विविध प्रश्नावली
1. बताएं कि निम्नलिखित युगपत समीकरण अवरोध, विरोधी या आश्रित है|
(i) 3x+2y-5=0, 2x-3y-7=0
उत्तर:- 3 =/ 2 ; a =/ b
2 3 d e
अवरोध
(ii) 4 x +2y=8, 2x+3y=12
3
उत्तर:-
4 = 2 = 2
3×2 3 3
2 = 2 = 2
3 3 3
a = b = c
d e f
आश्रित
2.p और q के मान ज्ञात करें जिनके लिए निम्न रैखिक समीकरणों की संहति को अनगिनत हल है|
(i) (2p-1)x+3y-5=0, 3x+(q-1)y-2=0
उत्तर:-
अनगिनत हल होगा यदि
2p-1 = 3 = -5
3 q-1 -2
2p-1 = 5
3 2
4p-2=15
4p=15+2=17
p=17/4
Again, 3 = 5
q-1 2
6=5q-5
6+5=5q
11=5q
q=11/5
(ii) 2x+3y=7, (p+q)x+(2p-q)y=21
Answer:-
2 = 3 = 7
p+q 2p-q 21
2 = 7
p+q 21
42=7p+7q ————(1)
3 = 7
2p-q 21
63=14p-7q ———–(2)
From eq (1) &(2)
7p+7q=42
14p-7q=63
21p=105
p=105/21=5
Put the value of p in eq (1)
7p+7q=42
7×5+7q=42
35+7q=42
7q=42-35=7
q=7/7=1
3. दो संख्याओं का अंतर 26 है एवं एक संख्या दूसरी संख्या की तीन गुनी है| संख्याओं को ज्ञात करें-
उत्तर:-
माना कि दूसरी संख्या=x
पहली संख्या=3x
3x-x=26
2x=26
x=26/2=13
दूसरी संख्या=x=13
पहली संख्या=3x=13×3=39
4. दो संपूरक कोणों में बड़ा कोण से 18° अधिक है| उन्हें ज्ञात करें-
उत्तर:-
माना कि छोटा कोण=x
बड़ा कोण=x+18
x+x+18=180
2x+18=180
2x=180-18=162
2x=162
x=162/2=81
छोटा कोण=x=81
बड़ा कोण=x+18=81+18=99
5. 2r+35=11 एवं 2r-4s=-24 को हल करें एवं p का वह मान ज्ञात करें जिसके लिए 5=pr+3
Answer:-
2r+3s=11
2r-4s=-24
7s=35
s=35/7=5
Put the value of s in 2r+3s=11
2r+3s=11
2r+3×5=11
2r=11-15=-4
r=-4/2=-2
s=pr+3
5=p×(-2)+3
5=-2p+3
5-3=-2p
2=-2p
p=-2/2=-1
6. एक क्रिकेट टीम का कोच 7 बैट और 6 बाल 3800 रूपये में खरीदता है| बाद में वह उसी प्रकार के 3 बैट और 5 बाल 1750 रुपये में खरीदता है| प्रत्येक बैट और बाल की कीमत ज्ञात करें-
उत्तर:-
प्रत्येक बैट की कीमत=x
बाल की कीमत=y
7x+6y=3800 ——-(1)
3x+5y=1750 ——–(2)
From eq (1)×3-(2)×7
21x+18y=11400
21x+35y=12500
-17y=-850
y=-850/-17=50
Put the value of y in eq (1)
7x+6y=3800
7x+6×50=3800
7x+300=3800
7x=3800-300=3500
x=3500/7=500
7. 2 पेंसिल और 3 रबर की कीमत 9 रूपये तथा 4 पेंसिल और 6 रबर की कीमत 18 रूपये है| प्रत्येक पेंसिल और रबर की कीमत ज्ञात करें| कथनों का ज्यामितीय प्रदर्शन भी करें|
उत्तर:-
माना रबर की मूल्य x पेंसिल की मूल्य y
2y+3x=9
4y+6x=18
2 = 3 = 9 ; a = b = c
4 6 18 d e f
संपाती, अनगिनत हल
