प्रश्नावली-3B
1. (i) ax2+bx+c=0 के मूल वास्तविक एवं असमान होंगे यदि…… हो|
(ii) यदि ax2+bx+c=0 के मूल वास्तविक एवं समान होंगे यदि b2-4ac=………हो|
(iii) ax2+bx+c=0 के मूल वास्तविक नहीं होंगे यदि ………..हो|
(iv) यदि b2-4ac>0 तो ax2+bx+c के मूल…… होंगे|
(v) समीकरण ax2+bx+c=0 के लिए b2-4ac को ……….कहा जाता है|
Answer:-
(i) b2-4ac>0, (ii) 0, (iii) b2-4ac<0, (iv)वास्तविक एवं असमान (v) विवेचक
2. (i) समीकरण ax2+bx+c=0 के मूल समान होने के लिए प्रतिबंध लिखिये–
Answer:- b2-4ac=0 or b2=4ac
(ii)समीकरण ax2+bx+c=0 के मूल समान होने पर प्रत्येक मूल का मान लिखिये—-
Answer:- -b/2a
3. समीकरण 2×2-x-1=0 के लिए विविक्तकर का चिह्न लिखिये-
उत्तर:- धनात्मक (-1)2-4×2×(-1)=1+8=9
4. समीकरण 6×2-11x+3=0 के मूलों की प्रकृति लिखिये-
उत्तर:- वास्तविक एवं (-11)2-4×63=121-72=49 असमान
5. निम्नलिखित द्विघात समीकरण के विविक्तकर (विवेचक) का मान लिखें—-
(i) ax2-bx+c=0
a=a, b=-b, c=c
D=b2-4ac=(-b)2-4(-b)c=b2+4bc
(ii) x2-4x+6=0
a=1, b=-4, c=6
D=b2-4ac=(-4)2-4•1•6=16-24=-8
(iii) 3y2- 2y+ 1 =0
3
a=3, b=-2, c=1/3
D=b2-4ac=(-2)2-4•3• 1 =4-4=0
3
(iv) √3y2+11y+6√3=0
a=√3, b=11, c=6√3
D=b2-4ac=(11)2-4•√3•6√3=121-72=49
(v) √3y2-2√2y-2√3=0
a=√3, b=-2√2, c=-2√3
D=b2-4ac=(-2√2)2-4√3(-2√3)=8+24=32
(vi) 3√3×2+10x+√3=0
a=3√3, b=10, c=√3
D=b2-4ac=(10)2-4•3√3•√3=100-36=64
6. (i) यदि x-1,3×2-px+4 का एक गुणनखंड हो तो p का मान बताएं-
Answer:-
x-1=0
x=1
P(x)=3×2-px+4
3(1)2-p×1+4=0
3-p+4=0
P=7
(ii) x+3, ax2+x+1 का गुणनखंड हो तो का a मान बताएं-
उत्तर:-
x+3=0
x=-3
P(x) =ax2+x+1
P(-3)=a(-3)2-3+1=0
9a-2=0
a=2/9
7. मूल ज्ञात कर निम्नलिखित समीकरणों के मूलों की प्रकृति बताएं—-
(i) 5×2-4x+2=0
a=5, b=-4, c=2
D=b2-4ac=(-4)2-4×5×2=16-40=-24
Not real number
(ii) 6z2-3z+5=0
a=6, b=-3, c=5
D=b2-4ac=(-3)2-4×6×5=9-120=-111
Not real number
(Iii) 4y2=1
4y2-1=0
a=4, b=0, c=-1
D=b2-4ac=(0)2-4×4×(-1) =16
Yes real number
(iv) 4×2 -2x+ 3 =0
3 4
a=4/3 b=-2 c=3/4
D=b2-4ac=(-2)2-4/3×3/4=4-4=0
Yes real number
(v) a2y2+aby=b2
a2y2+aby-b2=0
a=a2, b=ab , c=-b2
(ab)2-4•a2-b2=a2b2+4a2b2=5a2b2
Yes
(vi) 9×2-6x+1=0
a=9, b=-6, c=1
D=b2-4ac=(-6)2-4×9×1=36-36=0
Yes
(Vii) √2×2-x-√2=0
a=√2, b=-1, c=-√2
D=b2-4ac=(-1)2-4×√2×(-√2)=1+8=9
Yes
(Viii) 5y2+12y-9=0
a=5, b=12, c=-9
D=b2-4ac=(12)2-4×5×(-9)=144+180=324
Yes
(ix) 9a2b2x2-48abcdx+64c2d2=0
