विविध प्रश्नावली
वस्तुनिष्ठ प्रश्न
सही उत्तर चुनें-
1. निम्नलिखित में कौन बहुपद नहीं है?
(a) 2/3x (b) 2-x2+√3x (c)1/x-1 (d)x3
2. यदि P(x)=x2-3x-4 तो P(x) का एक शून्यक होगा?
(a) 2 (b) 4 (c) 0 (d) 3
3. यदि बहुपद P(x) का एक गुणनखंड x+1 हो, तो P(x) का एक शून्यक होगा।
(a) -1 (b) 1 (c) 0 (d) p(0)
4. यदि बहुपद P(x) का एक शून्यक 4 हो, तो P(x) निम्नलिखित में से किसके अवश्य विभाजक होगा।
(a) x+4 (b) 4×2 (c) 4x (d) x-4
5. यदि किसी द्विघात बहुपद P(x)=x2-2x+5 के शून्यक a, b हों तो a+b का मान होगा?
(a) -2 (b) 2 (c) 5 (d) -5
6. यदि किसी द्विघात बहुपद P(x)=2×2+3x-4 के शून्यक a, b हों तो a•b का मान होगा?
(a) -4 (b) 3/2 (c) -2 (d) 4/3
7. यदि बहुपद P(x)=4×3-5×2+3x+7 के शून्यक a•b और r हो तो a•b•y का मान होगा-
(a) -7/4 (b) 5/4 (c) 7/4 (d) 3/4
8. यदि द्विघात बहुपद P(x) इस प्रकार है कि P(1) =-6 और इसके शून्यकों का योग 4 और गुणनफल -3 है, तो P(x)=
(a) 2×2-8x-6 (b) x2-4x-3 (c) x2+3x-4 (d) -6(x2+3x-4)
9. भाग एल्गोरिदम से P(x)=q(x)•q(x)+r(x) जहाँ q(x)=/0 भाजक है, तो निम्नलिखित में कौन सही है?
(a) r(x) का घात <q(x) का घात
(b) r(x) का घात <q(x) का घात
(c) q(x) •p(x) का गुणनखण्ड अवश्य होगा
(d) p(x), q(x) का गुणनखण्ड होगा
उत्तर-1(c), 2(b), 3(a), 4(d), 5(b), 6(c), 7(a), 8(b), 9(b)
रिक्त स्थानों की पूर्ति करें-
10. यदि द्विघात बहुपद 7×2-5x+1 के शून्यक a, b हो, तो
(i)a+b=……… (ii)a•b=……..
11. यदि बहुपद 2×3+3×2-5x-2 के शून्यक a•b और हो, तो
(i)a+b+y=…….. (ii)a•b+b•y+y•a=……..
12. यदि किसी द्विघात बहुपद P(x)=x2+bx+c के शून्यक 6 और -2 हो, तो b=……. c=……….
13. यदि किसी द्विघात बहुपद P(x) के शून्यक a, b हों ताकि a+b=-3 और a•b=5 हों तो P(x)=…… होगा जबकि x2 का गुणांक है।
14. यदि किसी द्विघात बहुपद P(x) के शून्यक 1,-1 और 2 और x3 का गुणांक =1 हो तो P(x)=………
15. यदि किसी त्रिघात बहुपद P(x) के शून्यक a, b और y हो ताकि a+b+y=7, ab+by+ya=3 और a•b•y=5 हो तो P(x)=………. होगा जबकि x3 का गुणांक 1 है।
16. त्रिघात बहुपद x3-2×2-5x+6 का एक शून्यक 3 है, तो बाकी शून्यक………. और……. होंगे।
17. यदि P(x)=q(x)•g(x) और P(x) का घात=6 और g(x) का घात 2 हो, तो P(x) का
q(x)
घात………. होगा।
उत्तर-10.(i)5/7, (ii) 1/7,
11.(i) -3/2, (ii) -5/2
12.-4, -12 क्रमशः ,13.×2+3x+5, 14.×3-2×2-x+2, 15.×3-7×2+3x-5, 16.1,-2, 17.4
18. यदि बहुपद P(x)=x4-x3-14×2+8x+48 के दो शून्यक 2√2 और -2√2 हो तो शेष शून्यकों को ज्ञात कीजिए।
Ans.
