1. निम्नलिखित श्रेणियों का योगफल ज्ञात करें|
(i)3+4 1 +6+4……… 25 पदों तक|
2
Answer:-
a=3, d=4 1 – 3= 9 -3= 9-6 = 3 ,n=25
2 2 2 2
Sn= n {2a+(n-1)d}
2
= 25 {2×3+(25-1) 3 }
2 2
=25{6+24× 3 }
2 2
= 25 (6+36)
2
25 × 42 =25×21=525
2
(ii)2+4+6+8+10+……11 पदों तक
Answer:-
a=2, d=4-2=2, n=11
Sn= n {2a+(n-1)d}
2
= 11 {2×2+(11-1)×2}
2
= 11 {4+10×2}
2
= 11 (4+20)
2
11 ×24=11×12=132
2
(iii) 3 + 2 + 7 …….. 19 पदों तक
4 3 12
Answer:-
a=3/4, d= 2 – 3 = 8-9 = -1 , n=19
3 4 12 12
Sn= n {2a+(n-1)d}
2
19 {2× 3 +(19-1)×( -1 }
2 4 12
19 { 3 +18×(-1 )}
2 2 12
19 ( 3 – 18 )
2 2 12
19 ( 18-18 ) = 19 × 0 =0
2 12 2 12
(iii) 2.6,-6.2, -1. 5…….10 पदों तक
Answer:-
a=2.6, d=-6.2-2.6=-8.8, n=10
Sn= n {2a+(n-1)d}
2
10 {2×2.6+(10-1)×(-8.8)}
2
5×{5.2+9×(-8.8)}
5×(5.2-79.2)=5×(-74)=-370
(iv) n-1 + n-2 + n-3 …. n पदों तक
n n n
Answer:-
a= n-1 ,d= n-2 – n-1 = n-2-n+1= -1
n n n n n
n=n
Sn= n {2a+(n-1)d}
2
n {2× n-1 +(n-1)×( -1 )}
2 n n
n ( 2n-2 + -n+1 )
2 n n
n ( 2n-2-n+1 )
2 n
n × n- 1 = 1 (n-1)
2 n 2
(vi) (2- 1 )+(2- 3 )+(2- 5 )+…. Pपदों तक
p p p
Answer:-
a= 2 – 1 , d=2 – 3 -(2- 1 )
p p p
2-3-2+1 = -2 n=p
P p
Sn= n {2a+(n-1)d}
2
= p {2×(2- 1 ) + (p-1)( -2 )}
2 p p
p {4 – 2 – 2p + 2 )
2 p p p
p ( 4p-2 -2p +2 )
2 p
p × 2p =p
2 p
2. निम्नलिखित श्रेणियों का योगफल ज्ञात करें-
(i)10+20+30+40+50+……..200
Answer:- a=10, d=20-10=10, an=200
An=a+(n-1)d
200=10+(n-1)×10
200=10+10n-10
200=10n
n=20
Sn= n {2a+(n-1)d}
2
20 {2×10+(20-1)×10}
2
10(20+19×10)
10(20+190)=10×210=2100
(ii)5+15+25+……..+225
Answer:-
a=5, d=15-5=10, an=225
An=a+(n-1)d
225=5+(n-1)10
225=5+10n-10
225=10n-5
225+5=10n
230=10n
n=23
Sn= n {2a+(n-1)d}
2
23 {2×5+(23-1)10}
2
23 {10+22×10}
2
23 (10+220)
2
23 ×230
2
23×115=2645
(ii) 7+ 10 1 + 14+………..84
2
Answer:- a=7, d=10 1 -7= 21 -7
2 2
21-14 = 7 an=84
2 2
An=a+(n-1)d
84=7+(n-1) 7
2
84=7+ 7n – 7
2 2
84= 14+7n-7
2
168=7n+7
161=7n
n=161/7=23
(iii) -5+(-8)+(-11)+……… +(-230)
Answer:-a=-5,d=-8-(-5)=-8+5=-3,an=-230
An=a+(n-1)d
-230=-5+(n-1)×(-3)
-230=-5-3n+3
-230=-3n-2
-230+2=-3n
-228=-3n
n=-228/-3=76
Sn= n {2a+(n-1)d}
2
76 {2×(-5)+(76-1)×(-3)}
2
38(-10+75×(-3)}
38(-10-225)=38×(-235)=-8930
3.(i)t3=15, S10=125 तो d और t10 निकाले-
उत्तर:-
tn=a+(n-1)d
15=a+(3-1)d
a+2d=15 ———(1)
