प्रश्नावली-4A
1. जांचकर बताइये कि निम्नलिखित में कौन कौन समांतर श्रेणी में है| यदि समांतर श्रेणी में है तो उसके आगे के तीन पद निकालें—-
(i)2,4,8,16,20……….
Answer:-
D=a2-a1=4-2=2
=a3-a2=8-4=4
Not in AP
(ii) -10, -6, -2, 2…….
Answer:-
D=-6-(-10)=-6+10=4
-2-(-6)=-2+6=4
a+4d=-10+4×4=-10+16=6
a+5d=-10+5×4=-10+20=10
a+6d=-10+6×4=-10+24=14
(iii) (1)2, (5)2, (7)2, 73……
Answer:-
D=25-1=24
=49-25=24
a+4d=1+4×24=1+96=97
a+5d=1+5×24=1+120=121
a+6d=1+6×24=1+144=145
(iv) 0.2,0.22,0.222,0.2222,……..
Answer:-
D=0.22-0.2=0.02
0.222-0.22=0.002
Not in AP
(v) √3, √6, √9, √12………
Answer:-
D=√6-√3
=√9-√6
Not in ap
(vi) 51,59,67,75……….
Answer:-
D=59-51=8
67-59=8
a+4d=51+4×8=51+32=83
a+5d=51+5×8=51+40=91
a+6d=51+6×8=51+48=99
2. (i) यदि x+2, 3x और 4x+1 समांतर श्रेणी में हो तो x का मान बताएं—
Answer:-
a2-a1=a3-a2
3x-(x+2)=(4x+1)-3x
3x-x-2=4x+1-3x
2x-2=x+1
2x-x=1+2
x=3
(ii) किसी समांतर श्रेणी के तीन क्रमागत पद क्रमशः 2x+3, 5x+1, 6x+3 है तो x का मान अभिकलित कीजिये–
Answer:-
a2-a1=a3-a2
5x+1-(2x+3)=6x+3-(5x+1)
5x+1-2x-3=6x+3-5x-1
3x-2=x+2
3x-x=2+2=4
2x=4
x=4/2=2
(iii) यदि 4 ,a, 2 किसी समांतर श्रेणी के
5
तीन क्रमागत पद क्रमशः 2x+3, 5x+1, 6x+3 है तो x का मान अभिकलित कीजिये-
उत्तर:-
a – 4 =2-a
5
5a-4 =2-a
5
5a-4=10-5a
10a=14
a=14/10=7/5
3. (i) यदि a, 2b और c समांतर श्रेणी में हो तो सिद्ध करें कि 4(4b2-ac)=(a-c)2
Ans:-
2b-a=c-2b
2b+2b=c+a
4b=c+a
b= c+a
4
Squaring on both sides
b2= ( c+a )2
4
b2= c2+2ca+ a2
16
16b2=c2+2ca+a2
16b2-4ac= c2+a2+2ca-4ca
4(4b2-ac)=c2+a2-2ac
4(4b2-ac)=(c-a)2 Proved
(ii) यदि 7,2, a, b समांतर श्रेणी में हो तो a और b का मान ज्ञात करें-
उत्तर:-
a2-a1=a3-a2=a4-a3
2-7=a-2=b-a
2-7=a-2 a-2=b-a
-5=a-2 -3-2=b-(-3)
a=-5+2 -5=b+3
a=-3 b=-5-3=-8
(iii) यदि a, b, c समांतर श्रेणी में हो तो साबित करें कि— a+k, b+k, c+k समांतर श्रेणी में होंगे|
उत्तर:-
a, b, c
b-a=c-b
a+k, b+k, c+k
b+k-(a+k)=c+k-(b+k)
b+k-a-k=c+k-b-k
b-a=c-b
AP me hai…
(iv) p, q, r समांतर श्रेणी में हो तो सिद्ध करें कि tp+a, tq+a, tr+a समांतर श्रेणी में है|
उत्तर:-
p, q, r
q-p=r-q
tp+a, tq+a, tr+a
tq+a-(tp+a)=tr+a-(tq+a)
tq+a-tp-a= tr+a-tq-a
