Bharti Bhawan Class-10 Math Pair of Linear Equations in Two Variables Solution Exercise-2C

                             प्रश्नावली-2C

1. A की उम्र, B की उम्र चार गुनी है| पांच वर्ष पहले A की उम्र B की उम्र की 9 गुणी थी| कथनों के समीकरणों को लिखिए– 

उत्तर:- माना कि A की उम्र X तथा B की उम्र Y है|

X=4Y

पांच वर्ष पहले उम्र=X-5=(Y-5)•9

2. दो अंकों की एक संख्या है, अंकों का योगफल 6 है| अंकों के उलट जाने से जो नयी संख्या बनती है, वह पहली संख्या की 7/4 गुनी है| यदि पहली संख्या के इकाई और दहाई के अंक क्रमशः X, Y हो तो कथन को X, Y के दो समीकरणों में व्यक्त करें—

उत्तर:-10Y+X

X+Y=6

7/4(10Y+X)=10X+Y

3. किसी भिन्न के अंश और हर में 1 जोड़ देने पर वह 4 के बराबर हो जाता है और यदि उसके अंश और हर में से 1 घटा देने पर 7 के बराबर हो जाता है| कथनों के समीकरण बनाएं—-

उत्तर:- अंश=x

हर=y

भिन्न=x/y

x+1 =4

Y+1

X-1=7

Y-1

4.2KG सेब और 1KG अंगूर की कीमत किसी दिन 160 रूपये पाया गया एक महीना बाद 4KG सेब और 2KG अंगूर का मूल्य 300 रुपये है| कथनों के समीकरण बनाएं आलेखीय प्रदर्शन भी करें—-

उत्तर:-

माना कि 1KG सेब का दाम=X

तथा 1KG अंगूर का दाम =Y

2X+Y=160  —–(1) 

4X+2Y=300

=>2X+Y=150   ——-(2) 

5.(i) दो संख्याओं का योगफल 50 है और यदि उनमें से एक संख्या, दूसरी संख्या की 7/3 गुनी हो तो संख्याएँ निकालें—-

उत्तर:-

माना कि पहली संख्या=x

दूसरी संख्या=y

X+y=50   —-(1) 

X=  7y  

       3

X-  7y   =0

      3

3x-7y=0    ——(2) 

समीकरण (1) को 7 से तथा (2) को 1 से गुणा करने पर, 

7x+7y=350

3x-7y=0      

10x=350

x=350/10=35

X  का मान समीकरण (1) में रखने पर, 

X+y=50

35+y=50

Y=50-35=15

(ii) दो संख्याओं का अंतर 4 है और योगफल 6 है तो संख्या निकालें-

उत्तर:- x-y=4        ——(1) 

         x+y=6          ——-(2) 

        2x=10

         X=10/2=5

X का मान समीकरण (1) में रखने पर, 

X-y=4

5-y=4

-y=4-5=-1

y=1

(iii) एक संख्या दूसरी संख्या की तीन गुणी है एवं उनका योगफल 16 है, संख्या निकालें-

उत्तर:- x=3y

x-3y=0 ——–(1) 

x+y=16     ——-(2) 

-4y=-16

y= -16/-4

y=4

put the value of y in equation (2) 

x+y=16

x+4=16

x=16-4=12

6. (i) यदि किसी भिन्न के हर में 1 जोड़ने पर वह 1/2 हो जाता है और अंश में से 2 घटाने पर 1/3 हो जाता है, तो भिन्न ज्ञात करें—-

उत्तर:-

अंश=x, हर=y, भिन्न=x/y

    x     =   1  

  y+1        2

2x=y+1

2x-y=1      ——-(1) 

   x-2    =   1   

    y            3

3x-6=y

3x-y=6     ——–(2) 

 From equation (1) &(2) 

2x-y=1

3x-y=6   

-x=-5

x=5

Put the value of x in equation (1) 

2x-y=1

2•5-y=1

10-y=1

-y=1-10=-9

y=9

Fraction=x/y=5/9

(ii) किसी भिन्न के अंश के साथ 1 जोड़ने पर उसका मान 1 हो जाता है, किन्तु जब अंश में से 1 घटाया जाता है और हर में 2 जोड़ा जाता है तो भिन्न 1/3 हो जाता है तो उस भिन्न को निकालें—–

उत्तर:-

अंश=x, हर=y, भिन्न=x/y

   x+1   =1

    y

x+1=y

x-y=-1   ——-(1) 

    x-1    =   1  

   y+2         3

3(x-1)=1(y+2) 

3x-3=y+2

3x-y=2+3

3x-y=5   ——–(2) 

From equation (1) &(2) 

x-y=-1

3x-y=5     

-2x=-6

x=-6/-2=3

Put the value of x in eq(1) 

x-y=-1

3-y=-1

-y=-1-3=-4

y=4

(iii) यदि किसी भिन्न का हर उसके अंश में जोड़ कर जाए और उसका अंश हर में से घटा दिया जाए तो भिन्न 11/3 हो जाता है| वह भिन्न ज्ञात कीजिये यदि उसका अंश हर से 3 कम है? 