2√2 और -2√2 बहुपद x4-x3-14×2+8x+48 के शून्यक है
(x-2√2)(x+2√2)
=x2-8
x2-8)x4-x3-14×2+8x+48(x2-x-6
x4 -8×2
-x3-6×2+8x
-x3 +8x
-6×2+48
-6×2+48
X x
x4-x3-14×2+8x+48
(x2-8)(x2-x-6)
(x2-8)(x2-3x+2x-6)
(x2-8)x(x-3)+2(x-3)
(x2-8)(x-3)(x+2)
x-3=0 x+2=0
x=3 x=-2
20. उस बहुपद के घात ज्ञात करें जिसको P(a) से गुणा करने पर गुणनफल q(a) होता है, जहाँp(a) =1+a+a2 एवं q(a)=a4-a2-2a-1
Ans.
a2+a+1) a4-a2-2a-1(a2-a-1
– a4+a3+a2
a3-2a2-2a
– a3-a2-a
-a2-a-1
-a2-a-1
X X X
21. इस बहुपद को ज्ञात करें जिसको P(x) से गुणा करने पर गुणनफल q(x) होगा जहाँ P(x)=x2-2x+5एवं q(x)=x4-x3+5×2+x+10
Ans.
x2-2x+5) x4-x3+5×2+x+10(x2+x+2
x4-2×3+5×2
x3+x+10
x3-2×2+5x
2×2-4x+10
2×2-4x+10
Xxx
22. P(x)=x4+x3-2×2+3x-1 में q(x)=x2+2x-1 से भाग दें एवं बताएं कि q(x), p(x) का गुणनखण्ड है अथवा नहीं।
Ans.
x2+2x-1)x4+x3-2×2+3x-1(
x4+2×3-x2
-x3-x2+3x
-x3-2×2+x
x2+2x-1
x2+2x-1
X
23. P(x)=x5+5×3+3×2+5x+3 में q(x)=x2+4x+2 से भाग दें एवं बताएं कि q(x), p(x) का गुणनखण्ड है अथवा नहीं।
Ans.
x2+4x+2)x5+5×3+3×2+5x+3(x3-4×2+19x- 65
x5+4×4+2×3
-4×4+3×3+3×2
-4×4-16×3-8×2
19×3+11×2+5x
19×3+76×2+38x
-65×2-33x+3
-65×2-260x-130
227x+133
24. एक त्रिघाती बहुपद ज्ञात करें जिसके शुन्यकों का योग 2 है, शून्यकों को दो-दो करके लेने पर योग -7 है और शून्यकों का गुणनफल=-14 है।
Ans.
