•दो चर वाले रैखिक समीकरण युग्म•
प्रश्नावली-2A
1. 3x-2y+1=0 को संतुष्ट करते हुए रिक्त स्थानों को भरें-
(i) जब x=1, y=………
(Ii) जब y=5, x=……..
Ans. (i)
x=1 रखने पर,
3×1-2y+1=0
3-2y+1=0
-2y+4=0
-2y=-4
y=-4/-2
y=2
(ii) y=5 रखने पर,
3x-2×5+1=0
3x-10+1=0
3x-9=0
3x=9
x=9/3
x=3
2. निम्नलिखित में सही/गलत कथनों पहचानें।
(i) समीकरण 5x-2y=7 का एक हल x=3, y=4 है।
(ii) प्रत्येक समीकरण युग्म
ax+by+c=0
dx+ey+f=0
(iii) अविरोध समीकरण युग्म a1x+b1y=c1 और a2x+b2y=c2 केवल एक हल होता है।
(iv) 4 के अतिरिक्त P के सभी मानों के लिए युगपत समीकरण 4x+py=-8, 2x+2y=-2 का अद्वितीय हल होगा?
उत्तर-(i)सही, (ii)गलत, (iii) सही, (iv) सही
व्याख्या-(i)5x-2y=7
5•3-2•4=7
15-8=7
7=7
3. समीकरण युग्म 3x+ay=1 और bx-2y=3 का हल x=1, y=2 है तो a और b का मान निकाले ं।
Ans.
x=1 , y=2 रखने पर,
3x+ay=1 bx-2y=3
3•1+a•2=1 b•1-2•2=3
3+2a=1 b-4=3
2a=1-3 b=3+4
2a=-2 b=7
a=-1
4. समीकरण x+y=6 के कितने हल होंगे?
Ans.
जब x=0, 0+y=6 y=6
जब x=1, 1+y=6 y=6-1=5
अत: अनगिनत हल होंगे।
5. रिक्त स्थानों को भरें-
(i) वह समीकरण युग्म जिसका एक और केवल एक हल होता है………… समीकरण कहलाता है।
(ii) सह समीकरण युग्म जिसका कोई हल न हो,……….. समीकरण कहलाता है।
उत्तर-(i)अविरोधी , (ii) विरोधी
6. (i) युगपत समीकरण 2x+3y=8, 4x+6y=7 के कितने हल होंगे।
(ii) युगपत समीकरण x+2y-8=0, 2x+4y=16 के कितने हल होंगे।
(iii) समीकरण निकाय 2x+3y-7=0, 6x+5y=11 के कितने हल होंगे।
उत्तर-(i) 2 = 3 =/ 8 कोई हल नहीं
4 6 7
(ii) 1 = 2 = 8 = 1 = 1 = 1
2 4 16 2 2 2
अनगिनत
(iii) 2 =/ 3 एक और केवल एक।
6 5
7. यदि युग्म a1x+b1y+c1=0 और a2x+b2y+c2=0 के लिए a1 =/ b1 हो तो
a2 b2
समीकरण के कितने हल होंगे?
उत्तर-एक और केवल एक।
8. बताएं कि निम्नलिखित युगपत समीकरण
अविरोधी या विरोधी या आश्रित है|
(i)5x-3y=0, 6y-10+22=0
(ii)2r-3s=8, 4r-6s=9
(iii) 3/2l+5/3m=7, 9l-10m=14
Ans.
(i) 5 = -3 = -11 => 1 = -1 = -1 आश्रित
-10 6 22 -2 2 2
(ii) 2 =-3 =/ 8 => 1 = 1 =/ 8 विरोधी
4 -6 9 2 2 9
(iii) 3/2 = 5/3 = 7
9 -10 14
3 = 5 = 7
18 -30 14
1 =/ -1 अविरोधी
6 6
9. (i)x+2y=8 और 4y-3x=11 को हल करने में किसी विद्यार्थी का हल x=6, y=1 आया| क्या उसका उत्तर सही था? सकारण लिखें|
(ii)एक विद्यार्थी ने परीक्षा में समीकरण युग्म x+y=3 और 2x-3y=1 का हल x=2, y=1 निकाला क्या उसका उत्तर सही था? सकारण लिखें|
Ans.