उत्तर:-

अंश=x, हर=y, भिन्न=x/y

  x+y   =   11   

  y-x          3

3x+3y=11y-11x

3x+11x+3y-11y=0

14x-8y=0   ——(1) 

x=y-3

x-y=-3       ———-(2) 

Equation (1)•1 & (2)•8

14x-8y=0

8x-8y=-24    

6x=24

x=24/6=4

Put the value of x in equation (2) 

x-y=-3

4-y=-3

-y=-3-4=-7

y=7

(iv) किसी भिन्न के अंश और हर में 2 जोड़ने पर वह 9/11 हो जाता है| यदि हर और अंश दोनों में 3 जोड़ दिया जाता है तो वह 5/6 हो जाता है तो भिन्न ज्ञात करैं—–

उत्तर:-

x+2    =   9  

y+2        11

11x+22=9y+18

11x-9y=18-22

11x-9y=-4   ———(1) 

  x+3    =   5   

  y+3         6

6x+18=5y+15

6x-5y=15-18=-3

6x-5y=-3   ———-(2) 

Eq(1)•6 &  (2)•11

66x-54y=-24

66x-55y=-33    

       -y=-9

        y=9

Put the value of y in eq(1) 

11x-9y=-4

11x-9•9=-4

11x-81=-4

11x=-4+81=77

x=77/11=7

(V) वह भिन्न निकाले जिसके अंश में 1 जोड़ने पर और हर में 1 घटाने पर भिन्न हो जाता है| जबकि केवल हर में 1 जोड़ने पर भिन्न 1/2 हो जाता है|

उत्तर:-

  x+1   =   1  

  y-1          1

x+1=y-1

x-y=-1-1=-2

x-y=-2   ——-(1) 

   x      =   1      

  y+1        2

2x=y+1

2x-y=1    ——–(2) 

Eq(1) &(2) 

x-y=-2

2x-y=1   

-x=-3

x=3

Put the value of x in eq(1) 

x-y=-2

3-y=-2

-y=-2-3=-5

y=5

(vi) किसी भिन्न के अंश में 1 घटाने पर वह 1/3 हो जाता है और हर में 8 जोड़ने पर वह 1/4 हो जाता है| भिन्न ज्ञात करें—

उत्तर:-

   x-1    =    1   

    y            3

3x-3=y

3x-y=3   ——–(1) 

       x        =    1    

     y+8            4

4x=y+8

4x-y=8     ———(2) 

Eq(1) &(2) 

3x-y=3

4x-y=8     

-x=-5

x=5

Put the value of x in (1) 

3x-y=3

3•5-y=3

15-y=3

-y=3-15=-12

y=12

7. (i) दो अंकों वाली एक संख्या के अंकों का योगफल 15 है| अंकों के स्थान बदलने पर प्राप्त संख्या मूल संख्या से 9 अधिक है| संख्या ज्ञात करें-

उत्तर:- 

इकाई=x, दहाई=y

Number=10y+x

x+y=15   ——-(1) 

10y+x+9=10x+y

10y-y+x-10x=-9

9y-9x=-9

9x-9y=9    

x-y=1    (divided by 9) —–(2) 

Eq(1) &(2) 

X+y=15

X-y=1    

2x=16

x=16/2=8

Put the value of x in eq(1) 

x+y=15

8+y=15

y=15-8=7

Number=10y+x=10•7+8=70+8=78

(ii) 10 और 100 के बीच की कोई संख्या है| वह अपने अंकों के योग की आठ गुनी है| यदि उस संख्या में से 45 घटा दिया जाए तो अंकों के स्थान बदल जाते हैं| बताएं वह संख्या क्या है? 

उत्तर:-

इकाई=x, दहाई=y

संख्या=10y+x

10y+x=(x+y)8

10y+x=8x+8y

10y+x-8x-8y=0

-7x+2y=0    ——-(1) 

10y+x-45-10x-y=0

-9x+9y=45   ——-(2) 

Eq (1)•9 & (2)•2

-63x+18y=0

-18x+18y=90      

-45x=-90

x=-90/-45=2

x=2

Put the value of x in eq(2) 

-9x+9y=45

-9•2+9y=45

-18+9y=45

9y=45+18=63

y=63/9=7

Number=10y+x=10•7+2=70+2=72

(iii) दो अंकों की संख्या, अंकों के योग की चार गुनी है| संख्या में 18 जोड़ने पर संख्या के अंकों के स्थान पलट जाते हैं, तो वह संख्या निकालें-

