प्रश्नावली-3C
1. यदि दो लगातार धन पूर्णांकों के गुणनफल और उनमें से छोटी संख्या x का अंतर 25 के बराबर हो तो निम्नलिखित में कौन समीकरण द्वारा इस कथन को व्यक्त किया जा सकता है|
(i)x(x+1)-25=x (ii) x(x+1)=25
(iii) x(x-1)-25=x (iv) इनमें से कोई नहीं
उत्तर:- (i)x(x+1)-25=x
व्याख्या अगर पहली संख्या x तो दूसरी लगातार संख्या x+1 स्पष्ट है कि x, x+1 से छोटी है, इसिलिए x(x+1)-x=25
2. एक आदमी ने 20 रू में कुछ पुस्तकें खरीदी| वह यदि उस रकम में एक और पुस्तक अधिक पाता तो प्रत्येक पुस्तक का औसत मूल्य एक रूपया कम होता| यदि खरीदी गई पुस्तकों की संख्या x हो तो इस कथन को एक समीकरण द्वारा व्यक्त करें| फिर समीकरण का घात बताएं-
Answer:- x2+x-20=0
Power=2
3. 12 को दो ऐसे भागों में विभक्त कीजिये कि उनका गुणनफल 32 हो|
Answer:-
माना कि पहला भाग=x
दूसरा भाग=12-x
x(12-x)=32
12x-x2=32
-x2+12x-32=0
x2-12x+32=0
x2-8x-4x+32=0
x(x-8) -4(x-8) =0
(x-8) (x-4) =0
x-8=0 x-4=0
x=8 x=4
4. (i)दो क्रमागत पूर्णांकों का गुणनफल 3906 है| पूर्णांकों निर्धारित किजिए|
उत्तर:-
माना कि पहला क्रमागत पूर्णांकों x दूसरा x+1
x(x+1)=3906
x2+x-3906=0
x2+63x-62x-3906=0
x(x+63)-62(x+63)=0
(x+63)(x-62)=0
x-62=0 x+63=0
x=62 x=-63
दूसरा x+1=62+1=63
(ii) दो क्रमागत धन विषम पूर्णांकों का गुणनफल 2499 है, तो बड़ी संख्या ज्ञात करें-
उत्तर:- पहला धन पूर्णांक x दूसरा x+2
x(x+2)=2499
x2+2x-2499=0
x2+51x-49x-2499=0
x(x+51)-49(x+51)=0
(x+51)(x-49)=0
x+51=0 x-49=0
x=-51 x=49
दूसरा x+2=49+2=51
(iii) दो क्रमागत धन पूर्णांकों का गुणनफल 5402 है| पूर्णांक ज्ञात करें-
उत्तर:-
माना कि पहला क्रमागत पूर्णांकों x दूसरा x+1
x(x+1)=5402
x2+x-5402=0
x2+74x-73x-5402=0
x(x+74)-73(x+74)=0
(x+74)(x-73)=0
x-73=0 x+74=0
x=73 x=-74
दूसरा x+1=73+1=74
5. 12 को दो ऐसे भागों में बांटे जिससे उनके वर्गों का योग 74 है|
उत्तर:-
पहला भाग=x
दूसरा भाग=12-x
x2+ (12-x)2 =74
x2+ (12)2-2•12•x+x2-74=0
x2+144-24x+x2-74=0
2×2-24x+70=0
x2-12x+35=0
x2-7x-5x+35=0
x(x-7)-5(x-7) =0
(x-7) (x-5) =0
x-7=0 x-5=0
x=7 x=5
6. दो संख्या निकालें जिनका 3 है और जिनके वर्गों का योग 117 है|
Answer:-
पहली संख्या=x
दूसरा संख्या=x+3
x2+(x+3)2=117
x2+x2+2•x•3+(3)2=117
x2+x2+6x+9-117=0
2×2+6x-108=0
x2+3x-54=0
x2+9x-6x-54=0
x(x+9)-6(x+9)=0
(x+9) (x-6) =0
x-6=0 x+9=0
x=6 x=-9
दूसरा संख्या=x+3=6+3=9
7. (i)दो लगातार विषम पूर्णांकों के वर्गों का योगफल 802 है तो वे विषम संख्याएँ निकालें—