(i) x+2y=8 4y-3x=11
6+2y=8 4•1-3x=11
2y=8-6=2 -3x=11-4
y=2/2=1 -3x=7
x= 7
-3
उसका उत्तर गलत था|
(ii)x+y=3
2+y=3
y=3-2=1
x+1=3
x=3-1=2
उसका उत्तर सही था.
10.(i) दो चरों में समीकरण 3x-2y=9 को संतुष्ट करने वाले मान युग्मों के भुज कोटि सारणी में दिए गए हैं| रिक्त भुज या कोटि को भरकर सारणी पूरा करें|
x 3 -1 …… ……..
y …… …… 3 0
Ans.
x=3 रखने पर,
3x-2y=9
3•3-2y=9
9-2y=9
-2y=9-9=0
y= 0 =0
-2
x=-1 रखने पर,
3x-2y=9
3•(-1)-2y=9
-3-2y=9
-2y=9+3
-2y=12
y=12/-2=-6
y=3 रखने पर,
3x-2y=9
3x-2•3=9
3x-6=9
3x=6+9=15
x=15/3=5
y=0 रखने पर,
3x-2y=9
3x-2•0=9
3x=9
x=9/3=3
(ii)एक घातीय समीकरण 2x+5y-7=0 को संतुष्ट करने वाले मान युग्मों के भुज कोटि सारणी में दिए गए हैं| रिक्त भुज या कोटि को भरकर सारणी पूरा करे|
x 0 ….. 1 …….
y … 0 ….. -1
Ans.
x=0 रखने पर,
2x+5y=7
2•0+5y=7
y=7/5
y=0 रखने पर,
2x+5y=7
2x+5•0=7
2x=7
x=7/2
x=1 रखने पर,
2x+5y=7
2•1+5y=7
5y=7-2=5
y=5/5=1
y=-1 रखने पर,
2x+5y=7
2x+5•(-1)=7
2x-5=7
2x=7+5=12
x=12/2=6
11.(i) समीकरण x+2y=9 के लिए प्राकृत संख्याओं के समुच्चय में हल लिखें|
Ans.
x=1 रखने पर,
x+2y=9
1+2y=9
2y=9-1=8
y=8/2=4
x=3 रखने पर,
x+2y=9
3+2y=9
2y=9-3=6
y=6/2=3
x=5 रखने पर,
x+2y=9
5+2y=9
2y=9-5=4
y=4/2=2
(ii)समीकरण 3x+y=11 के लिए प्राकृत संख्याओं के समुच्चय में हल लिखें|
Ans.
3x+y=11
x=1, 3•1+y=11
3+y=11
y=11-3=8
x=2, 3•2+y=11
6+y=11
y=11-6=5
x=3, 3•3+y=11
9+y=11
y=11-9=2
12. x+y=14 —–(1)
x-y=4 ——-(2)
समीकरण (1) +(2)
x+y=14
x-y=4
2x=18
x=18/2=9
स०(1) में x का मान रखने पर,
x+y=14
9+y=14
y=14-9=5
13. x+y=7 ——(1)x12
5y+12x=7 ——-(2)
समीकरण (1)x12-(2) से,
12y+12x=84
– 5y+12x=7
7y =77
y=77/7=11
स०(1) में y का मान रखने पर,
x+y=7
x+11=7
x=7-11=-4
14. 7x-15y-2=0
x+2y-3=0
Ans.
