प्रश्नावली-1C
1. रिक्त स्थानों की पूर्ति करें:-
(i) भागफलxभाजक+शेषफल=………..
Ans. भाज्य
(ii) भाग एल्गोरिदम में शेषफल या तो शून्य होगा या शेषफल का घात <………
Ans. भाजक का घात
(iii) (7yq-4y2)÷2y=……..
Ans. 2y)7y3-4y2(7y2-2y
7y3 2
x -4y2
-4y2
xxx
(iv) यदि P(x)=5×2+3x+1 में q(x)=2x से भाग दिया जाए तो भागफल का घात=…………..
Ans. 2x)5×2+3x+1(5x+3
5×2 2 2
x 3x
3x
1
घात=1
(v)यदि P(x)=q(x)•g(x)+r(x), q(x)=/0 का घात>p(x) का घात, तो r(x)=…………..
Ans. P(x)
2. प्रत्येक में q(x) से p(x) में भाग दें एवं भाग एल्गोरिदम को सत्यापित करें, जहाँ
(i) p(x)=2×2+3x+1, q(x)=x+2
Ans. x+2)2×2+3x+1(2x-1
-2×2+4x
-x+1
– -x-2
3
भाज्य=भाजकx भागफल+शेष
2×2+3x+1=(x+2)(2x-1)+3
=2×2-x+4x-2+3
=2×2+3x+1 proved
(ii)p(x)=x4-5x+3x+6, q(x)=2-x2
Ans.
-x2+2)x4-5x+3x+6(-x2-2
– x4-2×2
2×2-5x
– 2×2-4
-5x+6+4=-5x+10
भाज्य=भाजकx भागफल+शेष
x4-5x+6=-x2+2(-x2-2)+(-5x+10)
=x4+2×2-2×2-4-5x+10
=x4-5x+6
(iii) p(x)=x4+2×3+3×2+2x+20, q(x)=x2+2x+2
Ans.
x2+2x+2)x4+2×3+3×2+2x+20(x2+1
– x4+2×3+2×2
x2+2x+20
-x2+2x+2
18
भाज्य=भाजकx भागफल+शेष
x4+2×3+3×2+2x+20=(x2+2x+2)•(x2+1)+18
=x4+2×3+2×2+x2+2+18
=x4+2×3+3×2+20
(iv) p(y)=y6+3y2+10, q(y)=y3+1
Ans.
y3+1)y6+3y2+10(y3-1
– y6+y3
-y3+3y2
– -y3-1
3y2+1+10=3y2+11
भाज्य=भाजकx भागफल+शेष
y6+3y2+10=(y3+1)•(y3-1)+3y2+11
=y6-y3+y3-1+3y2+11
=y6+3y2+10
(v) p(x)=3×3+x2+2x+5, q(x)=1+2x+x2
Ans.
x2+2x+1)3×3+x2+2x+5(3x-5
– 3×3+6×2+3x
-5×2-x+5
– -5×2-10x-5
9x+10
भाज्य=भाजकx भागफल+शेष
3×3+x2+2x+5=(x2+2x+1)•(3x-5)+9x+10
=3×3-5×2+6×2-10x+3x-5+9x+10
=3×3+x2-7x-5+9x+10
=3×3+x2+2x-5+9x+10
=3×3+x2+2x-5+10
=3×3+x2+2x+5
(vi) p(x)=3×2-x3-3x+5, p(x)=x-1-x2
Ans.
-x2+x-1)-x3+3×2-3x+5(x-2
– -x3+x2-x
2×2-2x+5
– 2×2-2x+2
3
भाज्य=भाजकx भागफल+शेष
-x3+3×2-3x+5=(-x2+x-1)•(x-2)+3
=-x3+x2-x+2×2-2x+2+3
=-x3+3×2-3x+5
2.(a) जांचे कि क्या निम्नलिखित से प्रत्येक में प्रथम बहुपद द्वितीय बहुपद का गुणनखण्ड है।
(i)x2-x+1, x3+4
Ans. x2-x+1)x3+4(x+1
– x3-x2+x
x2-x+4
– x2-x+1
3
नहीं, शून्यक नहीं है।
(ii)2×2-3x+2, 4×4-x2+4
Ans. 2×2-3x+2)4×4-x2+4(2×2+3x+2
– 4×4-6×3+4×2
6×3-5×2+4
– 6×3-9×2+6x
4×2-6x+4
– 4×2-6x+4
xxx
हाँ, शून्यक है।
(iii) x+1, x4+1
Ans. x+1)x4+1(x3-x2+x-1
– x4+x3
-x3+1
– -x3-x2
x2+1
– x2+x
-x+1
– -x-1
2
नहीं, शून्यक नहीं है।
(iv) t2-3, 2t4+3t3-2t2-9t-12
Ans.