8. 5 नारंगी और 3 सेब की कीमत 35 रुपये है और 2 नारंगी और 4 सेब की कीमत 28 रुपये है| एक सेब की कीमत और एक नारंगी की कीमत वज्र गुणनखंड विधि द्वारा ज्ञात करें-
उत्तर:-
5x+3y=35 =>5x+3y-35=0
2x+4y=28 =>2x+4y-28=0
x = y = 1
3×(-28)-4(-35) -35×2-5×28 5×4-2×3
x = y = 1
-84+140 -70+140 20-6
x = y = 1
56 70 14
x = 1 & y = 1
56 14 70 14
14x=56 14y=70
x=56/14=4 y=70/14=5
9. किसी शहर में टैक्सी के किराये में एक फिक्स्ड चार्ज और चलती दूरी के लिए चार्ज शामिल हैं| 10 किलोमीटर दूरी के लिए 105 रुपये और 15 किलोमीटर की यात्रा के लिए 155 रुपये अदा किया जाता है| फिक्स्ड चार्ज और प्रति किलोमीटर चार्ज क्या है? 25 किलोमीटर यात्रा के लिए किसी व्यक्ति को कितना अदा करना पड़ता है?
उत्तर:-
x+10y=105
x+15y=155
-5y=-50
y=-50/-5=10
Put the value of y in x+10y=105
x+10y=105
x+10×10=105
x+100=105
x=105-100=5
25 Km ke liye——–
x+10y=5+10×25=5+250=255
10. निम्नलिखित युगपत समीकरणों का हल करें-
(i) 5y – 3x =2 ——(1)
3 2
1y + 1x = 13 ——-(2)
2 3 6
Answer:-
Eq(1)× 1/9 & (2)×1/2
5y – 3x = 2
27 18 9
1y + 1x = 13
4 6 12
5y + 1y = 2 + 13
27 4 9 12
20y+27y = 8+39
108 36
47y = 47
108 36
y= 47×108 =3
47×36
y=3
Put the value of y in eq (1)
5y – 3x =2
3 2
5×3 – 3x =2
3 2
5- 3x =2
2
5-2= 3x
2
3= 3x
2
6=3x
x=6/3=2
x=2
(ii) 4 + 3s=14 ——-(1)
r
3 -4s=23 ——–(2)
r
Answer:-
Let 1 =p
r
4p+3s=14 —–(1)
3p-4s=23 ——(2)
From eq (1)×4&(2)×3
16p+12s=56
9p-12s=69
25p=125
p=125/25=5
Put the value of p in eq (1)
4p+3s=14
4×5+3s=14
20+3s=14
3s=14-20=-6
s=-6/3=-2
s=-2
1 =p ; 1 =5 ; r=1/5
r r
(Iii) 4x + y = 8
3 3
12x+y = 8
3 3
12x+y=8 ———-(1)
x + 3y = -5
2 4 2
2x + 3y = -5
4 2
4x+6y=-20 ———–(2)
From eq (1)×1&(2)×3
12x+y=8
12x+18y=-60
-17y=68
y=68/-17=-4
y=-4
Put the value of y in eq (1)
12x+y=8
12x-4=8
12x=8+4=12
x=12/12=1
(Iv) 8x-9y=6xy ———(1)
10x+6y=19xy ———-(2)
Answer:-
From eq (1)×10&(2)×8
80x-90y=60xy
80x+48y=152xy
-138y=-92xy
x= -138y = 3
-92y 2
Put the value of x in eq (1)
8x-9y=6xy
8× 3 -9y = 6× 3 ×y
2 2
12-9y=9y
12=9y+9y=18y
y= 12 = 2
18 3
11. आलेखीय विधि से दिखाएं कि क्या निम्न युगमत समीकरण का अद्वितीय हल, कोई हल नहीं अथवा अनंत हल है:-
Answer:-
5l-8m+1=0 ——-(1)
3l-24m/5+3/5=0 —–(2)
a=5, b=-8, c=1
d=3, e=-24/5, f=3/5
5 = -8 = 1
3 -24 3
5 5
5 = -8×5 = 5
3 -24 3
5 = 5 = 5
3 3 3