7x-15y=2 —–(1)
x+2y=3 ——(2)x7
समीकरण (1)-(2)x7 से,
7x-15y=2
7x+14y=21
-29 y=-19
y=-19
-29
y=19
29
समीकरण (1) में y का मान रखने पर,
7x-15• 19 =2
29
7x=2+15• 19 =2+ 285
29 29
7x=58+285
29
7x= 343 = x= 343 = 49
29 29•7 29
15. u+v=5 —–(1)x3
2u-3v=4 ——(2)
समीकरण (1)x3+(2) से,
3u+3v=15
2u-3v=4
5u=19
u= 19
5
समीकरण (1) में u का मान रखने पर,
u+v=5
19 +v=5
5
v=5- 19 = 25-19 = 6
5 5 5
16. 3x+4y=10 ——(1)
2x-2y=2 —–(2)x2
समीकरण (1) +(2) x2 से,
3x+4y=10
4x-4y=4
7x=14
x= 14 =2
7
x का मान समीकरण (1) में देने पर,
3x+4y=10
3•2+4y=10
4y=10-6=4
y=4/4=1
17. 2x+y=-4 ——(1)x3
3y=5x-1
5x-3y=-1 ——-(2)
समीकरण (1)x3+(2) से,
6x+3y=-12
5x-3y=-1
11x=11
x=11/11=1
समीकरण (1) में x का मान रखने पर,
2•(-1)+y=-4
y=-4+2=-2
18. 3x-2y=12 ——–(1)x5
4x-5y=16 ——-(2)x2
समीकरण (1)x5-(2)x2 से,
15x-10y=60
8x-10y=32
7x=28
x=28/7=4
x=4, स०(1) में रखने पर,
3x-2y=12
3•4-2y=12
-2y=12-12=0
y=0/-2=0
19. x-y=3 ——(1) x3
x + y =6
3 2
2x+3y =6
6
2x+3y=36 ——-(2)
समीकरण (1)x3+(2)से,
3x-3y=9
2x+3y=36
5x =45
x= 45 =9
5
x का मान समीकरण (1) में रखने पर,
x-y=3
9-y=3
-y=3-9
-y=-6
y=6
20. 3x-7y=7 ——-(1) x5
11x+5y=87 ——-(2) x7
समीकरण (1)x5+(2) x7 से,
15x-35y=35
77x+35y=609
92x =644
x= 644 =7
92
x=2 समीकरण (1) में रखने पर,
3x-7y=7
3•7-7y=7
21-7y=7
-7y=7-21=-14
y= -14 =2
-7
21. 2a+3b=8 ——(1)x4
3a-4b=-5 —–(2)x3
समीकरण (1)x4+(2)x3 से,
8a+12b=32
9a-12b=-15
17a =17
a=17/17=1
समीकरण (1) में a का मान रखने पर,
2a+3b=8
2•1+3b=8
2+3b=8
3b=8-2=6
b=6/3=2
22. 23h-29k=98 ——(1)x29
29h-23k=110 ——-(2)x23
समीकरण (1)x29-(2)x23 से,
529h-667k=2254
841h-667k=3190
-312h =-936
h= -936 =3
-312
समीकरण (1) में h का मान रखने पर,
23h-29k=98
23×3-29k=98
69-29k=98
-29k=98-69
-29k=29
k=29/-29=-1
23. 7x+4y=10 ——(1)x12
35 x+12y=25 ——(2) x4
2
समीकरण (1)x12-(2)x4 से,
84x+48y=120
70x+48y=100
14x =20
x= 20 = 10
14 7
समीकरण (1) में x का मान रखने पर,
7x+4y=10
7• 10 +4y=10
7
10+4y=10
4y=10-10=0
y=0/4=0
24. x + y +1=23
4 5
= x + y =23-1=22 ——-(1) x 1
4 5 4
x + y =23 ——–(2) x 1
5 5 5
समीकरण (1)x1/4-(2)x1/5 से,
x/16 + y/20 =22/4
x/25 + y/20=23/5
x – x = 22 – 23
16 25 4 5
25x-16x =110-92
400 20
9x = 18
400 20
9x•20=18•400
x=400•18 =40
9•20
Put the value of x=40 in equation (1)