a=9a2b2, b=-48abcd , c=64c2d2
D=b2-4ac=(-48abcd)2-4×9a2b2×64c2d2
=2304a2b2c2d2 -2304a2b2c2d2=0
Yes
(X) 64×2-112x+49=0
a=64, b=-112, c=49
D=b2-4ac=(-112)2-4×64×49=12544-12544=0
Yes
8. यदि मूल वास्तविक हो तो निम्नलिखित द्विघात समीकरणों के मूल ज्ञात करें-
उत्तर:-
(i) 4×2-9=0
a=4, b=0, c=-9
D=b2-4ac=(0)2-4×4×(-9)=144
X= -b+-√D = -0+-√144 = +-12
2a 2×4 8
12/8=3/2
-12/8=-3/2
(ii) a2p2x2-q2=0
a=a2p2, b=0, c=-q2
D=b2-4ac=(0)2-4×a2p2×(-q2)=4a2p2q2
X=-b+-√D = -0+-√4a2p2q2 =+-2apq
2a 2a2p2 2a2p2
q/ap, -q/ap
(iii) (2x+1) (2x-1) =3
2x×2x-1×2x+1×2x-1×1=3
4×2-2x+2x-1=3
4×2-4=0
a=4, b=0, c=-4
D=b2-4ac=(0)2-4•4•(-4)=64
X=-b+-√D = -0+-√64 = +-8
2a 2×4 8
8/8=1, -8/8=-1
(iv) -2y2+y+1=0
a=-2, b=1, c=1
D=b2-4ac=(1)2-4•(-2)•(1)=8+1=9
X=-b+-√D =-1+-√9 =-1+-3
2a 2×(-2) -4
-1-3 = -4/-4=1
-4
-1+3 =2/-4=-1/2
-4
(V) 1/4×2-x+1=0
a=1/4, b=-1, c=1
D=b2-4ac=(-1)2-4•1/4•1=1-1=0
X=-b+-√D =-(-1)+-√0 =1 =2, 2
2•1/4 1/2 1/2
(vi) 2×2-6x+3=0
a=2, b=-6, c=3
D=b2-4ac=(-6)2-4•2•3=36-24=12
X= -b+-√D = -(-6) +-√12 = 6+-2√3
2a 2×2 4
2(3+-2√3) = 3+-2√3
4 2
(vii) 18×2-9x-14=0
a=18, b=-9, c=-14
D=b2-4ac=(-9)2-4•18•(-14)=81+1008=1089
X= -b+-√D = -(-9)+-√1089 = 9+-33
2a 2×18 36
9+33 = 42 = 7
36 36 6
9-33 = -24 = -2
36 36 3
(Viii) z2+1/2z-3=0
a=1, b=1/2, c=-3
D=b2-4ac=( 1 )2 -4×1×(-3)= 1 +12
4
1+48 = 49
4 4
X=-b+-√D = (-1/2) +-√49/4 =-1/2 +- 7/2
2a 2×1 2
-1 + 7 = -1+7 = 6 = 3
2 2 2 4 2
2 2
-1 – 7 = -1-7 = -8 =-2
2 2 2 4
2 2
(ix) 3a2y2-aby=2b2
3a2y2-aby-2b2=0
a=3a2, b=-ab, c=-2b2
D=b2-4ac=(-ab)2-4•3a2•(-2b2)=a2b2+24a2b2=25a2b2
X=-b+-√D = -(-ab)+- √25a2b2 = ab+-5ab
2a 2×3a2 6a2
ab+5ab = 6ab = b
6a2 6a2 a
ab – 5ab = -4ab = -2ab
6a2 6a2 3a
(X) 6×2+40=31x
6×2-31x+40=0
a=6, b=-31, c=40
D=b2-4ac=(-31)2-4•6•40=961-960=1
X= -b+- √D = -(-31) +- √1 = 31+-1
2a 2×6 12
31+1 = 32 = 8
12 12 3
31-1 = 30 = 5
12 12 2
(xi) 2(x2+1)=5x
2×2+2=5x
2×2-5x+2=0
a=2, b=-5, c=2
D=b2-4ac=(-5)2-4•2•2=25-16=9
X= -b+-√D = (-5)+-√9 = 5+-3
2a 2×2 4
5+3 = 8 =2
4 4
5-3 = 2 = 1
4 4 2
(xii) a2x2-3abx+2b2=0
a=a2, b=-3ab, c=2b2
D=b2-4ac=(-3ab)2-4•a2•2b2=9a2b2-8a2b2=a2b2
X= -b+-√D = -(-3ab)+-√a2b2 = 3ab+-ab
2a 2a2 2a2
3ab+ab = 4ab = 2b
2a2 2a2 a
3ab-ab = 2ab = b
2a2 2a2 a
(xiii) √7y2-6y-13√7=0
a=√7, b=-6, c=-13√7
D=b2-4ac=(-6)2-4•√7•(-13√7)=36+364=400