tq-tp= tr-tq
t(q-p) = t(r-q)
q-p=r-q Proved
4.(i) किसी अनुक्रम का n वां पद 4n-2 है| क्या अनुक्रम समांतर श्रेणी में है? यदि है तो इसका आठवाँ पद निकाले——
Answer:-
n=1, 2,3,4
n=1, 4×1-2=4-2=2
n=2, 4×2-2=8-2=6
n=3, 4×3-2=12-2=10
n=4, 4×4-2=16-2=14
D=6-2=4
a+7d=2+7×4=2+28=30
(ii) किसी अनुक्रम का r वां पर 2r+3 है| क्या यह समांतर श्रेणी में एक? यदि हो तो उसका सातवा पद ज्ञात करें-
उत्तर:-
r=1, 2,3,4
n=1, 2×1+3=2+3=5
n=2, 2×2+3=7
n=3, 2×3+3=6+3=9
n=4, 2×4+3=8+3=11
D=7-5=2
a+6d=5+6×2=5+12=17
5.(i) श्रेणी -40, -15, 10,35……. का 10 वां पद ज्ञात करें-
उत्तर:- a=-40, n=10
D=a2-a1=-15-(-40)=-15+40=25
An=a+(n-1)d
=-40+(10-1)×25=-40+9×25
=-40+225=185
(ii) उस समांतर श्रेणी का 12 वां पद ज्ञात करें जिसका प्रथम पद -20 और सार्व अंतर 4 है|
Answer:- n=12, d=4, a=-20
An=a+(n-1)d
-20+(12-1)×4
-20+11×4=-20+44=24
(iii) जांच कि क्या -150 समांतर श्रेणी 11,8,5,2…… का एक पद है|
उत्तर:- an=-150, a=11, d=8-11=-3
An=a+(n-1)d
-150=11+(n-1)(-3)
-150=11-3n+3
-150=14-3n
-150-14=-3n
-164=-3n
n=-164/-3=164/3
6.(i) किसी समांतर श्रेणी का पहला पद 7 सार्व अंतर 2 तथा अंतिम पद 55 है, तो पदों की संख्या को अभिकलित कीजिये-
Ans. a=7, d=2, an=55
An=a+(n-1)d
55=7+(n-1)2
55=7+2n-2
55=5+2n
55-5=2n
50=2n
n=50/2=25
(ii)50 पदों की किसी समांतर श्रेणी में अंतिम पद 101 सार्व अंतर 2 है तो पहला पद ज्ञात करें-
Answer:- n=50, an=101, d=2
An=a+(n-1)d
101=a+(50-1)×2
101=a+49×2
101=a+98
a=101-98=3
(iii)51 पदों की किसी समांतर श्रेणी में अंतिम पद 254 तथा पहला पद 4 है तो पदांतर निकाले-
Answer:-
a=4, an=254, n=51
An=a+(n-1)d
254=4+(51-1)d
254=4+50d
254-4=50d
250=50d
d=250/50=5
(iv) किसी समांतर श्रेणी का 17 वां पद उसके 10 वें पद से 7 अधिक है| तो पदांतर ज्ञात करें-
Answer:-
a17=a10+7
a+(17-1)d=a+(10-1)d+7
a+16d=a+9d+7
a+16d-a-9d=7
7d=7
d=7/7=1
7. (i) समांतर श्रेणी 3,8,13……253 का अंत से 20 वां पद ज्ञात करें-
Answer:-
AP: 3, 8,13………….243,248,253
a=253, d=248-253=-5, n=20
An=a+(n-1)d
253+(20-1)×(-5)
253+19×(-5)
253-95=158
(ii) समांतर श्रेणी 13,17,21…..89 का अंत से 7 वां पद ज्ञात करें-
Answer:-
AP: 13,17,21……..81,85,89
a=89, d=85-89=-4, n=7
An=a+(n-1)d
89+(7-1)×(-4)
