•विविध प्रश्नावली•
1.भाज्य a और भाजक b के लिए a=bq+r में r के लिए कौन-सा सत्य है?
(a)0_<r_<b (b)0_<r<b
(c)0_<r<b (d)r>b
Ans.(c)
2. निम्नलिखित में कौन अपरिमेय नहीं है?
(a)π (b)√7 (c)√2 (d) 3√75
√5 √48
Ans.(d)
3. निम्नलिखित में कौन-सा भिन्न का दशमलव प्रसार सांत होगा?
(a) 17 (b) 77 (C) 15 (d) 3
105 210 88 160
Ans. (d)
4. 2 और 3 के अतिरिक्त कोई अभाज्य संख्या अवश्य ही 6k+1 या………. रूप का होगा।
Ans. 6k+5
5. यदि भिन्न P/q में q, (2)7x(5)5 के रूप का हो, तो भिन्न का दशमलव प्रसार……… होगा।
Ans. सांत
6.यदि भिन्न P/q में q, (6)nx(5)m के रूप का और p, (3)n के रूप का हो, तो भिन्न का दशमलव प्रसार……… होगा।
Ans. सांत
7.(i)√20 एक………. संख्या है।
Ans. अपरिमेय
(ii) π एक……….. संख्या है।
Ans. अपरिमेय
8. संख्या 2.012012..एक…….संख्या है।
Ans. परिमेय
9.एक मिठाई विक्रेता के पास 420 काजू बर्फी एवं 130 बादाम बर्फी है। यह मिठाई का ढेर(Stack) एक ट्रेन में इस प्रकार लगाना चाहता है कि ढेर में मिठाई समान संख्या में हो एवं ट्रेन में न्यूनतम जगह ले सके। प्रत्येक ढेर में मिठाई की कितनी संख्या रखी जा सकती हैं।
Ans. a=bq+r
420=130×1+110
130=110×1+20
110=20×5+10
20=10×2+0
HCF=10
10. एक सेना के सेवादल जिसमें 616 सदस्य है, को एक प्रदर्शन में 32 सदस्यों के सेना बैंड के पीछे मार्च करना है। दोनों समूहों को समान संख्या वाले स्तंभों में मार्च करना है। स्तंभों की अधिकतम क्या होगी जिसमें वे मार्च कर सकते हैं।
Ans. a=bq+r
616=32×19+8
32=8×4+0
HCF=8
11. एक खेल के मैदान के चारों ओर(around) एक वृत्ताकार पथ है जबकि रवि को 12 मिनट लगते हैं।
यह मानते हुए कि दोनों एक ही बिंदु से चक्कर लगाना प्रारंभ करते हैं एवं एक ही दिशा में जलाते हैं। यह पता लगाएं कि दोनों प्रारंभिक बिंदु पर कितने मिनट बाद मिलेंगे।
Ans. 2|18,12
3| 9,6
3,2
LCM=2x3x3x2=36
12. दो पात्रों में 504 लीटर और 735 लीटर दूध है। पात्र की महत्तम धारिता क्या होगी, जो दोनों पात्रों के दूध को पूर्ण रूप से माप सके?
Ans. a=bq+r
735=504×1+231
504=231×2+42
231=42×5+21
42=21×2+0
इसिलिए HCF=21
13. सिद्ध करें कि दो विषम पूर्णांकों का गुणनफल अवश्य ही विषम होगा।
Ans. माना कि x और y दो विषम पूर्णांक है। तो साबित करता है कि x,y के विषम मानों के लिए
x•y= विषम संख्या
3×5=15 (x=3,y=5)
5×7=35 (x=5, y=7)
9×11=99 (x=9, y=11)
13×15=195 (x=13, y=15)
इस प्रकार हम देखते हैं कि सभी विषम मान के लिए x•y= विषम संख्या अत: दो विषम पूर्णांकों का गुणनफल विषम होता है।
14. सिद्ध करें कि किसी धन पूर्णांक, जो 5k+1 के रूप का है, का वर्ग भी उसी रूप का होता है।
Ans. माना कि धनात्मक पूर्णांक a है, तो यूक्लिड भाग लेमा से,
a=bq+r, 0_<r<b
b=5 रखने पर a=5q+r, 0_<r<5
अब 0_<r<5 =>r=0,1,2,3,4
अतः a=5q+0=5q, या a=5q+1
या a=5q+2
Squaring on both sides
(a)2=25q2=5(5q2)=5u जहाँ u=5q2
(a)2=(5q+1)2=25q2+10q+1=5(5q2+2q)+1
=5v+1 जहाँ v=5q2+2q=पूर्णांक
अथवा (a)2=(5q+2)2=25q2+20q+4
5(5q2+4q)+1=5w+1
जहाँ 5q+4q=w=y= पूर्णांक
अतः पूर्णांक जो 5k+1 के रूप का है उसका वर्ग भी उसी रूप का होता है।
15. निम्नलिखित संख्याएँ रूढ़िवादी या यौगिक, सरकारी बताएं।
(i)7x11x13+13
Ans. 7x11x13+13
=13(7×11+1)
=13(77+1)
=13×78
=1014
योगिक क्योंकि अपने को छोड़कर दूसरे संख्या से विभाजित है।
(ii)7x6x5x4x3x2x1+5
Ans. 7x6x5x4x3x2x1+5
=5(7x6x4x3x2x1+1)
=5(1008+1)
=5(1009)
=5045
योगिक क्योंकि अपने को छोड़कर दूसरे संख्या से विभाजित है।
(ii) 2x3x4x5+7
Ans. 2x3x4x5+7
=120+7
=127
रूढ क्योंकि अपने को छोड़कर दूसरे संख्या से नहीं विभाजित है।
16. निम्नलिखित संख्याओं के दशमलव प्रसार ज्ञात करें-
(i) 7 =0.0875
80
Ans. 80)700(0.0875
640
X600
560
X400
400
XXX
(ii) 37 =0.216
125
Ans. 125)370(0.216
250
x200
125
x750
750
Xxx
(iii) 19 =19 =0.29685
(4)3 64
Ans. 64)190(0.29685
128
620
576
440
384
560
512
480
480
320
320
xxx
(IV)14588 =23.3408
628
Ans. 625)14588(23.3408
1250
2088
1875
2130
1875
2550
2500
5000
5000
xxxx
(V) 1 =0.142857
7
Ans. 7)10(0.142857
7
30
28
20
14
60
56
40
35
50
49
10
17.सिद्ध करें कि √7 अपरिमेय संख्या है।
Ans. माना कि √7, एक परिमेय संंख्या p है।
या √7=p ……. (i)
यहाँ, p, दो परिमेय संख्याओं का अंतर होने के कारण परिमेय संख्या है।
इसिलिए (i) से परिमेय संख्या=अपरिमेय संख्या जो असंभव है। अतः हमारी मान्यता गलत है।
अर्थात ् √7 परिमेय संख्या नहीं है। इसलिए अपरिमेय संख्या है।
18.0.666…. को परिमेय संख्या के सरल रूप में व्यक्त करें-
Ans. माना x=0.6666….. .. (1)
दोनों ओर 10 से गुणा करने पर,
10x=6.6666……. ..(2)
समी०(1)-(2)
10x-x=6.6666-0.6666
9x=6
x=6/9
या x=2/3
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