a = b = c
d e f
अनंत हल, संपाती रेखाएँ
12. एक रैखिक समीकरण 2x+3y=8 दिया हुआ है| दो चरों में दूसरा रैखिक समीकरण इस प्रकार लिखें कि प्राप्त युगपत समीकरण का ज्यामितीय निरुपण निम्न प्रकार है|
उत्तर:-
(i) छेदक रेखाएँ 5x+2y=7
(ii)समांतर रेखाएँ 2x+3y=5
(iii) संपाती रेखाएँ 6x+9y=24
13. एकघातीय समीकरण 2x-5y=9 के सभी (i) वास्तविक हलों का सम्मुचय (ii)पूर्णांकों हलों का सम्मुचय ज्ञात करें-
Answer:-
2x-5y=9
2x-4=5y+5
2(x-2)=5(y+1)
x – 2 = y +1 = k(let)
5 2
x-2 = k
5 1
x-2=5k
x=5k+2
y+1 = k
2
y+1=2k
y=2k-1
(i) वास्तविक हलों का सम्मुचय={x,y}/x=5k+2, y=2k-1, k€R}
(ii) पूर्णांक हलों का सम्मुचय={(x, y) /x=5k+1, y=2k-1, k€z
14. निम्नलिखित समीकरणों में प्रत्येक का हल सम्मुचय निकाले—–
(i) 3x-4y=6 जबकि x, y वास्तविक चर राशियाँ है|
(ii) 2x+3y=11 जबकि x, y दोनों पूर्णांक है|
Answer:-
(i) 3x-4y=6
3x-6=4y
3(x-2)=4y
x-2 = y = k (let)
4 3
x-2 =k
4
x-2=4k
x=4k+2
y = k
3 1
y=3k
वास्तविक हलों का सम्मुचय {(x, y)/x=4k+2, y=3k, k€R}
(ii) 2x+3y=11
2x+3y=8+3
2x-8=-3y+3
2(x-4)=3(-y+1)
x-4 = -y+1 =k
3 2
x-4 =k
3
x-4=3k
x=3k+4
-y +1 =k
2
-y+1=2k
-y=2k-1
y=1-2k
पूर्णांक हलों का सम्मुचय={(x, y)/x=3k+4, y=1-2k where k=z}
15. यदि x, y के एक एक मान एक ही साथ निम्नलिखित समीकरणों को संतुष्ट करते हैं| तो p का मान ज्ञात कीजिये—
उत्तर:-
3x-4y=2
x + y =1
3 2
4x+3y=p
3x – 4y =2
8x + 8y =8
3 2
3x- 8x = -6
3
हल: माना कि 3x-4y=2 ——–(1)
x + y =1
3 2
2x + 3y =1
6
2x+3y=6 ———–(2)
Eq (1)×3+(2)×4
9x-12y=6
8x+12y=24
17x=30
x=30/17
Put the value of x in eq (1)
3x-4y=2
3× 30 -4y=2
17
90 -2=4y
17
90-34 =4y
17
56 =4y
17
y= 56 = 14
17×4 17
Put the value of x & y in 4x+3y=P
4× 30 + 3× 14 =P
17 17
120 + 42 =P
17
162/17=p
P=162/17
16. यदि x, y के एक एक मान तीनों समीकरणों को एक साथ संतुष्ट नहीं करे तो अज्ञात अचर का मान ज्ञात करें-
Answer:-
(i) 7x-2y=4 ———(1)
3x-5y+19=0
3x-5y=-19 ———(2)
kx+3y=19
From eq (1)×5&(2)×2
35x-10y=20
6x-10y=-38
29x=58
x=58/29=2
Put the value of x in eq (1)
7x-2y=4
7×2-2y=4
14-2y=4
14-4=2y
10=2y
y=10/2=5
kx+3y=19
k×2+3×5=19
2k+15=19
2k=19-15=4
k=4/2=2
(ii) x+y=1 ——-(1)
ax+3y=1 ———(2)
ax+9y=1
Eq (1)×a&(2)
ax+ay=a
ax+9y=1
y(a-3)=a-1
y= a-1
a-3
Put the value of y in eq (1)
x+y=1
x+ a-1 =1
a-3
x=1- a-1
a-3
= a-3 -a+1
a-3
= -2
a-3
y= 1-a