Sn= n {2a+(n-1)d}
2
125= 10 {2a+(10-1)d}
2
125=5(2a+9d)
2a+9d=125/5=25 ——(2)
From eq (1)×2 & (2)
2a+4d=30
2a+9d=25
-5d=5, d=-5/5=-1
Put the value of d in eq (1)
a+2d=15
a+2×(-1)=15
a-2=15
a=15+2=17
t10=17+(10-1)×(-1)=17-9=8
(ii) tn=4, d=2, sn=-14 तो n और a का मान निकाले-
उत्तर:-
tn=a+(n-1)d
4=a+(n-1)2
4=a+2n-2
a=4-2n+2 ———-(1)
Sn= n (a+an)
2
-14= n (a+4)
2
n(a+4)=-28 ———-(2)
Put the value of a in eq (1)
n(4-2n+2+4)=-28
n(10-2n)=-28
10n-2n2=-28
-2n2+10n+28=0
2n2-10n-28=0
n2-5b-14=0
n2+2n-7n-14=0
n(n+2)-7(n+2)=0
(n+2)(n-7)=0
n+2=0 n-7=0
n=-2 n=7
put the value of n in eq (1)
a=4-2n+2=4-2×7+2=4-14+2=6-14=-8
(iii) a=3, m=8, sn=192 तो d निकाले-
उत्तर:-
Sm= m {2a+(m-1)d}
2
192= 8 {2×3+(8-1)d}
2
192= 4(6+7d)
192=24+28d
192-24=28d
168=28d
d=168/28=6
4.(i) 101 से 999 तक समस्त सम संख्याओं का योगफल निकाले-
उत्तर:-
101 से 999 तक समस्त सम संख्या—–
102, 104,106,108,……998
a=102, d=104-102=2 an=998
An=a+(n-1)d
998=102+(n-1)2
998=102+2n-2
998=100+2n
898=2n
n=898/2=449
Sn= n {2a+(n-1)d}
2
449 {2×102+(449-1)2}
2
449 (204+448×2)
2
449 (204+896)
2
449 × 1100
2
449×550=246950
(ii)6 से विभाज्य प्रथम 40 धन पूर्णांकों का योग ज्ञात करें-
6 से विभाज्य प्रथम 40 धन पूर्णांक——–
6,12,18,24,………
a=6, d=12-6=6 n=40
Sn= n {2a+(n-1)d}
2
40 {2×6+(40-1)6}
2
20(12+39×6)
20(12+234)=20×246=4920
(iii)8 के प्रथम 15 गुणांकों का योग निकाले-
उत्तर:-
8 के प्रथम 15 गुणांक—–
8,16,24,32………..
a=8, d=16-8=8, n=15
Sn= n {2a+(n-1)d]
2
15 {2×8+(15-1)8}
2
15 (16+14×8)
2
15 (16+112)
2
15 ×128=15×64=960
2
5. (i) किसी समांतर श्रेणी का वां पद (3n-1) है तो इसके p पदों का योगफल ज्ञात करें-
Answer:-
3n-1
n=1, 3×1-1=3-1=2
n=2, 3×2-1=6-1=5
n=4, 3×3-1=9-1=8
2,5,8………
a=2, d=5-2=3 n=p
Sn= n {2a+(n-1)d}
2
p {2×2+(p-1)×3}
2
p {4+3p-3}
2
p {1+3p)
2
(ii) किसी समांतर श्रेणी के प्रथम 25 पदों का योग ज्ञात करें जिसका n वां पद tn=7-3n है|
Answer:-
7-3n
n=1, 7-3×1=7-3=4
n=2, 7-3×2=7-6=1
n=3, 7-3×3=7-9=-2
4,1,-2…….
a=4, d=1-4=-3, n=25
Sn= n {2a+(n-1)d}
2
25 {2×4+(25-1)×(-3)}
2
25 (8+24×(-3)}
2
25 (8-72)
2
25 × -64=25×(-32)=-800
2
(iii) किसी श्रेणी का n वां पद 9-5n है| क्या यह समांतर श्रेणी में है? यदि हां तो प्रथम 15 पदों का योगफल निकाले-
Answer:-
9-5n
n=1, 9-5×1=9-5=4
n=2, 9-5×2=9-10=-1
n=3, 9-5×3=9-15=-6
4,-1, -6…….