X= -b+-√D = -(-6)+-√400 = 6+-20
2a 2√7 √7
6+20 = 26 = 13
2√7 2√7 √7
6-20 = -14 = -2•√7•√7 =-√7
2√7 2√7 2√7
(Xiv) 3×2-4√3x+4=0
a=3, b=-4√3, c=4
D=b2-4ac=(-4√3)2-4•3•4=48-48=0
X=-b+-√D = -(-4√3)+-0 = 4√3
2a 2×3 6
4√3 = 2 , 2
√3•√3•2 √3 √3
(Xv) 1 + 2 = 4
x+1 x+2 x+4
x+2 + 2x+2 = 4
(x+1)(x+1) x+4
3x+4 = 4
x2+2x+x+2 x+4
3x+4 = 4
x2+3x+2 x+4
3×2+12x+4x+16=4×2+12x+8
4×2+12x+8-3×2-12x-4x-16=0
x2-4x-8=0
a=1, b=-4, c=-8
D=b2-4ac=(-4)2-4•1•(-8)=16+32=48
x=-b+-√D =-(-4)+-√48=4+-√48 =4+-4√3
2a 2•1 2 2
4+4√3 =2(2+2√3) = 2+2√3
2 2
4-4√3 = 2(2-2√3) = 2-2√3
2 2
(xvi) x2-x+2=0
a=1, b=-1, c=2
D=b2-4ac=(-1)2-4•1•2=1-8=-7 not real number
(Xvii) y2-4y-1=0
a=1, b=-4, c=-1
D=b2-4ac=(-4)2-4•1•(-1)=16+4=20
X= -b+-√D = -(-4)+-√20 = 4+-√20
2a 2•1 2
2(2+2√5) =2+√5
2
2(2-2√5) =2-√5
2
9.(i) p के किस मानों के लिए px2-5x+3=0 के मूल बराबर है|
(ii)k के किस मानों के लिए kx(x-2)+6=0 के मूल बराबर है|
(iii)k के किस मानों के लिए 2×2+kx+3=0 के मूल बराबर है|
उत्तर:-
(i) px2-5x+3=0
a=p, b=-5, c=3
D=b2-4ac=(-5)2-4×p×3=25-12p
25-12p=0
25=12p
P=25/12
(ii) kx(x-2) +6=0
kx2-2kx+6=0
a=k, b=-2k, c=6
D=b2-4ac=(-2k)2-4•k•6=4k2-24k
4k2-24k=0
4k2=24k
k=24k/4k=6
(iii) 2×2+kx+3=0
a=2, b=k, c=3
D=b2-4ac=k2-4•2•3=k2-24
k2-24=0
k2=24
K=√24=+-2√6
10. यदि a+b=/0 तो (a+b)x2-ax-b के मूल वास्तविक होंगे इसे सिद्ध करें|
उत्तर:-
यहाँ a=(a+b), b=a, c=-b
D=b2-4ac>_0
=a2-4(a+b)×(-b)=a2+4ab+4b2
a+b=0 नहीं है| यानि b2-4ac का मान 0 से बड़ा होगा अत: D वास्तविक होगा|
11. (i) p के किन मानों के लिए 2px2+3x+1=0 के मूल वास्तविक होंगे?
उत्तर:-
2px2+3x+1=0
a=2p, b=3, c=1
D=b2-4ac=(3)2-4•2p•1=9-8p
9-8p=0
9=8p
P=9/8
(ii) p के वे मान ज्ञात करें जिनके लिए द्विघात समीकरण 5px2-8x+2=0 के मूल वास्तविक है|
उत्तर:-
5px2-8x+2=0
a=5p, b=-8, c=2
D=b2-4ac=(-8)2-4•5p•2=64-40p
64-40p=0
64=40p
P=64/40=8/5
12. सिद्ध करें कि x2-3x+2 धन होगा यदि
x>2 x<1
Answer:-
x2-3x+2
a=1, b=-3, c=2
D=b2-4ac=(-3)2-4•1•2=9-8=1
X=-b+-√D = -(-3) +-√1 = 3+-1
2a 2•1 2
3+1 = 4 =2
2 2
3-1 = 2 =1
2 2
ax2+bx+c=a(x-a) (x-b) where a, b
संगत समीकरण के मूल है|
x2-3x+2=1•(x-2) (x-1) =(x-2) (x-1)
यदि x>1 तो x-2=धन
x-1=धन
धन×धन=धन
यदि x<1
तो x-2=ऋण
x-1=ऋण
ऋण×ऋण=ऋण
अत: x2-3x+2 धन होगा|
13. p के किस मानों के लिए द्विघात व्यंजकों के वास्तविक गुणनखंड होंगे?