3-a
(ऊपर नीचे – चिह्न से गुणा करने पर)
x= 2 (उसी प्रकार)
3-a
ये मान समीकरण a2x+9y=1 को भी संतुष्ट करता है|
a2×2 + 9×1-a =1
3-a 3-a
2a2 + 9-9a 1
3-a 3-a
2a2+9-9a =1
3-a
2a2-9a+9=3-a
2a2-9a+9+a-3=0
2a2-8a+6=0
a2-4a+3=0
a2-3a-a+3=0
a(a-3)-1(a-3)=0
(a-1)(a-3)=0
a-1=0, a=1 a-3=0, a=3
17. Solve:-
(a-b)x+(a+b)y=a2-2ab-b2 ——(1)
(a+b)(x-y)=a2+b2 ——(2)
Answer:-
(a-b)x+(a+b)y=a2-2ab-b2
(a+b)x-(a+b)y=a2+b2
x(a-b+a+b)=a2-2ab-b2+a2+b2
2ax=2a2-2ab
x=2(a2-ab) = a2-ab = a(a-b) =a-b
2a a a
समी (1) में x का मान रखने पर,
(a-b)x+(a+b)y=a2-2ab-b2
(a-b)(a-b)+(a+b)y=a2-2ab-b2
(a-b)2+(a+b)y=a2-2ab-b2
(a+b)y= a2-2ab-b2-(a2-2ab+b2)
(a+b)y=a2-2ab-b2-a2+2ab-b2
(a+b)y=-2b2
y= -2b2
a+b
(ii) 37x+43y=123 ——–(1)
43x+37y=117 ———(2)
Answer:-
From eq (1)×43&(2)×37
1591x+1849y=5289
1591x+1369y=4329
480y=960
y=960/480=2
Put the value of y in eq (1)
37x+43y=123
37x+43×2=123
37x+86=123
37x=123-86=37
x=37/37=1
(iii) ax – by =a+b ——–(1)
b a
ax-by=2ab ———–(2)
Answer:-
From eq (1)&(2)× 1
b
ax – by = a+b
b a
ax – by = 2ab
b b b
y(1- b ) = a+b – 2ab
a b
y(1- b ) = ab+b2-2ab
a b
y(a – b) = b2-ab
a b
y= a(b2-ab) = ab(b-a) = -a
(a-b)b -b(b-a)
y=-a
समीकरण (1) में y=-a रखने पर,
ax – by =a+b
b a
ax – bxa = a+b
b a
ax = a+b-b
b
ax =a
b
ax=ab
x=ab/a =b
x=b
18. (i) कोई व्यक्ति किसी मासिक वेतन पर नौकरी पर लग जाता है| उसे नियत वार्षिक वृद्धि भी मिलती है| यदि 3 वर्ष नौकरी करने के बाद उसकी मासिक वेतन 1000 रुपये और आठ वर्ष नौकरी करने के बाद वेतन 1300 रुपये होता है तो उस व्यक्ति का प्रारंभिक मासिक वेतन और वार्षिक वृद्धि ज्ञात करें-
उत्तर:-
x+3y=1000 ———(1)
x+8y=1300 ———(2)
-5y= -300
y=-300/-5=60
Put the value of y in eq (1)
x+3y=1000
x+3×60=1000
x+180=1000
x=1000-180=820
(ii) एक व्यक्ति का वजन प्रति वर्ष समान रूप से बढ़ जाता है| आज से 5 वर्ष बाद उसका 65 किलोग्राम और 11 वर्ष बाद हो जाता है तो उस व्यक्ति का वर्तमान वजन ज्ञात करें-
उत्तर:-
x+5y=65 ———(1)
x+11y=83 ——(2)
-6y= -18
y=-18/-6=3
Put the value of y in eq (1)
x+5y=65
x+5×3=65
x+15=65
x=65-15=50
19. एक हाज़िर के नल से प्रति मिनट समान रूप से पानी भर रहा है| यदि अभी से 30 मिनट के बाद हाज में पानी 126 लीटर हो जाता है और अभी से 3 मिनट पूर्व 87 लीटर पानी हो तो बताएं कि इस समय हाज में कितना पानी है?