89+6×(-4)
89-24=65
(iii) समांतर श्रेणी 8,13,18…..128 में पदों की संख्या बताएं एवं श्रेणी का मध्य पद निकाले-
Answer:- a=8, d=13-8=5, an=128
An=a+(n-1)d
128=8+(n-1)5
128=8+5n-5
128=3+5n
128-3=5n
125=5n
n=125/5=25
मध्य पद n=25, n+1 =25+1 =26
2 2 2
n=13
An=a+(n-1)d=8+(13-1)5=8+12×5
8+60=68
8.(i) किसी समांतर श्रेणी का 5 वां पद 11 तथा 9 वां पद 7 है तो 16 वां पद निकालिए—
Answer:-
An=a+(n-1)d
a5=a+(5-1)d
11=a+4d ——–(1)
a9=a+(9-1)d
7=a+8d ———-(2)
From eq (1) & (2)
a+8d=7
a+4d=11
4d=-4
d=-4/4=-1
Put the value of d in eq (1)
11=a+4d
11=a+4×(-1)
11=a-4
a=11+4=15 n=16
an=15+(16-1)×(-1)
an=15+15×(-1)=15-15=0
(ii)किसी समांतर श्रेणी का 8 वां पद -23 तथा 12 वां पद -39 है तो श्रेणी लिखिये-
Answer:-
An=a+(n-1)d
a8=a+(8-1)d
-23=a+7d ——-(1)
a12=a+(12-1)d
-39=a+11d ——-(2)
From eq (1) &(2)
a+7d=-23
a+11d=-39
-4d=16
d=16/-4=-4
Put the value of d in eq (1)
-23=a+7d
-23=a+7×(-4)
-23=a-28
a=28-23=5
a+d=5-4=1
a+2d=5+2×(-4)=5-8=-3
a+3d=5+3×(-4)=5-12=-7
(iii) यदि समांतर श्रेणी का p वां पद q तथा q वां पद p है तो उसका (p+q) वां पद ज्ञात करें-
Answer:-
An=a+(n-1)d
q=a+(p-1)d
q=a+pd-d ———(1)
An=a+(n-1)d
p=a+(q-1)d
p=a+qd-d ———(2)
From eq (1) & (2)
q-p=a+pd-d -a -qd +d
q-p=pd-qd
q-p= -d(q-p)
1=-d
d=-1
Put the value of d in eq (1)
q=a+pd-d
q=a+p×(-1)-(-1)
q=a-p+1
a=q+p-1
An= a + (n-1)d
q+p-1 + (p+q -1)×(-1)
q+p-1 -p -q + 1=0
(iv) किसी समांतर श्रेणी का चौथा पद पहले पद का तीन गुणा है, और सातवाँ पद तीसरे पद के दुगुने से 1 अधिक है तो श्रेणी का निर्माण करें-
Answer:-
An=a+(n-1)d
a1=a+(1-1)d
a1=a+0=a
a4=a+(4-1)d
3a=a+3d
3a-a=3d
2a=3d
a= 3d ———-(1)
2
a3=a+(3-1)d
a3=a+2d
a7=a+(7-1)d
a7=a+6d ————(2)
(a+2d)×2+1=a+6d
2a+4d+1=a+6d
2a-a+1=6d-4d
a+1=2d
3d + 1 =2d (a=3d/2)
2
3d + 2 =2d
2
3d+2=4d
4d-3d=2
d=2
Put the value of d in eq (1)
a= 3d =3×2 = 6 =3
2 2 2
a+d=3+2=5
a+2d=3+2×2=3+4=7
a+3d=3+3×2=3+6=9
a+4d=3+4×2=3+8=11
9. (i) समांतर श्रेणी 21,42,63,84 का कौन सा पद 420 है?
उत्तर:-
a=21, d=42-21=21, an=420
An=a+(n-1)d
420=21+(n-1)21
420=21+21n-21
21n=420
n=420/21=20
(ii) समांतर श्रेणी 3,10,17…. का कौन सा पद उसके 13 वें पद से 84 अधिक है?