Answer:-
पहली विषम पूर्णांकों =x
दूसरा विषम पूर्णांकों =x+2
x2+(x+2)2=802
x2+x2+2•x•2+(2)2=802
x2+x2+4x+4-802=0
2×2+4x-798=0
x2+2x-399=0
x2+21x-19x-399=0
x(x+21)-19(x+21)=0
(x+21)(x-19) =0
x-19=0 x+21=0
x=19 x=-21
दूसरा विषम पूर्णांकों =x+2=19+2=21
(ii) दो लगातार धन पूर्णांकों के वर्गों का योग 221 है तो संख्या निकाले–
Answer:-
पहली धन पूर्णांकों =x
दूसरा धन पूर्णांकों =x+1
x2+(x+1)2=221
x2+x2+2•x•1+(1)2=221
x2+x2+2x+1-221=0
2×2+2x-220=0
x2+x-110=0
x2+11x-10x-110=0
x(x+11)-10(x+11)=0
(x+11) (x-10) =0
x+11=0 x-10=0
x=-11 x=10
दूसरा धन पूर्णांकों =x+1=10+1=11
8. 3 के दो क्रमागत गुणजों का गुणनफल 180 है| गुणज निर्धारित करें—
Answer:-
3 के दो क्रमागत गुणजों x, x+3
x(x+3)=180
x2+3x-180=0
x2+15x-12x-180=0
x(x+15)-12(x+15)=0
(x+15)(x-12)=0
x-12=0 x+15=0
x=12 x=-15
3 के दो क्रमागत गुणजों x=12 , x+3=12+3=15
9. दो लगातार धनात्मक सम संख्याएँ निकालें जिनका गुणनफल 168 है|
Answer:-
दो लगातार धनात्मक सम संख्याएँ =x, x+2
x(x+2)=168
x2+2x-168=0
x2+14x-12x-168=0
x(x+14)-12(x+14)=0
(x+14)(x-12)=0
x-12=0 x+14=0
x=12 x=-14
दो लगातार धनात्मक सम संख्याएँ =x=12, x+2=12+2=14
10. दो अंकों की एक संख्या अपने अंकों के गुणनफल के दुगुने से 8 कम है नहीं है यदि इकाई के अंक से दहाई का अंक 1 अधिक हो तो वह कौन सी संख्या है?
उत्तर:-
माना कि दहाई की संख्या=x
इकाई की संख्या=x-1 तो संख्या=10x+(x-1)
अंकों का गुणनफल=x•(x-1)
2•x•(x-1)-8=10x+x-1
2×2-2x-8=11x-1
2×2-2x-8-11x+1=0
2×2-13x-7=0
2×2-14x+x-7=0
2x(x-7)+1(x-7)=0
(x-7) (2x+1)=0
x-7=0 2x+1=0, 2x=-1, x=-1/2
x=7
संख्या=10x+(x-1)=10×7+(7-1)
70+6=76
11. दो अंकों की किसी संख्या के अंकों का गुणनफल 12 है| यदि संख्या में 36 जोड़ दिया जाए तो परिणामी संख्या में अंक प्रारंभिक संख्या के अंकों का उल्टा हो जाता है| प्रारंभिक संख्या ज्ञात करें-
उत्तर:-
इकाई की संख्या x
दहाई की संख्या y
संख्या 10y+x
xy=12 —–(1)
10y+x+36=10x+y
10y+x+36-10x-y=0
9y-9x+36=0
y-x+4=0
y+4=x
Put the value of x in eq (1)
(y+4)y=12
y2+4y=12
y2+4y-12=0
y2+6y-2y-12=0
y(y+6)-2(y+6)=0
(y+6)(y-2)=0
y-2=0 y+6=0
y=2 y=-6
x=y+4=2+4=6
संख्या 10y+x=10×2+6=26
12. वह संख्या निकालें जिसमें से 20 घटाने पर वह अपने व्युत्क्रम की 69 गुनी होती है|
उत्तर:-
अभीष्ट संख्या=x
संख्या का व्युत्क्रम= 1/x
x-20 = 1 ×69
1 x
x2-20x=69
x2-20x-69=0
x2-23x+3x-69=0