x + y =22
4 5
40 + y =22
4 5
10+ y =22
5
y =22-10=12
5
y=12•5=60
25. x-y=0.9 —–(1) x2
11 =1
2(x+y)
2x+2y=11 ——-(2)
समीकरण (1) x2+(2) से,
2x-2y=0.9
2x+2y=11
4x =12.8
x= 12.8 =3.2= 32 = 16
4 10 5
समीकरण (1) में x का मान देने पर,
x-y=0.9
3.2-y=0.9
-y=0.9-3.2=-2.3
y=2.3= 23
10
26. 2u+v= 7 uv
3
u+3v= 11 uv
3
uv से दोनों पक्षों को भाग देने पर,
2u + v = 7uv
uv uv 3uv
2 + 1 = 7 … (1) 1 + 3 = 11 …. (2)
v u 3 v u 3
समीकरण (1)-(2)x2 से,
2 + 1 = 7
v u 3
2 + 6 = 22
v u 3
1 – 6 = 7 – 22
u u 3 3
1-6 = 7-22
u 3
-5 = -15
u 3
-15u=-15
u=1
समीकरण (1) में u का मान देने पर,
2 + 1 = 7
v u 3
2 + 1 = 7
v 1 3
2 = 7 – 1
v 3 1
2 = 7-3
v 3
2 = 4
v 3
4v=6
v=6/4= 3
2
27. 2 + 3 =13 ——-(1)
x y
5 – 4 =-2 ——–(2)
x y
समीकरण (1)x5 -(2)x2 से,
10 + 15 =65
x y
10 – 8 =-4
x y
15 + 8 =65+4
y y
23 =69
y
23=69y
y= 23 = 1
69 3
समीकरण (1) में y का मान रखने पर,
2 + 3 =13
x 1/3
2 =13-9=4
x
4x=2
x= 2 = 1
4 2
28. 1 + y =5 ———(1)
5x 9
1 + y =14 ———-(2)
3x 2
समीकरण (1) x 1/2 – (2) x 1/9 से,
1 + y = 5
10x 18 2
1 + y = 14
27x 18 9
1 – 1 = 5 – 14
10x 27x 2 9
27-10 = 45-28
270x 18
17 = 17
270x 18
270x•(17) =18•17
x= 18•17 = 1
270•17 15
समीकरण (1) में x का मान रखने पर,
1 + y = 5
5x 9
1 + y = 5
5•1/15 9
15 + y =5
5 9
y =5-3=2
9
y=2•9=18
29. x+y=a+b —–(1) xb
ax-by=a2-b2 —-(2)
समीकरण (1)xb +(2) से,
bx+by=b(a+b)
ax-by=a2-b2
x(a+b)=ab+b2+a2-b2
x(a+b)=a(a+b)
x= a(a+b) =a
(a+b)
समीकरण (1) में x का मान रखने पर,
x+y=a+b
a+y=a+b
y=a+b-a=b.
30.(i) ax+by=c ——–(1)
bx+ay=1+c ——–(2)
समीकरण (1)xb-(2)xa से,
abx+b2y=bc
abx+a2y=a+ac
y(b2-a2)=bc-a-ac
y= bc-a-ac
b2-a2
समीकरण (1)xa-(2)xb से,
a2x+aby=ac
b2x+aby=b+bc
x(a2-b2)=ac-b-bc
x=ac-b-ac =bc-ac+b
a2-b2 b2-a2
(ii) ax+by=a-b —-(1)
bx-ay=a+b ——(2)
समीकरण (1)xa+(2)xb से,
a2x+aby=a2-ba
b2x-aby=ab+b2
x(a2+b2)=a2-ab+ab+b2
x= a2+b2 =1
a2+b2
समीकरण (1) में x का मान रखने पर,
ax+by=a-b
a•1+by=a-b
a+by=a-b
by=a-b-a=-b
y=-b/b=-1
(iii) 6(ax+by)=3a+2b ——(1)
6(bx-ay)=3b-2a ——(2)
समीकरण (1)xa+(2)xb से,
6a2x+6aby=3a2+2ab
6b2x-6aby=3b2-2ab
6x(a2+b2)=3(a2+b2)
x= 3(a2+b2) = 1
6(a2+b2) 2
समीकरण (1) में x का मान रखने पर,
6ax+6by=3a+2b
6a•1/2+6by=3a+2b
3a+6by=3a+2b
6by=3a+2b-3a=2b
y= 2b = 1
6b 3
31. √2x+√3y=0 —–(1)