उत्तर:-
a=3, d=10-3=7, n=13
An=a+(n-1)d
An=3+(n-1)×7 ——–(1)
An=3+(13-1)×7+84
=3+12×7+84
=3+84+84=171 ——-(2)
From eq (1) &(2)
3+(n-1)×7=171
3+7n-7=171
7n-4=171
7n=171+4=175
n=175/7=25
n=25
(iii) समांतर श्रेणी 3,15,27,39…… का कौन सा पद श्रेणी के 21 वें पद से 120 अधिक है|
उत्तर:-
a=3, d=15-3=12, n=21
An=a+(n-1)d
An=3+(n-1)×12 ——(1)
An=3+(21-1)×12+120
=3+20×12+120
=3+240+120=363 ——(2)
From eq (1) &(2)
3+(n-1)×12=363
3+12n-12=363
12n-9=363
12n=363+9=372
n=372/12=31
10. n के किस मान के लिए समांतर श्रेणी 63,65,67……और 3,10,17…… के n वें पद समान होंगे|
उत्तर:-
63,65,67……………
a=63, d=65-63=2
An=a+(n-1)d
=63+(n-1)×2
=63+2n-2
=61+2n ———-(1)
3,10,17……………
a=3, d=10-3=7
An=a+(n-1)d
=3+(n-1)×7
=3+7n-7
=7n-4 ———(2)
From eq (1) &(2)
61+2n=7n-4
5n=61+4=65
n=65/5=13
n=13
11. 4 के कितने गुणज 10 और 250 के बीच पड़ते हैं?
उत्तर:-
4 के गुणज 10 और 250:-
12,16,20,24…………..248
a=13, d=16-12=4, an=248
An=a+(n-1)d
248=12+(n-1)×4
248=12+4n-4
248=8+4n
4n=248-8=240
n=240/4=60
12. किसी समांतर श्रेणी के p वें, q वें तथा r वें पद क्रमशः a, b और c हो, तो सिद्ध करें कि
a(q-r)+b(r-p)+c(p-q)=0
Answer:-
समांतर श्रेणी का पहला पद x
पदांतर d
An=a+(n-1)d
a=x+(p-1)d —-(1) For p
b=x+ (q-1)d —–(2) For q
c=x+ (r-1)d ——(3) For r
समीकरण (1) में (q-r), (2) में (r-p) तथा (3) में (p-q) से गुणा करके जोड़ने पर हम पाते हैं कि——-
a(q-r)+b(r-p)+c(p-q)=x•{(q-r)+(r-p)+(p-q)}+d{(p-1)(q-r)+(q-1)(r-p)+(r-1)(p-q)}
=x×0+d×0=0
So, a(q-r)+b(r-p)+c(p-q)=0 Proved
13. (I) समांतर श्रेणी में तीन संख्याओं का योग 30 है और उनका गुणनफल 750 है| संख्याओं को प्राप्त करें-
उत्तर:-
तीन संख्याएँ–a-b, a, a+b
a-b+a+a+b=30
3a=30, a=30/3=10
(a-b)×a×(a+b)=750
(10-b)×10×(10+b)=750
10(100-b2)=750
100-b2=75
-b2=75-100=-25
b2=25
b=√25=5
a-b=10-5=5
a=10
a+b=10+5=15
(ii) समांतर श्रेणी के तीन पदों का योगफल 21 एवं प्रथम और तृतीय पदों का गुणनफल द्वितीय पद से 6 अधिक है| तो तीनों पद निकाले-
उत्तर:-
तीन संख्याएँ— a-b, a, a+b
a-b+a+a+b=21
3a=21, a=21/3=7
(a-b)×(a+b)=a+6
(7-b)×(7+b)=7+6
49-b2=13
-b2=13-49=-36
b=√36=6
a-b=7-6=1
a=7
a+b=7+6=13
14.(i) समांतर श्रेणी में चार पूर्ण संख्याओं का योगफल 24 है और उनका गुणनफल 945 है| संख्याएँ निकालें-
उत्तर:-
चार संख्याएँ–a-3b, a-b, a+b, a+3b
a-3b+a-b+a+b+a+3b=24
4a=24, a=24/4=6
(a-3b)×(a-b)×(a+b)×(a+3b)=945
(6-3b)×(6-b)(6+b)(6+3b)=945
1296-36b2-324b2+964=945
1296-360b2+9b4=945
9b4-360b2+1296-945=0
9b4-360b2+351=0
Let b2=p
9p2-360p+351=0
9p2-351p-9p+351=0
9p(p-39)-9(p-39)=0