x(x-23)+3(x-23)=0
(x-23)(x+3)=0
x-23=0 x+3=0
x=23 x=-3
13. (i)किसी संख्या तथा उसके व्युत्क्रम का योग 10/3 है| संख्या निर्धारित कीजिये|
उत्तर:-संख्या =x
व्युत्क्रम=1/x
x + 1 = 10
1 x 3
x2+1 = 10
x 3
3(x2+1)=10•x
3×2+3=10x
3×2-10x+3=0
3×2-9x-x+3=0
3x(x-3)-1(x-3)=0
(x-3)(3x-1)=0
x-3=0 3x-1=0
x=3 x=1/3
(ii)दो प्राकृत संख्याओं का योगफल 8 है और उनके व्युत्क्रमों का योगफल 8/15 है| तो संख्याएँ निकालें|
उत्तर:-
संख्याएँ x y
x+y=8
x=8-y ———-(1)
1 + 1 = 8 ——-(2)
x y 15
1 + 1 = 8
8-y y 15
y+8-y = 8
(8-y)y 15
8 = 8
8y-y2 15
y2-8y+15=0
y2-3y-5y+15=0
y(y-3)-5(y-3)=0
(y-3)(y-5)=0
y-3=0 y-5=0
y=3 y=5
14. 1 से कम उस भिन्न को निकालें जिसके अंश और हर का जोड़ 10 तथा उस भिन्न और उसके व्युत्क्रम का अंतर 40/21 हो|
उत्तर:-
माना भिन्न का अंश x तो हर 10-x
एवं x<10-x क्योंकि भिन्न <1
भिन्न= x एवं इसका व्युत्क्रम= 10-x
10-x x
10-x – x = 40
x 10-x 21
(10-x)2 -x2 = 40
x(10-x) 21
(10)2 -2•10•x +x2 -x2 = 40
10x-x2 21
100 – 20x = 40
10x – x2 21
400x-40×2=2100-420x
400x-40×2-2100+420x=0
-40×2+820x-2100=0
40×2-820x+2100=0
2×2-41x+105=0
a=2, b=-41, c=105
D=b2-4ac=(-41)2-4•2•105=1681-840=841
x = -b + √D = -(-41)+-√841 = 41+-29
2a 2×2 4
41+29 = 70 = 35
4 4 2
41-29 = 12 =3
4 4
x=3
अंश=3 हर =10-x=10-3=7
भिन्न= अंश = 3
हर 7
15. हंसों के झुंड में कुल संख्या के वर्गमूल के 7/2 तालाब के किनारे खेल रहे हैं| शेष दो पानी में जल क्रीड़ा कर रहे हैं| हंसों की कुल संख्याएँ निकालें|
उत्तर:-
हंसों की कुल संख्या=x
तालाब के किनारे खेल रहे हंसों की संख्या=√x• 7
2
√x• 7 + 2=x
2
7 √x=x-2
2
Squaring on both sides
( 7 √x)2= (x-2)2
2
49 x = x2-2•x•2+(2)2
4
49x=4×2-16x+16
4×2-16x+16-49x=0
4×2-65x+16=0
4×2-64x-x+16=0
4x(x-16)-1(x-16)=0
(x-16)(4x-1)=0
x-16=0 4x-1=0
x=16 x=1/4
(ii)हंसों के झुंड में कुल संख्या के वर्गमूल का चार गुना झील के किनारे खेल रहे हैं| शेष 5 झील में तैर रहे हैं| झुंड में हंसों की कुल संख्या की गणना करें|
उत्तर:-
हंसों की कुल संख्या=x
झील के किनारे खेल रहे हंसों की संख्या=4√x
4√x+5=x
4√x=x-5
Squaring on both sides
(4√x)2=(x-5)2
16x=x2-2•x•5+(5)2
16x=x2-10x+25
x2-10x+25-16x=0
x2-26x+25=0
x2-25x-x+25=0
x(x-25)-1(x-25)=0
(x-25)(x-1)=0
x-25=0 x-1=0
x=25 x=1
16. किसी समकोण ∆ का कर्ण 25 सेमी है, उसकी परिमित 56 सेमी है तो उसकी सबसे छोटी भूजा की लंबाई निकालें|
उत्तर:-
∆ की परिमिति=56