a=4, d=-1-4=-5, n=15
Sn= n {2a+(n-1)d}
2
15 {2×4+(15-1)×(-5)}
2
15 (8+14×(-5)}
2
15 (8-70)
2
15 × (-62) =15×(-31)=-465
2
6. (i) श्रेणी 1+3+5+7+9+…. के कितने पद मिलकर 1234321 होंगे|
उत्तर:-
a=1, d=3-1=2 sn=1234321
Sn= n {2a+(n-1)d}
2
1234321= n {2×1+(n-1)2)
2
1234321= n (2+2n-2)
2
1234321= n ×2n
2
n2=1234321
n=√1234321=111
(ii) समांतर श्रेणी 9,17,25….. के कितने पदों का योग 636 होगा?
Answer:-
a=9, d=17-9=8 , sn=636
Sn= n {2a+(n-1)d}
2
636= n {2×9+(n-1)×8}
2
1272=n(18+8n-8)
1272=n(8n+10)
8n2+10n-1272=0
4n2+5n-636=0
4n2+53n-48n-636=0
n(4n+53)-12(4n+53)=0
(4n+53)(n-12)=0
4n+53=0 n-12=0
4n=-53 n=12
n= -53
4
7. किसी समांतर श्रेणी का प्रथम पद 17 सार्व अंतर -2 तथा n पदों का योगफल 72 है|n का मान ज्ञात करें| n के दोहरे उत्तर की व्याख्या करें|
Answer:-
a=17, d=-2, sn=72, n=n
Sn= n {2a+(n-1)d}
2
72= n (2×17+(n-1)×(-2)}
2
154=n(34-2n+2)
154=n(36-2n)
36n-2n2-154=0
-2n2+36n-154=0
2n2-36n+154=0
n2-18n+72=0
n2-12n-6n+72=0
n(n-12)-6(n-12)=0
(n-12)(n-6)=0
n-12=0 n-6=0
n=12 n=6
अब n के दोहरे उत्तर की व्याख्या के लिए 7 वें पद से लेकर 12 वें पद तक का योग ज्ञात करना होगा
7 वां पद= a+(n-1)d
17+(7-1)×(-2)=17+6×(-2)=17-12=5
अत: 7 वें पद से लेकर 12 वें पद तक योगफल के लिए
n=(12-7)+1=5+1=6
a=7 वां पद=5 d=-2
सूत्र से योगफल= n {2a+(n-1)d}
2
6 {2×5+(6-1)×(-2)}= 6 (10-10)
2 2
6 ×0=0
2
अत: प्रथम 6 पदों का योगफल= प्रथम 12 पदों का योगफल
यही कारण है कि n के दो मान प्राप्त हुए हैं|
8. किसी श्रेणी के n वें पदों का योगफल 2n2+3n है| क्या वह श्रेणी समांतर श्रेणी में है? यदि हो तो श्रेणी लिखिये-
उत्तर:-
2n2+3n
n=1, 2×(1)2+3×1=2+3=5
n=2, 2×(2)2+3×2=8+6=14
n=3, 2×(3)2+3×3=18+9=27
Sn-Sn-1=tn
t2=S2-s1=14-5=9
t3=s3-s2=27-14=13
Series: 5,14,13…………….