उत्तर:-
माना कि हाज में पानी की मात्रा x लीटर है तथा y लीटर प्रति मिनट की दर से हाज में पानी भर रहा है|
10 मिनट के बाद हाज में पानी की कुल मात्रा=x+10y
तथा 3 मिनट पूर्व पानी की मात्रा=x-3y
(चूंकि 1 मिनट में y लीटर पानी भरता है
इसिलिए 10 मिनट में 10×y=10y लीटर पानी)
प्रश्न से,
x+10y=126 ——(1)
x-3y=87 ——–(2)
(चूंकि वर्तमान में पानी की मात्रा x लीटर तो 3 मिनट पूर्व 3×y=3y लीटर पानी कम)
From eq (1)×3&(2)×10
3x+30y=378
10x-30y=870
13x=1248
x=1248/13=96
20. 243 रुपये को तीन ऐसे भागों में बांटे की पहले भाग का आधा दूसरे का तिहाई और तीसरे का चौथाई परस्पर बराबर हो?
संकेत— यहाँ x = y = 243-(x+y)
2 3 4
x = y
2 3
3x-2y=0 ——–(1)
x = 243-(x+y)
2 4
4x=486-2x-2y
6x+2y=486 ——–(2)
From eq (1)&(2)
3x-2y=0
6x+2y=486
9x=486
x=486/9=54
Put the value of x in eq (1)
3x-2y=0
3×54-2y=0
1722y=0
2y=162
y=162/2=81
First=x=52
Second=y=81
Third= 243-(x+y)=243-(52+81)=
243-135=108
21. किराये पर पुस्तकें देनेवाले एक पुस्तकालय ने प्रथम तीन दिनों के लिए एक निश्चित राशि चार्ज रखा है एवं उसके बाद वाले प्रत्येक दिन का अतिरिक्त चार्ज रखा कौशल्या ने 27 रुपये दिए और एक पुस्तक को सात दिन रखा जबकि श्रवण कुमार ने 21 रुपये दिए और पुस्तक को पांच दिन रखा| निश्चित चार्ज और प्रत्येक अतिरिक्त दिन के लिए चार्ज बताएं—-
उत्तर:-
x+4y=27 ——(1)
x+2y=21 ——–(2)
2y=6
y=6/2=3
Put the value of y in eq (1)
x+4y=27
x+4×3=27
x+12=27
x=27-12=15
22. एक बस में बस स्टैंड से स्थान A के लिए 2 टिकट और स्थान B के लिए 3 टिकट 46 रुपये में मिलते हैं| जबकि A के लिए 3 टिकट और B के लिए 5 टिकट 74 रुपये में मिलते हैं तो बस स्टैंड से A और B तक की किराया ज्ञात करें-
उत्तर:-2x+3y=46—–(1)
3x+5y=74 —–(2)
From eq (1)×3&(2)×2
6x+9y=138
6x+10y=148
-y=-10
y=10
Put the value of y in eq (1)
2x+3y=46
2x+3×10=46
2x+30=46
2x=46-30=16
x=16/2=8
23. बसंत ने कुछ कपड़े खरीदे| उसके कपड़े इस प्रकार है शर्टों की संख्या पैंटों की संख्या के दुगूनी से दो कम है| फिर शर्टों की संख्या पैंटों की संख्या के चार गुनी से चार कम है| बसंत ने कितने शर्ट और कितने पैंट खरीदे, आलेखीय विधि से बताएं—-
उत्तर:-
y=2x-2 ——(1)
y=4x-4 ——(2)
From eq (1)
y=2x-2
x=0, 2×0-2=0-2=-2
x=1, 2×1-2=2-2=0
x=3, 2×3-2=6-2=4
From eq (2)
y=4x-4
x=0, 4×0-4=0-4=-4
x=1, 4×1-4=4-4=0
x=2, 4×2-4=8-4=4
फोटो आप खुद से बना लिजीए