∆ की एक भुजा=x
दूसरी भुजा=(56-25+x) =31-x
कर्ण2=लंब2+आधार2
(25)2=x2+(31-x)2
625=x2+(31)2-2•31•x+ (x)2
625=x2+961-62x+x2
2×2-62x+961-625=0
2×2-62x+336=0
x2-31x+168=0
x2-7x-24x+168=0
x(x-7)-24(x-7)=0
(x-7)(x-24)=0
x-7=0 x-24=0
x=7 x=24
17. किसी समकोण∆ का कर्ण एक भुजा से 2 सेमी अधिक और दूसरी भुजा के दुगुने से 1 सेमी अधिक है| त्रिभुज की सभी भुजाएँ ज्ञात करें-
उत्तर:-
समकोण∆ABC का कर्ण AC=x
कर्ण=AB+2=2×BC + 1
x=AB+2=2BC + 1
AB=x-2, BC= x-1
2
AC2=AB2+BC2
x2=(x-2)2+( x-1 )2
2
x2= x2-2•2•x+(2)2 + x2-2•x•1+(1)2
4
x2= x2-4x+4 + x2-2x+1
4
x2= 4×2-16x+16+x2-2x+1
4
4×2=4×2-16x+16+x2-2x+1
5×2-18x+17-4×2=0
x2-18x+17=0
x2-17x-x+17=0
x(x-17)-1(x-17)=0
(x-17)(x-1)=0
x-17=0 x-1=0
x=17 x=1
AC=17
AB=x-2=17-2=15
BC= x-1 = 17-1 = 16/2=8
2 2
18. किसी समकोण∆ का कर्ण 3√10 सेमी है| यदि शेष दो भुजाओं में छोटी को तिगुनी कर दी जाए और उनमें बड़ी भुजा को दुगुनी कर दी जाए तो नया कर्ण 9√5 सेमी हो जाएगा प्रारंभिक त्रिभुज की शेष दो भुजाओं की लंबाईयां निकालिए|
उत्तर:-
समकोण ∆ की छोटी भुजा= x
बड़ी भुजा=y
कर्ण2=लंब2+आधार2
x2+y2=(3√10)2
x2+y2=90 ——(1)
अब नये त्रिभुज की छोटी भुजा=3x
बड़ी भुजा=2x
(3x)2+ (2x)2= (9√5)2
9×2+ 4×2= 405 ——-(2)
From eq (1)×9 &(2)
9×2+9y2=810
9×2+ 4y= 405
5y2=405
y2=405/5=81
y2=81, y=9
Put the value of y in eq (1)
x2+y2=90
x2+(9)2=90
x2+81=90
x2=90-81=9
x2=9 , x=√9=3
19. किसी समकोण ∆ का क्षेत्रफल 30 वर्ग मात्रक है| यदि शीर्षलंब आधार से 7 मात्रक अधिक हो तो उसका आधार तथा शीर्षलंब निर्धारित कीजिये|
उत्तर:-
∆ का आधार=x शीर्षलंब=x+7
समकोण ∆ का क्षेत्रफल= 1/2× आधार× ऊंचाई
समकोण ∆ का क्षेत्रफल= 1/2×x(x+7)
30 = 1 (x2+7x)
1 2
x2+7x=60
x2+7x-60=0
x2+12x-5x-60=0
x(x+12)-5(x+12)=0
(x+12)(x-5)=0
x-5=0 x+12=0
x=5 x=-12
शीर्षलंब=x+7=5+7=12
20. किसी आयताकार क्षेत्र का क्षेत्रफल 100 मी2 है और उसकी तीन भुजाओं का योगफल 30 मी है| आयत के विस्तार ज्ञात कीजिये|
उत्तर:-
आयताकार क्षेत्र की संगत भुजाएँ x y
2x+y=30
y=30-2x ——-(1)
x•y=100
x(30-2x)=100
30x-2×2-100=0
-2×2+30x-100=0
2×2-30x+100=0
x2-15x+50=0
x2-10x-5x+50=0
x(x-10)-5(x-10)=0
(X-10)(x-5)=0
x-10=0 x-5=0
x=10 x=5
x=10, y=30-2x=30-2×10=30-20=10
x5, y=30-2x=30-2×5=30-10=20
21. (i) किसी आयताकार कमरे की लंबाई उसकी चौड़ाई से 2 मी अधिक है| यदि फर्श का क्षेत्रफल 195 वर्ग मी हो तो उसकी लंबाई और चौड़ाई निर्धारित कीजिये|