उत्तर:-

इकाई=x, दहाई=y

Number=10y+x

10y+x=(x+y)•4

10y+x=4x+4y

10y+x-4x-4y=0

6y-3x=0 ——(1) 

10y+x+18=10x+y

10y+x+18-10x-y=0

9y-9x=-18  ——-(2) 

Eq (1)•3 & (2)•1

18y-9x=0

9y-9x=-18       

9y=18

y=18/9=2

Put the value of y in eq(1) 

6y-3x=0

6•2-3x=0

12-3x=0

3x=12

x=12/3=4

Number=10y+x=10•2+4=20+4=24

(iv) दो अंकों की एक संख्या है| इन दोनों अंकों का योगफल 9 है| अंकों के स्थान पलटने पर प्राप्त संख्या और प्रदत्त संख्या का अनुपात 3:8 है, तो प्रदत्त संख्या क्या है? 

उत्तर:-

इकाई=x,  दहाई=y

Number=10y+x

x+y=9   ——(1) 

  10y+x     =   3  

  10x+y          8

8(10y+x)=3(10x+y) 

80y+8x=30x+3y

80y+8x-30x-3y=0

77y-22x=0     ————(2) 

From eq(1)•22 &(2)•1

22x+22y=198

77y-22x=0           

99y=198

y=198/99=2

Put the value of y in eq(1) 

x+y=9

x+2=9

x=9-2=7

Number=10x+y=10•7+2=70+2=72

(V) दो अंकों की एक संख्या के अंकों का योगफल 9 है| फिर उस संख्या का नौ गुना अंकों के क्रम के पलटने से बनी संख्या को दो गुना है| संख्या ज्ञात करें-

उत्तर:- इकाई x, दहाई y,  संख्या=10y+x

x+y=9   ——(1) 

(10y+x)•9=(10x+y)•2

90y+9x=20x+2y

90y+9x-20x-2y=0

-11x+88y=0

-x+8y=0    ——–(2) 

From eq(1) &(2) 

x+y=9

-x+8y=0     

9y=9

y=1

Number=10y+x=10•1+8=10+8=18

(Vi) दो अंकों वाली संख्या तथा उन अंकों को पलटने से प्राप्त संख्या का योग 99 है| यदि वांछित संख्या में 5 जोड़ दिया जाए और प्राप्त संख्या वांछित संख्या के अंकों के जोड़ के छ: गुने से 4 कम है| वांछित संख्या ज्ञात करें—–

उत्तर:-

इकाई x,  दहाई y,   संख्या-10y+x

10y+x+10x+y=99

11x+11y=99

x+y=9    ——–(1) 

x+10y+5=6(x+y)-4

x+10y+5=6x+6y-4

x+10y-6x-6y=-4-5

-5x+4y=-9   ——–(2) 

From eq (1)•5&(2) 

5x+5y=45

-5x+4y=-9    

9y=36

y=36/9=4    

Put the value of y in eq (1) 

x+y=9

x+4=9

x=9-4=5 

Number=10y+x=10•4+5=45

(Vii) दो अंकों वाली संख्या के अंकों को पलटने से जो संख्या प्राप्त होती है वह और मूल संख्या का योग 66 है| अंकों का अंतर 2 है| वह संख्या बताइए-

उत्तर:-

इकाई x,  दहाई y,   संख्या 10y+x

10y+x+10x+y=66

11x+11y=66     ——(1) 

x-y=2                ———(2) 

From eq (1) &(2)•11

11x+11y=66

11x-11y=22     

22x=88

x=88/22=4

Put the value of x in eq(2) 

x-y=2

4-y=2

y=4-2=2

Number=10y+x=10•2+4=20+4=24

(Viii) 100 से कम किंतु 10 से अधिक किसी संख्या के अंकों का अन्तर 3 है| यदि संख्या को 7 से गुणा किया जाए तो वह अंकों के क्रम बदलने पर प्राप्त संख्या के चार गुने के बराबर होती है इस संख्या को निकालें—-

उत्तर:-

इकाई x, दहाई y  संख्या  10y+x

 x-y=3   ——-(1) 

7(10y+x)=(10x+y)•4

70y+7x=40x+4y

70y+7x-40x-4y=0

66y-33x=0

6y-3x=0    ———(2) 

From eq (1)•3&(2) 

3x-3y=9

6y-3x=0     

3y=9

y=9/3=3

Put the value of y in eq (1) 

x-y=3

x-3=3

X=3+3=6

Number=10y+x=10•3+6=30+6=36

8.(i) यदि दो अंकों की एक संख्या में उनके अंकों को जोड़ से भाग दिया जाए तो योगफल 7 और शेष 3 होता है| यदि अंकों को उलट दिया जाए तो भागफल 3 और भाग शेष 7 हो जाता है| संख्या निकालें—–