24. मासिक हास्टेल चार्ज का एक भाग फिक्सड है एवं शेष इस बात पर निर्भर करता है कि कोई कितने दिन मेस में भोजन करता है| यदि कोई विद्यार्थी अभय 20 दिन भोजन करता है तो उसे 1000 रुपये हास्टेल चार्ज देना पड़ता है जबकि विद्यार्थी रुपेश 1180 रुपये हास्टेल चार्ज देता है जिसने 26 दिनों तक भोजन किया है| फिक्सड चार्ज और प्रतिदिन भोजन का चार्ज निकालें—-
उत्तर:-
x+20y=1000 ——-(1)
x+26y=1180 ———(2)
-6y=-180
y=-180/-6=30
Put the value of y in eq (1)
x+20y=1000
x+20×30=1000
x+600=1000
x=1000-600=400
25. राजेश ने एक जांच परीक्षा में 40 अंक प्राप्त किए जिसमें प्रत्येक सही उत्तर के लिए 3 अंक मिले और प्रत्येक गलत उत्तर के लिए 1 अंक काटे गए| यदि प्रत्येक सही उत्तर के लिए 4 अंक मिलता और प्रत्येक गलत उत्तर के लिए 2 अंक कटता तो उसे 50 अंक प्राप्त होते| प्रश्नों की संख्या ज्ञात करें—
उत्तर:-
3x-y=40 —–(1)
4x-2y=50 ——(2)
From eq (1)×2&(2)
6x-2y=80
4x-2y=50
2x=30
x=30/2=15
Put the value of x in eq (1)
3x-y=40
3×15-y=40
45-y=40
y=45-40=5
Total no of question=15+5=20
26. 2 महिलाएँ और 5 पुरूष मिलकर किसी काम को 4 दिनों में संपन्न कर सकते हैं, जबकि 3 महिलाएँ और 6 पुरूष उसी काम को 3 दिनों में कर सकते हैं| 1 महिला द्वारा उसे कितने दिनों में खत्म किया जा सकता है? फिर 1 पुरूष द्वारा उसे कितने दिनों में किया जा सकता है?
उत्तर:-
माना कि 1 महिलाकरेग x दिन में तथा 1 पुरूष y दिन में काम संपन्न कर लेते हैं| 1 महिला x दिनों में 1 काम को पूरा करते हैं|
1 महिला 1 दिन में 1/x भाग काम करेगा
2 महिला 2 दिन में 1/x×2=2/x भाग काम करेगा
उसी प्रकार 1 पुरूष y दिन में 1 काम को पूरा करता है|
1 पुरूष 1 दिन में 1/y भाग को पूरा करेगा
5 पुरूष 1 दिन में 1/y×5=5/y भाग करेगा
2 + 5 = 1 ——(1)
x y 4
3 + 6 = 1 ———(2)
x y 3
From eq (1)×3&(2)×2
6 + 15 = 3
x y 4
6 + 12 = 2
x y 3
15 – 12 = 3 – 2
y y 4 3
15-12 = 9-8
y 12
3 = 1
y 12
y=12×3=36
Put the value of y in eq (1)
2 + 5 = 1
x y 4
2 + 5 = 1
x 36 4
2 = 1 – 5
x 4 36
2 = 9-5
x 36
2 = 4
x 36
2 = 1
x 9
x=9×2=18
27. एक वर्ग के छात्रों को पंक्तियों में खड़ा किया जाता है| यदि प्रत्येक पंक्ति में 3 छात्र अतिरिक्त हो तो एक पंक्ति कम जाएगी| यदि प्रत्येक पंक्ति में 3 छात्र कम हो तो 2 पंक्तियाँ बढ़ जाएगी| वर्ग में छात्रों की संख्या ज्ञात करें-
उत्तर:-
माना कि पंक्तियों की संख्या=x तथा प्रत्येक पंक्ति में विद्यार्थियों की संख्या y है| तो कुल छात्रों की संख्या=x×y