उत्तर:-
लंबाई=x चौड़ाई=x-2
x(x-2)=195
x2-2x-195=0
x2-15x+13x-195=0
x(x-15)+13(x-15)=0
(x-15)(x+13)=0
x-15=0 x+13=0
x=15 x=-13
चौड़ाई=x-2=15-2=13
(ii) किसी आयताकार मेजा फेश की चौड़ाई, लंबाई से 20 मी कम है और इसका क्षेत्रफल 6300 वर्ग सेमी है| उसकी लंबाई ज्ञात करें|
उत्तर:-
लंबाई x चौड़ाई x-20
x(x-20)=6300
x2-20x-6300=0
x2-90x+70x-6300=0
x(x-90)+70(x-90)=0
(x-90)(x+70)=0
x-90=0 x+70=0
x=90 x=-70
चौड़ाई x-20=90-20=70
23. एक बरामदे की लंबाई, चौड़ाई से 3 मी अधिक है| यदि क्षेत्रफल और परिमिति के सांख्यिक मान बराबर हो तो (a) चौड़ाई x मानते हुए प्रश्न अनुसार एक समीकरण लिखें| (b)बरामदे का विस्तार निकालें|
उत्तर:-
बरामदे की चौड़ाई x
लंबाई x+3
क्षेत्रफल=परिमिति
x(x+3)=2(x+x+3)
x2+3x=2x+2x+6
x2+3x=4x+6
x2+3x-4x-6=0
x2-x-6=0
x2-3x+2x-6=0
x(x-3)+2(x-3)=0
(x-3)(x+2)=0
x-3=0 x+2=0
x=3 x=-2
बरामदे की चौड़ाई x =3
लंबाई x+3 =3+3=6
बरामदे का विस्तार=6m×3m=18m2
24. किसी वृत्त के केन्द्र से एक चापकर्ण पर खींचा गया लंब चापकर्ण के आधे से 3 सेमी कम है| यदि वृत्त का अर्धव्यास 15 सेमी हो तो, चापकर्ण की लंबाई कितनी है?
उत्तर:-
चापकर्ण की लंबाई=2x सेमी
∆OCA
कर्ण=√लंब2+आधार 2
(वृत्त के केंद्र से खींचा गया लंब जीवा को समद्विभाजित करता है|)
AC=x, CB=x
(15)2=(x-3)2+x2
225=x2-2•x•3+(3)2+x2
225=x2-6x+9+x2
2×2-6x+9-225=0
2×2-6x-108=0
x2-12x+9x-108=0
x(x-12)+9(x-12)=0
(x-12)(x+9)=0
x-12=0 x+9=0
x=12 x=-9
AB=2×12=24
25. किसी काम को करने में A को B से 5 दिन कम समय लगता है वे उस काम को एक साथ 6 दिनों में कर सकते हैं|A और B अलग अलग कितने दिनों में उस काम को कर सकते हैं?
उत्तर:-
माना को A काम करने में X दिन लगते हैं|
B को X+5 दिन लगेंगे
X दिन में A 1 काम को पूरा करते हैं|
1 दिन में A 1 भाग को करेगा
X
उसी प्रकार X+5 दिन में B काम को पूरा करता है|
1 दिन में B 1 भाग काम को करेगा
X+5
प्रश्न से, A+B मिलकर 6 दिन में पूरे 1 काम को करते हैं|
6( 1 + 1 ) =1
x x+5
6( x+5+x )=1
x(x+5)
6( 2x+5 )=1
x2+5x
12x+30=x2+5x
x2+5x-12x-30=0
x2-7x-30=0
x2-10x+3x-30=0
x(x-10)+3(x-10)=0
(x-10)(x+3)=0
x-10=0 x+3=0
x=10 x=-3
यानि A 10 दिन में तथा B=x+5=10+5=15 दिन में काम को पूरा कर सकता है|
26. एक हौज में दो नल लगे हैं| उन्हें एक साथ खोलने पर हौज 35 मिनट में भर जाता है| बड़ा नल हौज को भरने में छोटे नल की अपेक्षा 24 मिनट कम समय लेता है| प्रत्येक नल अलग अलग कितने समय में हौज को भर लेगा?