उत्तर:-

इकाई=x,  दहाई=y    संख्या=10y+x

भाज्य=भाजक×भागफल+शेष

10y+x=(x+y)×7+3

10y+x=7x+7y+3

10y+x-7x-7y=3

3y-6x=3     

y-2x=1       ———(1) 

10x+y=(x+y)×3+7

10x+y=3x+3y+7

10x+y-3x-3y=7

7x-2y=7      ———-(2) 

From eq (1)×2&(2) 

2y-4x=2

7x-2y=7   

3x=9

x=9/3=3

Put the value of x in eq (1) 

y-2x=1

y-2×3=1

y-6=1

y=6+1=7   

Number=10y+x=10×7+3=70+3=73

(ii) एक दो अंकों वाली संख्या, अंकों के योगफल के आठ गुने से अधिक है और फिर अंकों के अंतर के 13 गुने से अधिक है| तो संख्या निकालें—-

उत्तर:-

इकाई=x,  दहाई=y

10y+x=(x+y)8+1

10y+x=8x+8y+1

10y+x-8x-8y=1

2y-7x=1    ——(1) 

10y+x=(y-x)13+2

10y+x=13y-13x+2

10y+x-13y+13x=2

-3y+14x=2   ——-(2) 

From eq (1)•&(2)•2

6y-21x=3

-6y+28x=4   

7x=7

x=7/7=1

Put the value of x in eq (1) 

2y-7x=1

2y-7•1=1

2y-7=1

2y=1+7=8

y=8/2=4

Number=10y+x=10•4+1=40+1=41

(iii) दो अंकों वाली कोई संख्या और अंकों के योग का अनुपात अंकों के क्रम उलटने पर प्राप्त संख्या और अंकों के योग के अनुपात से अधिक है| यदि अंक का अंतर (घटाव) 1 हो तो संख्या निकालें—-

उत्तर:- इकाई=x, दहाई=y,   संख्या=10y+x

10y+x   =    10x+y      +  1  

   x+y              x+y

10y+x    –    10x+y   =1 

  x+y              x+y

10y+x-10x-y    =1

      x+y

9y-9x    =1

  x+y

9y-9x=x+y

9y-9x-x-y=0

8y-10x=0     ——–(1) 

y-x=1    ———(2) 

From eq (1)&(2)×8

8y-10x=0

8y-8x=8    

   -2x=-8

      x=-8/-2=4

Put the value of x in eq (2) 

y-x=1

y-4=1

y=1+4=5

Number=10y+x=10×5+4=50+4=54

9.(i) पांच वर्ष पहले पिता की आयु पुत्र की आयु की सात गुनी थी और पांच वर्ष बाद तीन गुनी हो जाएगी| पिता और पुत्र की वर्तमान आयु निकाले-

उत्तर:-

माना कि पिता की वर्तमान आयु =x

पुत्र की वर्तमान आयु=y

पांच वर्ष पहले पिता की आयु=x-5

पांच वर्ष पहले पुत्र की आयु=you

(x-5)=(y-5)7

x-5=7y-35

x-7y=-30 ——–(1) 

पांच वर्ष बाद पिता की आयु=x+5

पांच वर्ष बाद पुत्र की आयु=y+5

x+5=(y+5)3

x+5=3y+15

x-3y=10    ———(2) 

From eq (1) &(2) 

x-7y=-30

x-3y=10   

-4y=-40

y=-40/-4=10

Put the value of y in eq(1) 

x-7y=-30

x-7×10=-30

x-70=-30

x=-30+70=40

(ii) पिता और पुत्र के वर्तमान आयु का अनुपात 3:1 है तथा 14 वर्ष बाद यह अनुपात 2:1 हो जाता है| उनकी वर्तमान आयु क्या है? 

उत्तर:-

इकाई x, दहाई y  

  x   =3:1

  y

  x    =   3  

  y         1

x=3y

x-3y=0   ———-(1) 

14 वर्ष बाद पिता की आयु=x+14

14 वर्ष बाद पुत्र की आयु=y+14

  x+14    =  2   

  y+14        1

x+14=2y+28

x-2y=28-14=14

x-2y=14       ——(2) 

From eq (1) &(2) 

x-3y=0

x-2y=14   

   -y=-14

    y=14

Put the value of y in eq (1) 

x-3y=0

x-3×14=0

x-42=0

x=42

(iii) पिता और पुत्र की उम्र का योगफल 80 साल है और पुत्र की उम्र की दोगुना पिता की उम्र से 10 साल अधिक है तो दोनों की उम्र निकालें—-

उत्तर:-

माना कि पिता की वर्तमान उम्र=x

             पुत्र की वर्तमान आयु=y

x+y=80      ———-(1) 

x+10=2y

x-2y=-10   ———–(2) 