9. किसी समांतर श्रेणी के n, 2n तथा 3n पदों के योगफल क्रमशः s1, s2 और s3 है तो सिद्ध करें कि s3=3×(s2-s1)
Answer:-
n, 2n, 3n
2n-n=3n-2n
n=n
S1=1, s2=2, s3=3
S3=3×(s2-s1)
3=3×(2-1)
3=3
s3=3×(s2-s1)
10. प्रथम 100 प्राकृत संख्याओं का योगफल निकाले-
उत्तर:-
n(n+1) = 100(100+1) = 100×101
2 2 2
50×101=5050
11. योगफल ज्ञात करें- 3+11+19+27+………+803
उत्तर:-
a=3, d=11-3=8 an=803
An=a+(n-1)d
803=3+(n-1)8
803=3+8n-8
803=8n-5
808=8n
n=808/8=101
Sn= n {2a+(n-1)d}
2
101 {2×3+(101-1)8}
2
101 {6+100×8)
2
101 × (6+800)
101 ×806
2
101×403=407003
12. कोई व्यक्ति प्रथम वर्ष में 320 रूपये बचाता है, द्वितीय वर्ष में 360 रुपये| इस प्रकार वह अपनी बचत प्रतिवर्ष 40 रूपये बढ़ाता जाता है| बताइये कि कितने वर्षों के बाद उसकी बचत 5000 रुपये हो जायेगा|
उत्तर:-
320+360+400+440+…………..+5000
a=320, d=360-320=40 sn=5000
Sn= n {2a+(n-1)d}
2
5000= n {2×320+(n-1)40}
2
5000= n (640+40n-40)
2
5000= n (600+40n)
2
5000= 300n+20n2
20n2+300n-5000=0
n2+15n-250=0
n2+25n-10n-250=0
n(n+25)-10(n+25)=0
(n+25)(n-10)=0
n-10=0 n+25=0
n=10 n=-25
13. (i) किसी उत्तल बहुभुज के अंत: कोण समांतर श्रेणी है| सबसे छोटा कोण 120° तथा सार्व अंतर=5 है| तो बहुभुज की भुजाओं की संख्या तथा अंत: कोणों का योगफल ज्ञात करें-
उत्तर:-
120°+125°+130°+135°……….
a=120°, d=125°-120°=5
Sn= n {2a+(n-1)}
2
n {2×120+(n-1)5}
2
n {240+5n-5}
2
n (235+5n)
2
235n + 5n2
2 2
पुनः ज्यामिति से कोणों का कुल योग=2×(n-2)×90
3(90n-180)=180n-360
235n + 5n2 =180n-360
2 2
235n+5n2 = 180n-360
2 1
235n+5n2=360n-720
5n2+235n-360n+720=0
5n2-125n+720=0
n2-25n+144=0
n2-16n-9n+144=0
n(n-16) -9(n-16)=0
(n-16) (n-9)=0
n-16=0 n-9=0
n=16 n=9
n=16 लेने पर n वां कोण=a+(n-1)d
120+(16-1)5=120+15×5
120+75=195 जो 180° से अधिक है अतः n=9
n {2a+(n-1)d}
2
9 {2×120+(9-1)5}
2
9 {240+8×5}
2
9 (240+40)
2
9 ×280=9×140=1260
2
(ii) किसी बहुभुज के अंत: कोण समांतर श्रेणी में है| सबसे छोटा कोण 42° तथा सार्व अंतर 33° है| बताइये इसमें कितनी भुजाएँ है|
उत्तर:-
बहुभुज के छोटा कोण 42° है और सार्व अंतर 33° है|
कोण इस प्रकार होंगे, 42°+42+33+42+2×33+42+3×33
=42+75+108+141+……..
Sn= n {2a+(n-1)d}
2
n {2×42+(n-1)×33}
2
n {84+33n-33}
2
n (51+33n)
2
51n + 33n2
2 2
ज्यामिति से, कोणों का योगफल=2(n-2)×90
51n + 33n2 = 2(n-2)×90
2 2
51n+33n2 = 2(n-2)×90
2
51n+33n2=4×90×(n-2)
51n+33n2=360n-720
33n2+51n-360n+720=0
33n2-309+720=0
11n2-103n+240=0
11n2-48n-55n+240=0
n(11n-48)-5(11n-48)=0
(n-5)(11n-48)=0
n-5=0 11n-48=0
n=5 n=48/11
(iii) किसी बहुभुज के अंत: कोण समांतर श्रेणी में है| इसका लघुतम कोण 88° और सार्व अंतर 10 है| भुजाओं की संख्या ज्ञात करें-
उत्तर:-
बहुभुज का लघुतम कोण 88 है| और सार्व अंतर 10 है| अतः इसका कोण इस प्रकार होगा
88+98+108+118+ कोणों का योगफल
n {2a+(n-1)d}
2
n {2×88+(n-1)10}
2
n {176+10n-10}
2
n (166+10n) =83+5n2
2
ज्यामिति से, कोणों का योगफल=2×(n-2)×90
83n+5n2=2(n-2)×90
83n+5n2=180n-360
5n2+83n-180n+360=0
5n2-97n+360=0
5n2-72n-25n+360=0
n(5n-72)-5(5n-72)=0
(5n-72)(n-5)=0
n-5=0 5n-72=0
n=5 n=72/5
14. किसी चतुर्भुज के कोण समांतर श्रेणी में है, उसका सार्व अंतर 2 है| कोणों को ज्ञात करें-
उत्तर:-
माना कि चतुर्भुज के एक कोण a है
दूसरा कोण a+2 तीसरा कोण a+4
चौथा कोण a+6
चतुर्भुज के चारों कोणों का योग=360
a+a+2+a+4+a+6=360
4a+12=360
4a=360-12=348
a=348/4=87
चतुर्भुज के चारों कोणों का योग=87, 89,91,93
15. एक कक्ष में कुछ विद्यार्थी है| इनकी आयु समांतर श्रेणी में है और सार्व अंतर 4 महीने है| यदि सबसे छोटे लड़के की आयु 8 वर्ष हो और कुल विद्यार्थियों की आयु का योगफल 168 वर्ष हो तो कक्षा में कितने विद्यार्थी है?