√5x-√2y=0 ——(2)
समीकरण (1)x√2+(2)x√3 से,
2x+√6y=0
√15-√6y=0
x(2+√15)=0
x= 0 =0
2+√15
समीकरण (1) में x का मान रखने पर,
√2x+√3y=0
√2•0+√3y=0
0+√3y=0
y= 0 =0
√3
32.(i) x + y =2 —–(1)
a b
ax-by=a2-b2 ——-(2)
समीकरण (1) -(2)x 1 से,
b2
x/a+y/b=2
ax/b2-y/b=a2-b2
b2
x/a+ax/b2=2+a2-b2
b2
b2x+a2x = 2b2+a2-b2
ab2 b2
x(a2+b2) =a2+b2
ab2 b2
x= a2+b2 • ab2
b2 a2+b2
x=a
समीकरण (1) में x का मान रखने पर,
x + y =2
a b
a + y =2
a b
1+ y =2
b
y =2-1=1
b
y=b
(ii) x – y =0 ——(1)
a b
ax+by=a2+b2 —–(2)
समीकरण (1) -(2)x 1 से,
b2
x/a-y/b=0
ax + y = a2+b2
b2 b b2
x + ax = a2+b2
a b2 b2
b2x+a2x = a2+b2
ab2 b2
x(a2+b2) = a2+b2
ab2 b2
x= a2+b2 • ab2 =a
b2 a2+b2
समीकरण (1) में x का मान रखने पर,
x – y =0
a b
a – y =0
a b
1- y =0
b
1= y
b
y=b
(iii) x + y =a+b ——(1)
a b
x + y =2 ——-(2)
a2 b2
समीकरण (1) • 1 -(2) से,
a
x/a2+y/ab=a+b
a
x/a2+y/b2=2
y – y = a+b -2
ab b2 a
yb-ya =a+b-2a
ab2 a
y(b-a) =b-a
ab2 a
y= (b-a) • ab2
a b-a
y=b2
समीकरण (1) में y का मान रखने पर,
x + y =a+b
a b
x + b2 =a+b
a b
x +b=a+b
a
x =a+b-b
a
x=a•a=a2
33.(i) P के ऐसे मान ज्ञात कीजिए जिसके लिए निम्नलिखित समीकरण निकाय का एक अद्वितीय हल हो|
px+2y=5
3x+y=1
a=p, b=2, C=5
a=3, b=1, f=1
अद्वितीय हल के लिए शर्त-
a =/ b
d e
p =/ 2 =>p=/6
3 1
p का मान 6 से अलग होगा|
(ii) अचर m का मान निकाले ं ताकि युग्म
mx+2y=5
3x+2y=1 का (a) केवल एक हल होगा|
(b) कोई हल न हो
a=m, b=2, C=5
d=3, e=1, f=1
केवल एक हल के लिए-
a =/ b
d e
m =/ 2
3 1
m=/10
कोई हल नहीं के लिए-
a = b =/ e
d e f
m = 2
3 1
m=6
(iii) t के किस मान के लिए निम्नलिखित का कोई हल नहीं होगा?
(a) tx+y=1 (b)x+ty+t=0
(t-1)x+2y=3 x+(2-t)y=2
(c)3x+y=1
(2t-1)x+(t-1)y=2t+1
Ans.
(a) कोई हल नहीं के लिए-
a = b
d e
t = 1
t-1 2
2t=t-1
2t-t=-1
t=-1
(b) 1 = t
1 2-t
2-t=t
2=t+t=2t
t=1
(c) 3 = 1
2t-1 t-1
3t-3=2t-1
3t-2t=-1+3=2
t=2
34.(i) k के किस मान के लिए रैखिक समीकरण निकाय के अनंत अनगिनत हल होंगे?
(a) kx+3y=k-3 (b) 2x+3y=4
12x+ky=k (k+2)x+6y=3k+2
(c)2x+3y=5
4x+ky=10
Ans.
(a) अनगिनत हल के लिए-
a = b = c
b e fir
k = 3
12 k
k2=36
k=√36=6
(b) 2 = 3
k+2 6
12=3k+6
12-6=3k
6=3k
k=2
(c) 2 = 3
4 k
2k=12
k=12/2=6
(iii) a, b के मान ज्ञात कीजिए जिनके लिए निम्न रैखिक समीकरण निकाय के अनंत होंगे|
2x+3y=7, 2ax+(a+b)y-28=0
Ans.