From eq (1) &(2) 

x+y=80

x-2y=-10   

3y=90

y=90/3=30

Put the value of in eq (1) 

x+y=80

x+30=80

x=80-30=50

(iv) राम के पिता की आयु राम की आयु की चार गुनी है| पांच वर्ष पहले पिता की आयु उस समय राम की आयु की 9 गुनी थी उनकी वर्तमान आयु ज्ञात कीजिये—–

उत्तर:- 

x=4y

x-4y=0    ——(1) 

5 वर्ष पहले राम के पिता की आयु=x-5

5 वर्ष पहले राम की आयु=y-5

x-5=9(y-5) 

x-5=9y-45

x-9y=-45+5=-40

x-9y=-40     ———(2) 

From eq (1) &(2) 

x-4y=0

x-9y=-40   

    5y=40

      y=40/5=8

Put the value of y in eq(1) 

x-4y0

x-4×8=0

x-32=0

x=32

10. 10 विद्यार्थी एक कार्यक्रम में भाग लेते हैं| इनमें लड़कियों की संख्या लड़कों की संख्या से 4 अधिक है| कार्यक्रम में भाग लेने वाले लड़के और लड़कियों की संख्या की संख्या आलेखीय विधि से हल करें–

उत्तर:-

माना कि लड़कों की संख्या=x

लड़कियों की संख्या=x+4

प्रश्न से, x+x+4=10

2x+4=10

2x=10-4=6

x=6/2=3  

x+4=4+3=7

11. एक पेंसिल और कलम का मूल्य 6 रुपये है| फिर तीन पेंसिल और पांच कलमों का मूल्य, दो पेंसिलों और एक कलम के मूल्य के चार गुणा है तो प्रत्येक पेंसिल तथा प्रत्येक कलम का मूल्य निकाले-

उत्तर:-

x+y=6      ——-(1) 

3y+5x=(2y+x)×4

3y+5x=8y+4x

3y+5x-8y-4x=0

-5y+x=0        ——–(2) 

From eq (1) &(2) 

x+y=6

-5y+x=0   

6y=6

y=1 

Put the value of y in eq (1) 

x+y=6

x+1=6

x=6-1=5

12. दो कक्षाओं A तथा B में कुछ विद्यार्थी बैठे है, यदि कक्षा A से विद्यार्थी, कक्षा B में भेज दिए जाते हैं तो दोनों कक्षाओं विद्यार्थियों की संख्या समान हो जाती है| यदि कक्षा B से विद्यार्थी, कक्षा A में भेज दिए जाते तो A कक्षा में विद्यार्थियों की संख्या कक्षा B में बच्चे विद्यार्थियों की संख्या की दोगूनी हो जाती है| दोनों कक्षाओं में अलग अलग विद्यार्थियों की मूल संख्या ज्ञात करें—–

उत्तर:-

x-5=y+5

x-y=5+5=10   ———(1) 

x+5=(y-5)×2

x+5=2y-10

x-2y=-10-5=-15

x-2y=-15      ———(2) 

From eq (1) &(2) 

x-y=10

x-2y=-15   

     y=25

Put the value of y in eq (1) 

x-y=10

x-25=10

x=10+25=35

13. (i)  x और y दो संख्याएँ इस प्रकार है कि दूसरे का तीन गुना पहले के पांच गुणों से 30 अधिक है| किसी त्रिभुज ABC में पाया गया कि <A=x° , <B=3x° और <C=y° तो सिद्ध करें कि ∆ABC एक समकोण त्रिभुज है| 

उत्तर:-

3y=5x+30

3y-5x=30   ——-(1) 

∆ABC, <A + <B + <C=180°

               x°+3x°+y°=180

4x+y=180               ————(2) 

From eq (1)&(2)×3

3y-5x=30

13x+3y=540   

    -17x=-510

      x=-510/-17=30

Put the value of x in eq (1) 

3y-5x=30

3y-5×30=30

3y-150=30

3y=30+150=180

y=180/3=60

<A=x°=30

<B=3x°=3×30=90

<C=y°=60°

(ii) किसी समबाहु ∆ की तीन भुजाएँ (से०मी०) में इस प्रकार पायी गयी—- 2x-3y+1, x+y-1, 3x-y-9 त्रिभुज की परिमित निकालें—-

 उत्तर:-

2x-3y+1=x+y-1

2x-3y-x-y=-1-1

x-4y=-2  —————(1) 

2x-3y+1=3x-y-9

2x-3y-3x+y+9=-9-1

-x-2y=-10     ———-(2) 

From eq (1) &(2) 

x-4y=-2

-x-2y=-10  

-6y=-12

   y=-12/-6=2

y=2

Put the value of y in eq (1) 

x-4y=-2

x-4×2=-2

x-8=-2

x=-2+8=6

 ∆ की भुजाएँ =2x-3y+1

                     2×6-3×2+1=7

परिमित=7+7+7=21

(iii) यदि ∆ABC में <A=4, <C=2(<B+<C) तो  ∆ के प्रत्येक कोण ज्ञात करें—–

उत्तर:-

<C=x°

<A=4x°

<A=2(<B+<C)