उत्तर:-
माना बड़े नल को पूरा हौज भरने में x मिनट समय लगता है|
छोटे नल को x+24 मिनट भरने में समय लगेगा|
x min में बड़े नल 1 हाज को भरता है|
1 मिनट में 1 भाग हौज को भरेगा
x
x मिनट में बड़े नल 1 हौज को भरेगा
उसी प्रकार छोटा नल 1 मिनट में 1 भाग भरेगा
x+24
35( 1 + 1 ) =1
x x+24
35( x+24+x ) =1
x(x+24)
35( 2x + 24) =1
x2+24x
70x+840=x2+24x
x2+24x-70x-840=0
x2-46x-840=0
x2-60x+14x-840=0
x(x-60)+14(x-60)=0
(x-60)(x+14)=0
x-60=0 x+14=0
x=60 x=-14
x=60 यानि बड़े नल को 60 मिनट और छोटे नल को 60+24=84 मिनट समय लगेगा|
27. बच्चों की एक पार्टी में प्रत्येक ने प्रत्येक को एक भेंट दी| यदि कुल 132 उपहार दिये गये हो तो बालकों की संख्या बताएं—–
उत्तर:-
माना बच्चों की संख्या=n
बालकों ने कुल= n-1 उपहार दिये
उपहारों की कुल संख्या=n(n-1)
132=n(n-1)
132=n2-n
n2-n-132=0
n2-12n+11n-132=0
n(n-12)+11(n-12)=0
(n-12)(n+11)=0
n-12=0 n+11=0
n=12 n=-11
28. एक आदमी ने 20 रुपये में कुछ पुस्तकें खरीदी| वह यदि उस मूल्य पर एक और पुस्तक अधिक पाता, तो प्रत्येक पुस्तक का औसत मूल्य एक रुपया कम होता| उसने कितने पुस्तकें खरीदी थी?
उत्तर:-
माना उस आदमी ने x पुस्तकें खरीदी थी|
उस आदमी ने 20 रुपया में x पुस्तकें खरीदी थी|
” ” 1 रुपया में 20 ” “
x
दूसरी स्थिति में पुस्तकों की संख्या=x+1
एक पुस्तक का मूल्य= 20
x+1
20 – 20 =1
x x+1
20(x+1)-20x =1
x(x+1)
20x+20-20x =1
x2+x
20=x2+x
x2+x-20=0
x2+5x-4x-20=0
x(x+5)-4(x+5)=0
(x+5) (x-4)=0
x-4=0 x+5=0
x=4 x=-5
29. पिता एवं उसके पुत्र की आयु का योगफल 45 वर्ष है| 5 वर्ष पूर्व, उनकी आयु (वर्ष में) का गुणनफल 124 है| उनकी वर्तमानआयु ज्ञात करें-
उत्तर:-
पिता की उम्र= x
पुत्र की आयु= y
x+y=5 ———–(1)
पुत्र की आयु= x
पिता की आयु= 45-x
पांच वर्ष पूर्व पिता की उम्र=45-x-5=40-x
पुत्र की उम्र=x-5
(x-5)(40-x)=124
40x-x2-200+5x=124
-x2+45x-200-124=0
x2-45x+324=0
x2-36x-9x+324=0
x(x-36)-9(x-36)=0
(x-36)(x-9)=0
x-36=0 x-9=0
x=36 x=9
30. एक व्यक्ति की चाल प्रति घंटा यदि 2 किमी अधिक हो तो 24 किमी जाने में उसे 1 घंटा समय कम लगता है प्रति घंटे उसकी चाल कितनी है?
उत्तर:-
माना कि व्यक्ति की चाल xkm/h
किमी/घंटा की चाल से 24 किमी जाने में लगा समय = दूरी = 24
चाल x
यदि चाल x+2 किमी/घंटा होता तो
24 किमी जाने में लगा समय= दूरी = 24
चाल x+2
24 – 24 =1
x x+2
24x+48-24x =1
x(x+2)
48 =1
x2+2x
x2+2x=48
x2+2x-48=0
x2+8x-6x-48=0
x(x+8)-6(x+6)=0
(x+8) (x-6) =0
x-6=0 x+8=0
x=6 x=-8
31. 132 किमी की दूरी तय करने में एक एक मेल ट्रेन, एक पैसेंजर ट्रेन से 1 घंटे कम समय लेती है यदि मेल ट्रेन की औसत चाल पैसेंजर ट्रेन से 11 किमी/घंटा अधिक हो तो प्रत्येक रेलगाड़ी की औसत चाल निकालें———-
उत्तर:-
माना कि पैसेंजर ट्रेन की चाल= x
मेल ट्रेन की चाल=x+11
132 किमी दूरी तय करने में पैसेंजर ट्रेन लगा समय= दूरी/समय=132/x
132 km की दूरी तय करने में मेल ट्रेन द्वारा लगा समय=दूरी/समी=132/x+11