जब प्रत्येक पंक्ति में 3 छात्र अतिरिक्त लिए जाते हैं तो प्रत्येक पंक्ति में छात्रों की संख्या= y+3 तथा पंक्तियों की संख्या=x-1
x•y=(x-1)(y+3)
x•y=xy+3x-y-3
3x-y=3 ——-(1)
पुनः जब प्रत्येक पंक्ति में 3 छात्र हटा दिए जाते हैं तो प्रत्येक पंक्ति में छात्रों की संख्या=y-3 पंक्तियों की संख्या=x+2
x•y=(x+2)(y-3)
x•y=x•y-3x+2y-6
-3x+2y=6
3x-2y=-6 ——–(2)
From eq (1) &(2)
3x-y=3
3x-2y=-6
y=9
Put the value of y in eq (1)
3x-y=3
3x-9=3
3x=3+9=12
3x=12/3=4
So total no of student in classroom=9×4=36
28. एक ट्रेन एक खास दूरी समरूप चाल से तय करती है| यदि ट्रेन 10km/ तेज चली होती तो उसे निर्धारित समय से 2 घंटा कम समय लगते| यदि ट्रेन 10km/h धीमी चली होती तो इसे निर्धारित समय से 3 घंटा अधिक समय लगते| ट्रेन द्वारा चलित दूरी ज्ञात करें-
उत्तर:-
माना कि ट्रेन की चाल xkm/h है एवं यात्रा पूरी करने में उसे y घंटा समय लगता है|
दूरी=चाल×समय
जब चाल 10 किलोमीटर अधिक अर्थात x+10 तो लगा समय=y+2
x•y=(x+10)(y-2)
xy=xy-2x+10y-20
0=-2x+10y-20
2x-10y=-20 ——-(1)
पुनः जब चाल x-10 तो समय=y+3 घंटा
x•y=(x-10) (y+3)
x•y=x•y+3x-10y-30
3x-10y=30 ——(2)
From eq (1)&(2)
2x-10y=-20
3x-10y=30
-x=-50
x=50
Put the value of x in eq (1)
2x-10y=-20
2×50-10y=-20
100-10y=-20
-10y=-20-100=-120
y=-120/-10=12
Distance=12×50=600km
29. दो लड़कों A और B की उम्रों का अंतर 3 वर्ष है| A के पिता F की उम्र A की की उम्र की दुगूनी है एवं B अपनी बहन S की दुगूनी आयु का है|S की उम्र और F की उम्र का अंतर 30 वर्ष है|A और B की उम्र बताएं—-
उत्तर:-
माना कि A की उम्र=X वर्ष तथा B की उम्र=Y वर्ष है|
तोX-Y=+-3 (Aऔर B में कोई भी बड़ा हो सकता है)
F की उम्र=2x
S= y
2
F-s=30
2x – y = 30
1 2
4x-y =30
2
4x-y=60
इस प्रकार हमें चारों समीकरण प्राप्त होते हैं जो निम्न हैं|
x-y=3 ——(1) x-y=-3 —–(3)
4x-y=60 ——-(2) 4x-y=60 —-(4)
From eq (1) &(2) From eq (3)&(4)
x-y=3 x-y=-3
4x-y=60 4x-y=60
-3x=-57 -3x=-63
x=-57/-3=19 x=-63/-3=21
Put the value of x Put the value of x
in eq (1) x-y=3 in eq (3) x-y=-3
19-y=3 21-y=-3
y=19-3=16 y=21+3=24
30. पिता की वर्तमान उम्र उसके बड़े लड़के की उम्र की दूनी है| 10 वर्ष पश्चात पिता की उम्र उसके छोटे लड़के की उम्र की तीन गुनी होगी| यदि दोनों लड़कों की उम्रों का अंतर 15 वर्ष हो तो पिता की वर्तमान उम्र बताएं——