4x°=2<B+2<C

4x°=2<B+2x°

4x°-2x°=2<B

2x°=2<B

<B=2x°/2=x°

∆ के तीनों कोणों का योग=180°

<A+<B+<C=180°

4x°+x°+x°=180°

6x°=180°

x°=180°/6=30°

<A=30°×4=120°

<B=30°

<C=30°

(iv) किसी ∆PQR में, <R, <Q से 9 अधिक है और <P=a°, <Q=(3a-2)° और  <R=b° तो त्रिभुज के तीनों कोण निकाले——

उत्तर:- 

<R=<Q+9

<P=a°

<R=3(3a-2)°+9

<PQR, <P+<Q+<R=180°

a°+(3a-2)°+3a-2°+9°=180°

7a+5=180

7a=180-5=175

a=175/7=25

<P+a°=25

<Q=(3a-2°)=3×25-2=75-2=73

<R=(3a=2°)+9

     =3×25-2+9=75-2+9=73+9=82°

(v) ABCD एक चक्रीय चतुर्भुज है जिसमें <A=x+y++10, <B=(y+20°), <C=(x+y-30°) तथा <D=(x+y°), तो x और y ज्ञात कीजिये|

उत्तर:-

चूंकि चक्रीय चतुर्भुज के आमने सामने के सम्मुख कोणों का योग 180° होता है|

माना कि ABCD एक चक्रीय चतुर्भुज है|

<A+<C=180°

<B+<D=180

x+y+10+x+y-30=180

2x+2y-20=180

2x+2y=180+20=200

x+y=100      ———-(1) 

y+20+x+y=180

x+2y=180-20=160

x+2y=160      ———-(2) 

From eq (1) &(2) 

x+y=100

x+2y=160   

  -y=-60

y=60

Put the value of y in eq (1)

x+y=100

x+60=100

x=100-60=40

14.(i) किसी आयत की लंबाई 3 सेमी और चौड़ाई 2 सेमी बढाने पर उसका क्षेत्रफल 67 वर्ग समी

 बढ जाता है| लेकिन लंबाई 5 सेमी घट जाए और चौड़ाई 3 सेमी बढ़ जाए तो क्षेत्रफल 9 वर्ग सेमी घट जाता तो आयत का क्षेत्रफल निकाले——

उत्तर:-

माना कि आयत की लंबाई x सेमी और चौड़ाई y सेमी है|

आयत का क्षेत्रफल=x×y

(x+3)×(y+2)=xy+67

xy+2x+3y+6-xy-67=0

2x+3y=61     ——–(1) 

(x-5)×(y+3)=xy-9

xy+3x-5y-15=xy-9

3x-5y=6         ———(2) 

From eq (1)×5&(2)×3

10x+15y=305

9x-15y=18            

    19x=323

x=323/19=17

Put the value of x in eq (1) 

2x+3y=61

2×17+3y=61

34+3y=61

3y=61-34=27

y=27/3=9

आयत का क्षेत्रफल=17×9=153

(ii) यदि किसी आयत की लंबाई 1 सेमी घटाए जाए और चौड़ाई 2 सेमी बढ़ाई जाए तो वह वर्ग बन जाता है|यदि आयत की परिमिति 34 सेमी हो तो उसकी लंबाई और चौड़ाई ज्ञात करें——

उत्तर:-

माना कि आयत की लंबाई=l

और चौड़ाई=b

l=b+2+1    ———-(1) 

आयत की परिमिति=2(लंबाई+चौड़ाई) 

34=2(l+b) 

34=2(b+3+b) 

34=2(2b+3) 

34=4b+6

34-6=4b

4b=28

b=28/4=7

Put the value of b in (1) 

l=b+2+1

l=7+2+1=10

(iii) किसी समकोण त्रिभुज की छोटी दो भुजाएँ का योगफल 15 सेमी है| यदि इनमें से छोटी भुजा को 1 सेमी बढ़ा दिया जाए और बड़ी को 1 सेमी घटा दिया जाए तो ∆ का क्षेत्रफल 4 वर्ग सेमी बढ़ जाता है तो समकोण∆ के समकोण बनाने वाली भुजा को निकाले——-

उत्तर:-

भुजाएँ x & y

x>y

x+y=15     ——–(1) 

समकोण त्रिभुज का क्षेत्रफल=1/2× आधार× ऊँचाई

1/2×y×x=1/2yx

1/2(y+1)(x-1)=1/2xy+4

1/2(y+1)(x-1)=  xy   + 4

                            2

1/2(y+1)(x-1)=  xy+8   

                               2

1/2(yx-y+x-1)=xy+8

                             2

  1   (yx-y+x-1) =   1   (xy+8) 

