-6)2+(-1-(-1)2=(-5)2+(0)2=25
(PA)2=(PB)2=(PC)2
बिंदु (1, -1) उस वृत्त का केंद्र है
25. दिखाएं कि बिंदुओं (-10, -9) (32, 5) (18, 23) से बिंदु (7, 10) की दूरियाँ बराबर है?
उत्तर:——–
A(-10,-9) B(32, 5) C(18, 23) P(7, 10)
(PA)2=(7-(-10)2+(10-(-9)2=(7+10)2+(10+9)2=(17)2+(19)2=289+361=650
(PB)2=(7-32)2+(10-5)2=(-11)2+(5)2=121+529=650
(PC)2=(7-18)2+(10-33)2=(-11)2-(-23)2
121+529=650
(PA)2=(PB)2=(PC)2
बिंदु (7, 10) की दूरियाँ बराबर है
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