(i) 4×2-x+p
a=4, b=-1, c=p
D=b2-4ac=(-1)2-4•4•p=1-16p
1-16p=0
1=16p
p=1/16
(ii) x2-px+1
a=1, b=-p, c=1
D=b2-4ac=(-p)2-4•1•1=p2-4
p2-4=0
p2=4
p=√4=+-2
(iii) 5px2-8x+1
a=5p, b=-8, c=1
D=b2-4ac=(-8)2-4•5p•1=64-20p
64-5p=0
64=5p
p=64/5=8/5
(iv) px2+4x+1
a=p, b=4, c=1
D=b2-4ac=(4)2-4•p•1=16-4p
16-4p=0
16=4p
p=16/4=4
14. गुणनखंड विधि से हल करें-
(i) x2-2x=0
x(x-2)=0
x=0, x-2=0, x=2
(ii) 3z-z2=0
z(3-z)=0
z=0, 3-z=0, z=3
(iii) mz2-pz=0
z(mz-p)=0
z=0, mz-p=0, mz=p, z=m/p
(iv) ax2-2abx=0
ax(x-2b)=0
ax=0 x-2b=0, x=2b
x=0
15. (i) x2-36=0
x2-6×6=0
(x+6) (x-6) =0
x+6=0 x-6=0
x=-6 x=6
(ii) 9×2-16=0
(3x)2-(4)2=0
(3x+4) (3x-4) =0
3x+4=0 3x-4=0
3x=-4 3x=4
x=-4/3 x=4/3
(iii) 64×2-9=0
(8x)2-(3)2=0
(8x+3) (8x-3)=0
8x+3=0 8x-3=0
8x=-3 8x=3
x=-3/8 x=3/8
(iv) y2-3=0
y2-(√3)2=0
(y+√3) (y-√3)=0
y+√3=0 y-√3=0
y=-√3 y=√3
(v) (x+2)2-121=0
(x+2)2-(11)2=0
(x+2+11) (x+2-11)=0
(x+13) (x-9)=0
x+13=0 x-9=0
x=-13 x=9
(Vi) (x+5)2-36=0
(x+5)2-6×6=0
(x+5+6) (x+5-6) =0
(x+11) (x-1) =0
x+11=0 x-1=0
x=-11 x=1
16. (i) x2+2x+1=0
x2+x+x+1=0
x(x+1)+1(x+1)=0
(x+1) (x+1) =0
x+1=0 x+1=0
x=-1 x=-1
(ii) x + 4 = -4
1 x
x2+4 =-4
x
x2+4=-4x
x2+4x+4=0
x2+2x+2x+4=0
x(x+2) +2(x+2) =0
(x+2) (x+2)=0
x+2=0 x+2=0
x=-2 x=-2
(iii) y2-8y+16=0
y2-4y-4y+16=0
y(y-4) -4(y-4) =0
(y-4) (y-4) =0
y-4=0 y-4=0
y=4 y=4
(Iv) 4y2+4y+1=0
4y2+2y+2y+1=0
2y(2y+1)+1(2y+1)=0
(2y+1) (2y+1)=0
2y+1=0 2y+1=0
2y=-1 2y=-1
y=-1/2 y=-1/2
(v) 9×2-3x+ 1 =0
4
9×2- 3 x – 3x + 1 =0
2 2 4
3x(3x – 1 ) – 1 (3x- 1 ) =0
2 2 2
(3x- 1 ) (3x- 1 ) =0
2 2
3x- 1 =0 3x – 1 =0
2 2
3x= 1 3x= 1
2 2
x= 1 = 1 x= 1 = 1
3×2 6 3×2 6
(Vi) z2-z+1/4=0
z2- z – z + 1 =0
2 2 4
z(z- 1 ) – 1 (z- 1 ) =0
2 2 2
(z- 1 ) (z – 1 ) =0
2 2
z – 1 =0 z- 1 =0
2 2
z=1/2, z=1/2
(Vii) 1×2 – 2x +1=0
9 3
1×2 – x – x +1=0
9 3 3
1x ( x – 1) – 1( x -1) =0
3 3 3
( x -1) ( x -1) =0
3 3
x -1=0 x -1=0
3 3