  2                          2

yx-y+x-1=xy+8

x-y=8+1=9    ———–(2) 

From eq (1) &(2) 

x+y=15

x-y=9        

2x=24

x=24/2=12

Put the value of x in eq (1) 

x+y=15

12+y=15

y=15-12=3

(iv) एक आयताकार कमरे की लंबाई उसकी चौड़ाई से 3 मी अधिक है| यदि उसकी लम्बाई को 3 मी बढ़ाने पर चौड़ाई को 2 मीटर घटाने पर उसके क्षेत्रफल में कोई अंतर नहीं पड़ता है तो कमरे की लंबाई और चौड़ाई निकाले——-

उत्तर:-

माना कि कमरे की लंबाई x और चौड़ाई y है|

कमरे का क्षेत्रफल=लंबाई×चौड़ाई= x×y 

x=y+3

x-y=3      ———-(1) 

(x+3)×(y-2)=xy

xy-2x+3y-6=xy

-2x+3y=6    ———(2) 

From eq (1)×3&(2) 

3x-3y=9

-2x+3y=6     

        x=15  

Put the value of x in eq (1) 

x-y=3

15-y=3

y=15-3=12

(v) एक आयताकार बगीचे, जिसकी लंबाई, चौड़ाई से 4 मीटर अधिक है, की अर्धपरिमिति 36 मीटर| बगीचे की लंबाई, चौड़ाई निकाले——

उत्तर:-

माना कि आयताकार बगीचे की चौड़ाई=x

लंबाई=x+y   —–(1) 

अर्द्धपरिमिति=36 मीटर

 2(x+4+x)    =   36  

  2                       1

2x+4=36

2x=36-4=32

x=32/2=16   

Put the value of x in eq (1) 

x+4=16+4=20

15. (i) एक ही स्थान से दो व्यक्ति गाड़ी से एक ही दिशा में चलने पर 3 घंटे में 7 किलोमीटर की दूरी पर रहते हैं, जबकि विपरीत दिशाओं में चलने 300 किलोमीटर की दूरी पर हो जाते हैं तो उनकी गाड़ियों के चाल निकाले-

उत्तर:-

—->x•k•m/h

——>y•k•m/h

          xk•m/h ——->

<———-yk•m/h

माना कि गाड़ियों की चाल x और y km/h है

   x>y

पहली गाड़ी द्वारा तय की गई दूरी=स०× चाल=3×X=3x

दूसरी गाड़ी द्वारा तय की गई दूरी=स०× चाल=y×3=3y

प्रश्न से, 

3x-3y=7      ———(1) 

पुनः पहली गाड़ी द्वारा 3 घंटे में तय की गई दूरी=3×x=3x

और दूसरी गाड़ी द्वारा तय की गई दूरी=3×y=3y

3x+3y=300     ——–(2) 

From eq (1) &(2) 

3x-3y=7

3x+3y=300    

6x=307

x=307/6=51   1  

                        6

Put the value of x in eq(1) 

3x-3y=7

3×  307    -3y=7

        6

  921    -3y=7

    6

  921-18y   = 7

       6

921-18y=42

-18y=42-921=-879

y=879/18=293/6= 48   5   

                                        6

(Iii) A और B दो स्थान है जिनके बीच की दूरी 6 किलोमीटर है| एक समय उन स्थानों से दो व्यक्ति एक दूसरे की ओर दौड़ना शुरू करते हैं और 45 मिनट में एक दूसरे से मिलते हैं| यदि वे एक दिशा में चलते तो 6 घंटे में मिलते| उनकी चाल निकाले-

उत्तर:-

xkm/h ——>      <———ykm/g

A                         B

                           6km

माना कि A से चलने वाले व्यक्ति की चाल xkm/h और  B से चलने वाले व्यक्ति की चाल ykm है|

पहली स्थिति में A से चलने वाले व्यक्ति द्वारा 45 मिनट में तय की गई दूरी=समय× चाल

  3   × X (45 minutes=45/60) =3x/4

  4

B से चलने वाले व्यक्ति द्वारा 45 मिनट में तय की गई दूरी

  3   × y=  3y  

  4            4

प्रश्न से, 

  3x    +    3y   =6

   4            4

3x+3y=24        

x+y=8   ———(1) 

दूसरी स्थिति में  A से चलने वाले

व्यक्ति द्वारा तय की गई दूरी=समय× चाल=6×X

B से चलने वाले व्यक्ति द्वारा 6 घंटे में तय की गई दूरी= समय× चाल=6×y=6y

6x-6y=6

x-y=1     ——–(2) 