उत्तर:-
माना कि पिता की उम्र= xवर्ष
तथा बड़े लड़की की उम्र= yवर्ष
यदि बड़े लड़के की उम्र=y है तो
छोटे लड़के की उम्र=y-15
x=2y
x-2y=0 ——–(1)
10 वर्ष बाद पिता की वर्तमान उम्र=x+10
छोटे लड़के की उम्र=y-15+10=y-5
शर्त से, (x+10)=(y-5)×3
x+10=3y-15
x-3y=-15-10=-25
x-3y=-25 ———(2)
From eq (1) &(2)
x-2y=0
x-3y=-25
y=25
Put the value of y in eq (1)
x-2y=0
x-2×25=0
x-50=0
x=50
32. एक व्यक्ति अपने मित्र से इस प्रकार कहता है कि “मित्र यदि तुम मुझे सौ दोगे तो मैं तुमसे दुगुना धनी हो जाऊँगा| उसका मित्र जवाब देता है, यदि तुम मुझे दस दोगे तो मैं तुमसे छ: गुना धनी हो जाऊँगा|” बताएं कि उनकी पूंजी क्या है?
Answer:-
x+100=2(y-100)
x+100=2y-200
x-2y=-200-100=-300
x-2y=-300 ———(1)
y+10=6(x-10)
y+10=6x-60
y-6x=-60-10=-70
6x-y=70 ————–(2)
From eq (1) &(2)×2
x-2y=300
12x-2y=140
-11x=-440
x=-440/-11=40
Put the value of x in eq (1)
x-2y=-300
40-2y=-300
-2y=-300-40=-340
y=-340/-2=170
33. 90% और 97℅ शुद्ध अम्ल के घोलों को मिलाकर 21 लीटर 95℅ शुद्ध अम्ल का घोल तैयार किया जाता है| प्रत्येक तरह के अम्ल की मात्रा ज्ञात करें जिसे मिलाकर यह मिश्रण तैयार किया जाता है|
उत्तर:-
यहाँ घोल दो तरह का है|
पहला 90℅ शुद्ध अम्ल घोल
दूसरा 97℅ शुद्ध अम्ल घोल
माना कि पहला का x लीटर और दूसरा y लीटर मिलाया जाता है| तो
x+y=21 ——-(1)
घोल पहला x के लीटर में अम्ल की मात्रा= x का 90℅
X का 90/100 =9×10
घोल दूसरा y के लीटर में अम्ल की मात्रा= y का 97℅
y का 97/100 =97y/100
मिश्रण के 21 लीटर में अम्ल की मात्रा= 95 ×21
100
9x + 97y = 95×21
10 100 100
90x+97y = 95×21
100 100
90x+97y=95×21
90x+97y=1995 ———(2)
From eq (1)×90&(2)
90x+90y=1890
90x+97y=1995
-7y=-105
y=-105/-7=15
Put the value of y in eq (1)
x+y=21
x+15=21
x=21-15=6
34. समीकरण x-y+1=0 एवं 3x+2y-12=0 के आलेख खींचे x-अक्ष और इन रेखाओं द्वारा निर्मित त्रिभुज के शीर्षों के नियामक निर्धारित करें एवं त्रिभुजीय क्षेत्र को छायांकित करें|
उत्तर:-
x-y+1=0 ——-(1)
3x+2y-12=0 ——-(2)
From eq (1)
x-y+1=0
x=0, 0-y+1=0, y=1
x=-1, -1-y+1=0, => y=0
x=2, 2-y+1=0, =>3-y=0, => y=3
From eq (2)
3x+2y-12=0
x=0, 3×0+2y-12=0, 0+2y=12, 2y=12, y=12/2=6, y=6
x=4, 3×4+2y-12=0, 12+2y-12=0, 2y=0,y=0
x=2, 3×2+2y-12=0, 6+2y-12=0, 6-2y=0
6=2y, y=6/2=3, y=3
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