उत्तर:-
माना कि प्रथम लड़का उम्र=8 वर्ष
दूसरे लड़के की आयु=8+4/12
तीसरे का उम्र= 8+8/12
चौथे का उम्र=8+12/12
a=8, d=4/12
Sn= n {2a+(n-1)d}
2
168= n {2×8+(n-1) 4 }
2 12
168= n {16+ 4n – 4 }
2 12 12
168= n [192+4n-4]
2 12
168= n [ 188+4n ]
2 12
168×2= 188n+4n2
12
168×2×12=188n+4n2
4n2+188n-4032=0
n2+47n-1008=0
n2+63n-16n-1008=0
n(n+63)-16(n+63)=0
(n+63)(n-16)=0
n+63=0 n-16=0
n=-63 n=16
16. मान लिजीए कि दो व्यक्ति A और B एक ही स्थान से एक ही दिशा में प्रस्थान करते हैं| A प्रतिदिन लगातार 8 किलोमीटर दूरी तय करता है| B पहला दिन 5 किलोमीटर की दूरी तय करता है| फिर वह प्रतिदिन पूर्ववर्ती दिन से 3/4 किलोमीटर की दूरी अधिक तय करता है| अभिकलित कीजिये की B, A को कितने दिनों के बाद पकड़ लेगा|
उत्तर:-
माना कि n दिन के बाद B, A को पकड़ लेगा|
n दिन में A द्वारा तय दूरी= 8+ n=8n किलोमीटर
B द्वारा तय दूरी समांतर श्रेणी में जिसका प्रथम पद a=5, तथा पदांतर d=3/4 km
n दिन में तय की गई दूरी= n {2a+(n-1)d}
2
8n= n {2×5+(n-1) 3 }
2 4
8n×2=n(10+(n-1)3/4
8n×2 = 10 + 3n – 3
n 4 4
16-10= 3n-3
4
6×4=3n-3
24+3=3n
n=27/3=9
17. किसी कुएँ की सीध की एक रेखा में 5 मीटर की बराबर दूरी पर 25 वृक्ष है| कुएँ से सबसे नजदीक वृक्ष की दूरी 10 मी है| कोई माली कुएँ से चलकर एक एक करके सभी वृक्षों को खींचता है और प्रत्येक वृक्ष को खींचते हुए वह अगले वृक्ष के लिए पानी लाने को कुएँ पर लौट आता है| सभी वृक्षों को खींचते में माली द्वारा तय की गई दूरी निकाले-
उत्तर:-
लगाये गये वृक्षों की दूरी समांतर श्रेणी में है|
माली द्वारा तय की गई दूरी= n {2a+(n-1)d}
2
n=25
ऊपर के चित्र से, कुल दूरी=10+25+35+45+……… 25 पदों तक|
यहाँ प्रथम पद के बाद के पद समांतर श्रेणी में है|
यहाँ पदों की कुल संख्या=24
a=25
n=10
n {2a+(n-1)d}
2
24 {2×25+(24-1)10}
2
12{50+23×10}
12×{50+230}
12×280=3360
Total distance=10+3360=3370
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