अनगिनत हल होंगे यदि-
a = b = c
d e f
2 = 3 = 7
2a a+b 28
2 = 1 3 = 1
2a 4 a+b 4
2a=4•2=8 a+b=4•3=12
a=8/2=4 b=12-a
b=12-4=8
(iii) m के किस मान के लिए निम्न युगपत समीकरण का कोई हल नहीं होगा|
3x+y-1=0, (2m-1)x+(m-1)y-2m+1=0
Ans.
कोई हल नहीं के लिए-
a = b =/ c
b e f
3 = 1
2m-1 m-1
3m-3=2m-1
3m-2m=-1+3=2
m=2
हल करें-
35.(i) x – 2 =1 ——(1)x3
3 x+y
और x + 3 =3 ——-(2)x2
4 x+y
समीकरण (1)x3+(2)x2 से,
3x – 6 =3
3 x+y
2x + 6 =6
4 x+y
3x + 2x =3+6=9
3 4
12x+6x =9
12
18x=9•12=108
x=108/18=6
समीकरण (1) में x का मान रखने पर,
x – 2 =1
3 x+y
6 – 2 =1
3 6+y
6(6+y)-2•3 =1
3(6+y)
36+6y-6 =1
18+3y
30+6y=18+3y
6y-3y=18-30=-12
3y=-12
y=-12/3=-4
(ii) 10 + 2 =4
x+y x-y
15 – 5 =-2
x+y x-y
Let 1 =p & 1 =q
x+y x-y
10p+2q=4 —–(1)x5
15p-5q=-2 ——(2)x2
समीकरण(1)x5+(2)x2 से,
50p+10q=20
30p-10q=-4
80p =16
p=16/80
p=1/5
P का मान समीकरण (1) में देने पर,
10p+2q=4
10•1/5+2q=4
2+2q=4
2q=4-2=2
q=1
p और q का मान वापस लेने पर,
1 = 1
x+y 5
x+y=5 ——-(3)
1 =1
x-y
x-y=1 ———-(4)
From equation-(3)&(4)
x+y=5
x-y=1
2x=6
x=6/2=3
Put the value of x in equation-(3)
x+y=5
3+y=5
y=5-3=2
(iii) 5 + 1 =2
x-1 y-2
6 – 3 =1
x-1 y-2
माना 1 =p, 1 =q
x-1 y-2
5p+q=2 ——-(1)x3
6p-3q=1 ———-(2)x1
समीकरण(1)×3+(2) से,
15p+3q=6
6p-3q=1
21p =7
p=7/21
p= 1
3
P का मान समीकरण (3) में रखने पर,
5p+q=2
5•1/3+q=2
5/3+q=2
q=2- 5 = 6-5 = 1
3 3 3
P और q का मान वापस लेने पर,
1 = 1 1 = 1
x-1 3 y-2 3
x-1=3 y-2=3
x=3+1=4 y=3+2=5
(iv) 1 + 1 =2 —–(1)
2x 3y
1 + 1 = 13 ——(2)
3x 2y 6
समीकरण (1)× 1 -(2)× 1
2 3
1 + 1 = 2
4x 6y 2
1 + 1 = 13
9x 6y 18
1/4x-1/9x=1-13/18
9-4 = 18-13
36x 18
5 = 5
36x 18
x= 18•5 = 1
36•5 2
x=2, समीकरण (1) में देने पर,
1 + 1 =2
2• 1 3y
2
1 = 2-1=1
3y
y=1/3
(v) 7u-2v =5 8u+7v =15
uv uv
7u-2v=5uv —–(1)
8u+7v=15uv ——(2)
समीकरण(1)x7+(2)x2 से,
49u-14v=35uv
16u+14v=30uv
65u =65uv =>v=1
v का मान समीकरण (1) में रखने पर,
7u-2v=5uv
7u-2•1=5u•1
7u-2=5u
7u-5u=2
2u=2
u=1
36. 3(2x+y)=7xy और 3(x+3y)=11xy
6x+3y=7xy –(1)
3x+9y=11xy —(2)
समीकरण (1)-(2)x2 से,