From eq (1) &(2) 

x+y=8

x-y=1   

2x=9

x=9/2=4.5

Put the value of x in eq (1) 

x+y=8

4.5+y=8

y=8-4.5=3.5

16. (i) एक नाविक अनुप्रवाह में 8 किलोमीटर 40 में जाता है और 1 घंटे में लौट जाता है तो शांत जल में नाविक की चाल और प्रवाह की चाल ज्ञात करें-

उत्तर:-

माना कि शांत जल में नाविक की चाल=xkm/h

प्रवाह की चाल=ykm/h

40 मिनट =40/60=2/3 घंटा

अनुप्रवाह में 8 किलोमीटर जाने में लगा समय=  दूरी  

                                                                चाल

  2    =    8        

  3          x+y

2x+2y=24

x+y=12     ———-(1) 

पुनः उर्ध्व प्रवाह में 8 किलोमीटर लौटने में लगा समय=

दूरी  

चाल

1=     8       

        x-y

x-y=8       ———-(2) 

From eq (1) &(2) 

x+y=12

x-y=8        

2x=20

x=20/2=10

Put the value of x in eq (1) 

x+y=12

10+y=12

y=12-10=2

(ii) एक नाव 10 घंटे में उर्ध्व प्रवाह में 30 किलोमीटर तथा अनुप्रवाह में 44 किलोमीटर जाती है| वह 13 घंटे में 40 किलोमीटर उर्ध्व प्रवाह में तथा 55 किलोमीटर अनुप्रवाह में जा सकती है| शांत जल में नाव तथा धारा की चाल ज्ञात करें-

उत्तर:-

माना कि शांत जल में नाव की चाल= x किमी/घंटा तथा धारा की चाल y किमी/घंटा है|

पहली स्थिति में, समय=  दूरी  

                                 चाल

दूसरी स्थिति में 44 किमी जाने में लगा समय=   दूरी   

                                                               चाल

     55       +        40       =  13

    x+y                 x-y

    44        +        30        =10

    x+y                x-y

      1       =P             1        =Q

    x+y                     x-y

55P+40Q=13   ———–(1) 

44P+30Q=10   ————(2) 

From eq (1)×30&(2)×40

1650P+1200Q=390

1760P+1200Q=400

            -110P=-10

P=  -10     =  1   

      -110       11

Put the value of P in eq (1) 

55P+40Q=13

55×  1   +40Q=13

        11

5+40Q=13

40Q=13-5=8

Q=  8    =   1  

      40       5

P  और Q का मान वापस लेने पर, 

x+y=11

x-y=5    

2x=16

x=16/2=8   

x का मान इस समीकरण में देने पर, 

x+y=11

8+y=11

y=11-8=3

17. दो व्यक्तियों के आय का अनुपात 9:7 है एवं उनके व्यय के अनुपात 4:3 है| यदि उनमें से प्रत्येक 2000 रूपये प्रतिमाह बचा पाता है तो उनकी मासिक आय ज्ञात करें-

उत्तर:-

माना आय  9x तथा 7x

व्यय  4y तथा 3y

A/q, 

9x-4y=2000  —(1) 

7x-3y=2000   —-(2) 

From eq (1)×3&(2)×4

27x-12y=6000

28x-12y=8000  

-x=-2000

x=2000

Put the value of x in eq (1) 

9x-4y=2000

9×2000-4y=2000

18000-4y=2000

-4y=2000-18000

-4y=-16000

y=-16000/-4=4000

आय=9×2000=18000

7×2000=14000

18. एक व्यक्ति 370 किलोमीटर की यात्रा को अंशतः रेल एवं अंशतः कार द्वारा तय करता है| यदि वह 250 किलोमीटर रेल से तथा शेष दूरी कार द्वारा तय करे तो यात्रा में 4 घंटे लगते हैं| यदि वह 130 किलोमीटर रेल से तथा शेष दूरी कार द्वारा तय करे तो उस यात्रा में 18 मिनट अधिक समय लगता है| रेल तथा कार की औसत गतियाँ ज्ञात करें-

उत्तर:-

   250    +     120    =4

    x                  y

   130     +        240   =4.3

    x                    y

  1  =P         1   =Q

  x                y

250P+120Q=4    ——-(1) 

130P+240Q=4.3 ——–(2) 

FROM EQ(1)×2-(2) 

500P+240Q=8

130P+240Q=4.3   

370P=3.7

P=   3.7    =   1   

      370        100

 P का मान समी (1) में देने पर, 

250P+120Q=4

250×  1    +120Q=4

         100

  25    +120Q=4

  10

    25   +   1200Q   =4

            10

25+1200Q=40

1200Q=40-25=15

Q=     15       =    1     

      1200            80

 P और Q का मान वापस लेने पर, 

   1    =    1   

   P        100

P=100

  1   =   1   

 Q       80

Q=80

18 मिनट में =  18   =0.3 घंटा

                      60    

रेल की चाल=80×2=160 किलोमीटर/घंटा

कार की चाल=80 किलोमीटर/घंटा