(p-39)(9p-9)=0
p-39=0 9p-9=0
p=39 9p=9, p=1
b2=p b2=1
b2=39 b=√1
b=√39(not possible) b=1
a-3b=6-3×1=6-3=3
a-b=6-1=5
a+b=6+1=7
a+3b=6+3×1=6+3=9
(ii) समांतर श्रेणी की चार लगातार संख्याएँ ज्ञात करें जिनका योगफल 50 है तथा उनमें महत्तम लघुतम का चार गुना है|
उत्तर:-
चार संख्याएँ–a-3b, a-b, a+b, a+3b
a-3b+a-b+a+b+a+3b=50
4a=50, a=50/4=25/2
a+3b=4×(a-3b)
a+3b=4a-12b
4a-a=3b+12b
3a=15b
a=5b
25/2=5b (a=25/2)
b=5/2
a-3b= 25 – 3×5 = 25-15 = 10 =5
2 2 2 2
a-b= 25 – 5 = 25-5 = 20 =10
2 2 2 2
a+b= 25 + 5 = 25+5 = 30 =15
2 2 2 2
a+3b= 25 + 3×5 = 25 + 15 = 40 =20
2 2 2 2
15. 360 रुपये को तीन लड़कों में इस प्रकार बांटे कि सर्वाधिक पानेवाले को 200 रुपये और प्राप्त राशियाँ समांतर श्रेणी में हो|
उत्तर:-
तीन राशियाँ=a-b, a, a+b
a-b+a+a+b=360
3a=360, a=360/3=120
a+b=200 a=120
120+b=200 a-b=120-80
b=200-120=80 =40
A:P: 40,120,200………..
16. किसी त्रिभुज की परिमिति 24 सेमी है| यदि भुजाओं की लंबाई समांतर श्रेणी में हो एवं सबसे बड़ी भुजा सबसे छोटी भुजा से 6 सेमी अधिक हो तो त्रिभुज के प्रत्येक भुजा की लंबाई ज्ञात करें-
उत्तर:-
तीन लंबाई = a-b, a, a+b
a-b+a+a+b=24
3a=24, a=24/3=8
a+b=a-b+6
2b=6 , b=6/2=3
a-b=8-3=5
a=7
a+b=8+3=11
17. किसी चतुर्भुज के कोण समांतर श्रेणी में है यदि इसका सबसे छोटा कोण 60 है| तो चतुर्भुज के सबसे बड़े कोण का मान ज्ञान ज्ञात करें-
Ans:-
चतुर्भुज के कोण=a-3b, a-b, a+b, a+3b
a-3b+a-b+a+b+a+3b=360
4a=360, a=360/4=90
a-3b=60
90-3b=60
-3b=60-90=-30
b=-30/-3=10
a+3b=90+3×10=90+30=120°
18. कोई बच्चा किसी वर्ष के प्रथम सप्ताह में 5 रुपये बचाता है, उसके बाद वह साप्ताहिक बचत 1.75 रुपये बढ़ाता है| बताइये कि किस सप्ताह में उसकी साप्ताहिक बचय बचत 20.75 रुपये हो जाएगा|
Answer:-
An=20.75, a=5, d=1.75, n=?
An=a+(n-1)d
20.75=5+(n-1)×1.75
20.75=5+1.75n-1.75
20.75-5+1.75=1.75n
17.5=1.75n
n=17.5/1.75=10
19. एक व्यक्ति वर्ष 1995 में किसी नौकरी में 5000 रुपये प्रतिवर्ष वेतन पर लगा| प्रत्येक वर्ष वेतन में 200 की वार्षिक वृद्धि होती थी| किस वर्ष में उसका वेतन 7000 रुपये हुआ था|
Answer:-
An=7000, a=5000, d=200, n=?
An=a+(n-1)d
7000=5000+(n-1)×200
7000=5000+200n-200
7000-5000+200=200n
2200=200n
n=2200/200=11
20. निम्नलिखित में संख्याओं के माध्य निकाले-
(i) 7,19 (ii) -3, 15
Ans:- Ans:-
माध्य= a+b माध्य= a+b
2 2
= 7+19 =-3+15
2 2
= 26 = 12
2 2
=13 =6
(iii) 1 , 1 (iv)1.72, 2.71
3 8
Ans:- Ans:-
माध्य= a+b माध्य= a+b
2 2
1 + 1 = 1.72+2.71
= 3 8 2
2 = 443
8+3 2
= 24 =2.215
2
= 11
48
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