6x+3y=7xy
6x+18y=22xy
-15y=-15xy
x=1
x=1, समीकरण (2) में मान रखने पर,
3x+9y=11xy
3•1+9y=11•1•y
3+9y=11y
3=11y-9y=2y
y=3/2
37.(i) p(x+y)+q(x-y)=p2-pq+q2
p(x+y)-q(x-y)=p2+pq+q2
माना x+y=s
x-y=t
ps+qt=p2-pq+q2 —-(1)
ps-qt=p2+pq+q2 ——(2)
2ps=2p2+2q2
2ps=2(p2+q2)
ps=p2+q2
s=p2+q2
p
x+y=p2+q2 ——-(3)
p
s का मान समीकरण (1) में रखने पर,
ps+qt=p2-pq+q2
p•p2+q2 +qt=p2-pq+q2
p
p2+q2+qt=p2-pq+q2
qt=p2-pq+q2-p2-q2
qt=-pq
t=-p
x-y=-p —– (4)
समीकरण (3)+(4) से,
x+y=p2+q2
p
x-y=-p
2x=p2+q2 – p
p 1
2x=p2+q2-p2
p
2x= q2
p
x= q2
2p
समीकरण(3) में x का मान रखने पर,
x+y=p2+q2
p
q2 +y=p2+q2
2p p
y=p2+q2 – q2
p 2p
y=2p2+2q2–q2
2p
y=2p2+q2
2p
y=p+ q2
2p
(ii) (m+n)x+(m-n)y=m2-2mn-n2 –(1)
(m+n)x+(m-n)y=(m2+n2) —(2)
स०(1)-(2)
(m+n)x+(m-n)y=m2-2mn-n2
(m+n)x+(m-n)y=(m2+n2)
y(m-n-n-m)=m2-2mn-n2-m2-n2
y(-2n)=-2mn-2n2
y=-2n(m+n)
-2n
y=m+n
y का स०(1) में मान रखने पर,
(m+n)x+(m-n)y=m2-2mn-n2
(m+n)x+(m-n)(m+n)=m2-2mn-n2
(m+n)x+m2-n2=m2-2mn-n2
(m+n)x=m2-2mn-n2-m2+n2
(m+n)x=-2mn
x=-2mn
m+n
38. निम्नलिखित समीकरण युग्मों में जिस समीकरण युग्म का एकमात्र हल है उसका हल निकाले ं|
(i)10x+35/2y=25
4x+7y=10
Ans
a=10, b=35/2, c=25
d=4, e=7, f=10
10 = 35/2 = 25
4 7 10
5 = 5 = 5
2 2 2
a = b = c
d e f
अनगिनत हल
(ii) 3x-5y=25
7x+2y=15
Ans.
a=3, b=-5, c=25
d=7, e=2, f=15
3 =/ -5 =/ 25
7 2 15
a =/ b
d e
3x-5y=25 ——(1)
7x+2y=15 ——-(2)
स०(1)×2+(2)×5
6x-10y=50
35x+10y=75
41x =125
x=125/41
Put the value of x in eq-(1)
3x-5y=25
3• 125 -5y=25
41
375 -25=5y
41
375-1025 =5y
41
-650 =5y
41
-650=41•5y
-650=205y
y=-650/205
y=-130/41
(iii) 3x+2y=1
2x+4/3y=2/3
Ans.
a=3, b=2, C=1
d=2, e=4/3, f=2/3
3 = 2 = 1
2 4/3 2/3
3 = 3 = 3
2 2 2
a = b = c
d e f
अनगिनत हल
(iv) x-3y=3
3x-9y=2
a=1, b=-3, c=3
d=3, e=-9, f=2
1 = -3 =/ 3
3 -9 2
1 = 1 =/ 3
3 3 2
a = b =/ c
d e f
कोई हल नहीं अविरोधी
(v) 3u-5v=20
6u-10v=40
a=3, b=-5, c=20
d=6, e=-10, f=40
3 = -5 = 20
6 -10 40
1 = 1 = 1
2 2 2
a = b = c
d e f
अनगिनत हल
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