132 – 132 =1
x x+11
132x-132x+1452 =1
x(x+11)
1452 =1
x2+11x
x2+11x=1452
x2+11x-1452=0
x2+44x-33x-1452=0
x(x+44) -33(x+44)=0
(x+44)(x-33)=0
x-33=0 x+44=0
x=33 x=-44
32. एक रेलगाड़ी 360 किमी दूरी एक समान चाल से तय करती है| यदि गाड़ी की चाल 5 किमी अधिक होती तो उसे 1 घंटा कम लगता| गाड़ी की चाल ज्ञात करें-
उत्तर:-
माना गाड़ी की चाल x
पहली स्थिति में 160 किमी दूरी तय करने में लगा समय=दूरी/चाल=360/x
दूसरी स्थिति में यदि गाड़ी की चाल=x+5
160 किमी की दूरी तय करने में लगा समय= दूरी/चाल=360/x+5
360 – 360 =1
x x+5
360x+1800-360x =1
x(x+5)
1800 =1
x2+5x
x2+5x=1800
x2+5x-1800=0
x2+45x-40x-1800=0
x(x+45)-40(x+45)=0
(x+45)(x-40)=0
x-40=0 x+45=0
x=40 x=-45
33. एक साइकिल सवार ने 84 मील यात्रा करने पर देखा यदि प्रतिघंटा 5 मील अधिक की चाल से वह चलता तो उसे 5 घंटा कम समय लगता| वह किस चाल से गया था|
उत्तर:-
माना कि साइकिल सवार की चाल x किमी/घंटा तो 84 मील यात्रा तय करने में लगा समय=दूरी/चाल=84/x घंटा जब चाल मील प्रति घंटा तो 84 मील यात्रा तय करने में लगा समय=84/x+5
84 – 84 =5
x x+5
84x+420-84x =5
x(x+5)
420 =5
x2+5x
5×2+25x=420
5×2+25x-420=0
x2+5x-84=0
x2+12x-7x-84=0
x(x+12) -7(x+12)=0
(x+12)(x-7)=0
x-7=0 x+12=0
x=7 x=-12
34. एक मल्लाह 4 2 घंटे में 7 किमी नाव खेेेकर
3
आ जा सकता है| यदि बहाव की गति प्रति घंटा 2 किमी हो तो, स्थिर जल में नाव की चाल कितनी थी?
उत्तर:-
माना कि स्थिर जल में नाव की चाल=x
किमी/घंटा की चाल से 7 किमी जाने में लगा समय= दूरी/समय=7/x+2
(क्योंकि जिस दिशा में धारा बहती है उस दिशा में जाने पर धारा की चाल+नाव की चाल) तथा धारा की विपरीत दिशा में 7 किमी आने में लगा समय=दूरी/चाल=7/x-2
7 + 7 = 4 2
x+2 x-2 3
7x-14+7x+14 = 14
(x+2)(x-2) 3
14×2-56=42x
14×2-42x-56=0
x2-3x-4=0
x2-4x+x-4=0
x(x-4)+1(x-4)=0
(x-4) (x+1)=0
x-4=0 x+1=0
x=4 x=-1
35. एक नाव की चाल स्थिर पानी में 15 किमी/घंटा है| यह प्रवाह के अनुकूल 30 किमी जाकर लौट जाने में कुल 4 1 घंटे लगता है| धारा की चाल
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ज्ञात करें-
उत्तर:-
माना धारा की चाल =x
धारा के अनुकूल 30 किमी जाने में लगा समय= दूरी/समय=30/15+x
धारा के प्रतिकूल 30 किमी आने में लगा समय= दूरी/समय=30/15-x
30 + 30 = 4 1
15+x 15-x 2
450-30x+450+30x = 9
225-15x+15x-x2 2
900 = 9
225-x2 2
2025-9×2=1800
2025-1800=9×2
225=9×2
x2=225/9=25
x=√25=+-5
36. होली के अवसर पर किसी कक्षा में प्रत्येक विद्यार्थी कक्षा के बांकी सभी विद्यार्थियों को एक अभिनंदन पत्र भेजता है| यदि कुल 930 पत्र इस प्रकार भेजे जाते हैं तो कक्षा के विद्यार्थियों की संख्या ज्ञात करें-
उत्तर:-
विद्यार्थियों की संख्या=n
कुल पत्रों की संख्या= n(n-1)
n(n-1)=930
n2-n-930=0
n2-31n+30n-930=0
n(n-31)+30(n-31)=0
(n-31)(n+30)=0
n-31=0 n+30=0
n=31 n=-30
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