x-3 =0 x-3 =0
3 3
x-3=0 x-3=0
x=3 x=3
(Viii) y2+2√3y+3=0
y2+√3y+√3y+3=0
y(y+√3)+√3(y+√3)=0
(y+√3)(y+√3) =0
y+√3=0 y+√3=0
y=-√3 y=-√3
(ix) 3×2-2x+ 1 =0
3
3×2-x-x+ 1 =0
3
3x(x- 1 ) -1(x- 1 ) =0
3 3
(x- 1 ) (x- 1 ) =0
3 3
x- 1 =0 x- 1 =0
3 3
x= 1 x= 1
3 3
(X) x2-4qx+4q2=0
x2-2qx-2qx+4q2=0
x(x-2q) -2q(x-2q) =0
(x-2q) (x-2q) =0
x-2q=0 x-2q=0
x=2q x=2q
17. (i) x2+x-20=0
x2+5x-4x-20=0
x(x+5)-4(x+5) =0
(x+5) (x-4) =0
x+5=0 x-4=0
x=-5 x=4
(ii) x2-2x-143=0
x2-13x+11x-143=0
x(x-13)+11(x-13) =0
(x-13) (x+11) =0
x-13=0 x+11=0
x=13 x=-11
(iii) y2+3y-18=0
y2+6y-3y-18=0
y(y+6)-3(y+6) =0
(y+6) (y-3) =0
y+6=0 y-3=0
y=-6 y=3
18. (i) 6×2+17x+12=0
6×2+9x+8x+12=0
3x(2x+3)+4(2x+3)=0
(2x+3) (3x+4)=0
2x+2=0 3x+4=0
2x=-3 3x=-4
x=-3/2 x=-4/3
(ii) √3×2+16x+13√3=0
√3×2+3x+13x+13√3=0
√3x(x+√3) +13(x+√3) =0
(x+√3) (√3x+13)=0
x+√3=0 √3x+13=0
x=-√3 √3x=-13, x=-13/√3
(iii) 3×2+10=11x
3×2-11x+10=0
3×2-6x-5x+10=0
3x(x-2) -5(x-2) =0
(x-2)(3x-5)=0
x-2=0 3x-5=0
x=2 3x=5, x=5/3
(iv) x2-11x + 15 =0
4 8
x2- 3x – 5x + 15 =0
2 4 8
x(x- 3 ) – 5 (x- 3 ) =0
2 4 2
(x – 3 ) (x – 5 ) =0
2 4
x-3/2=0 x-5/4=0
x=3/2 x=5/4
(V) 8×2-22x-21=0
8×2-28x+6x-21=0
4x(2x-7) +3(2x-7) =0
(2x-7) (4x+3) =0
2x-7=0 4x+3=0
2x=7 4x=-3
x=7/2 x=-3/2
(Vi) 5z2-3z-2=0
5z2-5z+2z-2=0
5z(z-1) +2(z-1)=0
(z-1)(5z+2)=0
z-1=0 5z+2=0
z=1 5z=-2, z=-2/5
(Vii) 5×2- 17 x + 3 =0
2 2
5×2- 15x – x + 3 =0
2 2
5x(x-3/2)-1(x-3/2)=0
(5x-1)(x-3/2) =0
5x-1=0 x-3/2=0
5x=1 x=3/2
x=1/5
(Viii) x2 – 1x – 1 =0
12 12
x2 – 1x + 1x – 1 =0
3 4 12
x(x-1/3) + 1 (x- 1/3) =0
4
(x-1/3) (x+1/4) =0
x-1/3=0 x+1/4=0
x=1/3 x=-1/4
(Ix) 9y2-3y-2=0
9y2-6y+3y-2=0
3y(3y-2) +1(3y-2)=0
(3y-2)(3y+1)=0
3y-2=0 3y+1=0
3y=2 3y=-1
y=2/3 y=-1/3
(X) abx2+(b2-ac)x=bc
abx2+b2x-acx-bc=0
bx(ax+b)-c(ax+b)=0
(ax+b)(bx-c)=0
ax+b=0 bx-c=0
ax=-b bx=c
x=-b/a x=c/b
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