a+b+y=2/1=-b/a
a•b+b•y+y•a=-7=c/a
a•b•y=-14=-d/a
a=1 तो b=-2 c=-7
त्रिघाती बहुपद=a{x3-(a+b+y)x2+(a•b+b•y+y•a)x-a•b•y}
=1{x3-2×2-7x+14
=x3-2×2-7x+14
25. जांचे कि त्रिघाती बहुपद के साथ लिखी गई संख्याएँ उनके शून्यक है अथवा नहीं फिर शून्यकों और गुणाकों के बीच प्रत्येक दशा में संबंधों को लिखें।
(i)2×3+x2-5x+2, 1/2, 1,-2
(ii)x3-4×2+5x-2, 2,1,1
Ans. (i)
P(x)=2×3+x2-5x+2 की तुलना ax3+bx2+cx+d से करने पर, a=2, b=1, c=-5, d=2
P(1/2)=2(1/2)3+1(1/2)2-5•1/2+2
=2•1/8+1/4-5/2+2=1/4+1/4-5/2+2
=1+1-10+8 =10-10 =0
4 4
P(1)=2•(1)3+1•(1)2-5•1+2
=2+1-5+2
=5-5=0
P(-2)=2•(-2)3+(-2)2-5x(-2)+2
=-16+4+10+2=16-16=0
1/2, 1,-2 शून्यक है
इसलिए a=1/2, b=1, y=-2
a+b+y=1/2+1/1-1/1=1+2-4 =-1 =-b
2 2 a
a•b+b•y+t•a=1/2•1+1x(-2)+(-2)x1/2
=1/2-2-1=1-6 = -5/2=c/a
2
a•b•y=1/2x1x(-2)=-2/2=-d/a
(ii) दिए गए बहुपद P(x)=x3-4×2+5x-2 की तुलना ax3+bx2+cx+d से करने पर
a=1, b=-4, C=5, d=-2
P(2)=(2)3-4x(2)2+5×2-2
=8-4×4+10-2
=8-16+10-2=18-18=0
P(1)=(1)3-4×1+5×1-2
=1-4+5-2=6-6=0
2,1,1 बहुपद के शून्यक है
a=12, b=1, y=1 रखने पर
a+b+y=2+1+1=4/1=-b/a
a•b+b•y+y•a=2×1+1×1+1×2=5/1=c/a
a•b•y=2x1x1=2/1=d/a
26. यदि बहुपद x3-3×2+x+1 के शून्यक a-b, a, a+b हो तो a और b के मान निकाले ं।
Ans.
P(x)=x3-3×2+x+1 की तुलना ax3+bx2+cx+d से करने पर, a=1, b=-3, c=1, d=1
a-b, a, a+b शून्यक है
a-b+a+a+b=-b/a=-(-3)/1
3a=3
a=1
(a-b)•a+(a+b)+(a-b)(a+b)=1/1
a2-ab+a2+ab+a2-b2=1
3a2-b2=1
3x(1)2-b2=1
3-1=b2
2=b2
b=+√2, -√2
27. यदि बहुपद x4-6×3+16×2-25x+10 में दूसरे बहुपद x2-2x+k से भाग देने पर शेषफल x+a आता है तो k और a का मान निकालें।
Ans.
x2+2x+k)x4-6×3+16×2-25x+10(x2-4x+8-k
x4-2×3+kx2
-4×3+(16-k)x3-25x+10
-4×3+8×2-4kx
(8-k)x2-(4k-25)x+10
(8-k)x2-2(8-k)x+(8-k)k
=(2k-9)x-(8-k)k+10
(2k-9)x-(8-k)k+10 तथा x+a की तुलना करने पर,
2k-9=1
2k=9+1
2k=10
k=10/2=5
-8k+k2+10=a
-8×5+(5)2+10=a
-40+25+10=a
a=-5
28. P(x)=kx3+3×2-3 और q(x)=2×3-5x+k में x-4 से भाग देने पर समान शेष आता है। k का मान ज्ञात करें।
Ans.
P(4)=k(4)3+3(4)2-3
=64k+48-3=64k+45
q(4)=2•(4)3-5×4+k
=128-20+k=108+k
64k+45=108+k
64k-k=108-45
63k=63
k=63/63=1
29. यदि बहुपद (a+2)x2-3ax-2 का एक शून्यक दूसरे शून्यक का ऋणात्मक तो बहुपद निर्णय करें।
Ans.
माना पहली शून्यक= a
दूसरी शून्यक=-a
a+(-a)=– x का गुणांक
x2 का गुणांक
0=-(3a)
a+2
3a=0x(a+2) =0
a=0/3=0
30. यदि बहुपद (a2+9)x2+13x+6a एक शून्यक दुसरे का व्युत्क्रम है तो a का मान ज्ञात करें।
Ans.
माना पहली शून्यक=1/a
दूसरी शून्यक=a
a•1/a= अचर पद = 6a
x2 का गुणांक a2+9
1 = 6a
1 a2+9
a2+9=6a
a2-6a+9=0
a2-3a-3a+9=0
a(a-3)-3(a-3)=0
(a-3)(a-3)=0
(a-3)2=0
a-3=√0=0
a=3
0 टिप्पणियाँ