t2-3)2t4+3t3-2t2-9t-12(2t2+3t+4
– 2t4-6t2
3t3+4t2-9t
– 3t3-9t
4t2-12
– 4t2-12
xx
हाँ, शून्यक है।
(v) y2-3y+1, y5-4y3+y2+3y+1
Ans.
y2-3y+1)y5-4y3+y2+3y+1(y3+3y2+4y+10
– y5-3y4+y3
3y4-5y3+y2
– 3y4-9y3+3y2
4y3-2y3+3y
– 4y3-12y2+4y
10y2-y+1
– 10y2-30y-10
29y-9
नहीं, शून्यक नहीं है।
(b)यदि P(x)=x2+x+1 तो बहुपद q(x) निकाले ं ताकि P(x)•q(x)=x3-1
Ans. P(x)•q(x)=x3-1
(x2+x+1)•q(x)=x3-1
q(x)= x3-1
x2+x+1
x2+x+1)x3 -1(x-1
x3+x2+x
-x2-x-1
-x2-x-1
xxx
दूसरा बहुपद=x-1
4.(i) बहुपद x5+x4+x3+x2+2x+2 में q(x) से भाग देने पर भागफल x2+x+1 और शेषफल x+1 आता है, तो q(x) मालूम करें।
Ans.
भाज्य=x5+x4+x3+x2+2x+2
भागफल=x2+x+1
शेष=x+1
भाज्य=भाजकxभागफल+शेष
x5+x4+x3+x2+2x+2=भाजक•x2+x+1+x+1
x5+x4+x3+x2+2x+2-x-1=भाजक•x2+x+1
x5+x4+x3+x2+x+1=भाजक•x2+x+1
x2+x+1) x5+x4+x3+x2+x+1(x3+1
x5+x4+x3
xxx x2+x+1
x2+x+1
0
भाजक=x3+1
(ii) किसी बहुपद P(x) में (x3+1) से भाग देने पर भागफल x और शेषफल 2×2-x+1 बचता है, तो P(x) ज्ञात करें।
Ans.
भाजक=x3+1
भागफल=x
शेषफल=2×2-x+1
भाज्य=भाजकx भागफल+शेष
P(x) =x4+2×2+1
5. बहुपद 2×3+x2-6x-3 के सभी शून्यक ज्ञात कीजिए यदि इसके दो शून्यक -√3 और √3 हों।
Ans.
-√3 और √3 बहुपद 2×3+x2-6x+3 के शून्यक है
(x+√3)•(x-√3)
=x2-3
x2-3) 2×3+x2-6x-3(2x+1
2×3 -6x
X x x2-3
x2-3
X
2×3+x2-6x-3
(x2-3)(2x+1)
x2-(√3)2(2x+1)
(x+√3)•(x-√3)(2x+1)
x+√3=0 x-√3=0 2x+1=0
x=-√3 x=0 2x=-1
x=-1/2
6.(i) यदि बहुपद 2×2-3×3-3×2+6x-2 के दो शून्यक √2 और -√2 हों तो शेष शून्यकों को ज्ञात करें।
Ans.
√2 और -√2 बहुपद 2×4-3×3-3×2+6x-2 के शून्यक है।
(x-√2)(x+√2)
=x2-2
x2-2) 2×4-3×3-3×2+6x-2(2×2-3x+1
2×4 -4×2
-3×3+x2+6x
-3×3 +6x
x2-2
x2-2
X
2×4-3×3-3×2+6x-2
(x2-2)(2×2-3x+1)
(x2-2)(2×2-2x-x+1)
(x2-2)2x(x-1)-1(x-1)
(x2-2)(2x-1)(x-1)
2x-1=0 x-1=0
2x=1 x=1
x=1/2
(ii) यदि बहुपद x4+2×3-17×2-18x+72 के दो शून्यक 2 और -4 हो, तो शेष शून्यकों को ज्ञात करें।
Ans.
2 और -4, x4+2×3-17×2+72 के शून्यक है
(x-2)(x+4)=x2+4x-2x-8=x2+2x-8
x2+2x-8) x4-2×3-17×2-17x+72(x2-9
x2-2×3-8×2
-9×2-18x+72
-9×2-18x+72
X
x4-2×3-17×2-18x+72
(x2+2x-8)(x2-9)
x2-(3)2
(x+3)(x-3)
x+3=0 x-3=0
x=-3 x=3
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