•वास्तविक संख्या•
प्रश्नावली-1A
1.रिक्त स्थानों की पूर्ति करें-
(i)यदि b=ac तो b, a का…….. है।
Ans. गुणज
(ii)यदि भाग एल्गोरिदम a=bq+r में a=72, b=9तो r=…….
Ans. a=bq+r
72=9×8+0
r=0
(iii)यदि भाग एल्गोरिदम a=bq+r में b=4, q=5, r=1 तो a=……….
Ans. a=bq+r
a=4×5+1
a=20+1=21
(iv)यदि भाग एल्गोरिदम a=bq+r में a=37, b=4, r=1 तो q=…………
Ans. a=bq+r
37=4q+1
37-1=4q
36=4q
q=36/4
q=9
(V)92=12×7+8, तो म०स०(92, 12)=म०स०(12,…..) =……..
Ans. a=bq+r
92=12×7+8
12=8×1+4
8=4×2+0
8,4 क्रमशः
(Vi)यदि 42=35×1+7, 35=7×5+0, तो म०स०(42, 35)=7
2.यदि एल्गोरिदम a=bq+r का q और r बताएं यदि
(i)a=10, b=3
Ans. a=bq+r
10=3×3+1
a=10 लाने के लिए q=3 तथा r=1 होगा।
(ii)a=4, b=19
Ans. a=bq+r
4=19×0+4
a=4 लाने के लिए q=0 तथा r=4 होगा।
(iii)a=81, b=3
Ans. a=bq+r
81=3×27+0
a=81 लाने के लिए q=27 तथा r=0 होगा।
(Iv)a=27, b=2
a=bq+r
27=2×13+1
a=27 लाने के लिए q=13तथाr=1 होगा।
3.यूक्लिडियन एल्गोरिदम के प्रयोग से निम्नलिखित के म०स० ज्ञात करें-
(i)252 और 1540
Ans. a=bq+r
1540=252×6+28
252=28×9+0
म०स०(1540,252)=म०स०(252,28)=म०स०=28
(ii)196 और 38220
Ans. a=bq+r
38220=196×195+0
म०स०(38220,196)=म०स०=196
(iii)365 और 12450
Ans. a=bq+r
12450=365×34+40
365=40×9+5
40=5×8+0
म०स०(12450,365)=म०स०(365,40)=म०स०(40,5)=म०स०=5
(iv)135 और 225
Ans. a=bq+r
225=135×1+90
135=90×1+45
90=45×2+0
म०स०(225,135)=म०स०(135,90)=म०स०(90,45)=म०स०=45
(V)12576 और 4052
Ans. a=bq+r
12576=4052×3+420
4052=420×9+272
420=272×1+148
272=148×1+124
148=124×1+24
124=24×5+4
24=4×6+0
म०स० (12576, 4052) =म०स० (4052, 272) =म०स०(420, 272) =म०स० (272,148) =म०स० (148,124)=म०स०(124, 24) =म०स० (24,4)=म०स०=4
(Vi)455 और 42
Ans. a=bq+r
455=42×10+35
42=35×1+7
35=7×5+0
म०स० (455, 42) =म०स० (42, 35) =म०स० (35, 7) म०स०=7
4.(i) दिखाएं कि धनात्मक विषम पूर्णांक 4q+1या 4q+3 के रूप का होता है;जहाँ q एक पूर्णांक है। फिर दिखाएं कि धनात्मक विषम पूर्णांक का वर्ग 8m+1 रूप का होता है, जहाँ m एक पूर्णांक है।
Ans.भाग एल्गोरिदम से a और b धनात्मक
पूर्णांकों के लिए a=bq+r, जहाँ 0_<r<b इस संबंध में b=4 रखने पर किसी
q_>0 के लिए
a=bq+r 0_<r<4
0_<r<4 => r=0,1,2,3
चूंकि विषम संख्या साबित करना है।
इसलिए r=1, 3 लेने पर
a=4q+1, या a=4q+3 या a=4q+5
अर्थात ् एक धनात्मक विषम पूर्णांक 4q+3 के रूप का है, जहाँ q एक पूर्णांक है।
(ii) दिखाएं कि किसी धन पूर्णांक का वर्ग 4m+2या 4m+3 रूप का नहीं होगा। अथवा, दिखाएं कि किसी धन पूर्णांक का वर्ग 4m या 4m+1 रूप का होता है।
Ans. माना कि धनात्मक पूर्णांक a है, तो
यूक्लिड के भाग लेमा से,
a=bq+r 0_<r<b
b=4 रखने पर
a=4q+r, 0_<r<4
0_<r<4 =>r=0,1,2,3
a=4q+0=4q या 4q+1
a=4q+2 या a=4q+3
a=4q+2 दोनों तरफ वर्ग करने पर
(a)2=(4q+2)2=16q2+16q+4=4(q2+4q+1)
अत: धन पूर्णांक का वर्ग 4q+2 या 4q+3के रूप का नहीं होगा।
(a)2=(4q)2=16q2=(4u2)=4u जहाँ 4u2=u पूर्णांक
a2=(4q+1)2=16q2+8q+1
=8(q2+q)+1=8P+1 जहाँ q2+q=P=पूर्णांक संख्या
(iii)दिखाएं कि एक पूर्णांक के वर्ग में यदि 4 से भाग दिया जाए तो शेष 0 अथवा 1 बचेगा।
Ans. माना कि a एक धनात्मक पूर्णांक है तो यूक्लिड
के भाग लेमा से,
a=bq+r, 0_<r<b
b=4 रखने पर
a=4q+r r<4 r=0,1,2,3
a=4q+0=4q
a=4q+1 a=4q+2
दोनों तरफ वर्ग करने पर
(a)2=(4q)2=16q2=4(4q2)=4u जहाँ 4q2=vपूर्णांक
(a)2=(4q+1)2=16q2+8q+1=8(2q2+1)+4
=16w+4 (जहाँw=q2+q)
(a)2=(4q+3)2=16q2+24q+9=8(2q2+3q)+9
8N+9 जहाँ 2q2+3q=N=पूर्णांक
अत: पूर्णांक के वर्ग में यदि 4 से भाग दिया जाए तो शेषफल 0 या 1 बचेगा।
(iv)सिद्ध करें कि कोई धन पूर्णांक 6k या 6k+1 या 6k+2 या 6k+3 या 6k+4 या 6k+5 के रूप में लिखा जा सकता है।
Ans.माना कि a एक धन पूर्णांक है तो भाग लेमा सेे,
a=bq+r जहाँ 0_<r<b
b=3 रखने पर
b=3q+r जहाँ, 0_<r<b अर्थात ् r=0,1,2
a=3q, 3q+1, 3q+2
(q)3=(3q)3=27q3
(3q+1)3=(3q)3+3•(3q)(3q)•1+3•3q•1×1
=27q3+27q2+9q+1
(3q+2)3=(3q)3+3•(3q)•(3q)•2+3•3q•2x2x2
+2x2x2
=27q3+54q2+36q+8
=9(3q3+6q2+4q)+8
9w+8 जहाँ w=3q3+6q+4q
27q3=9(3q3)=9u जहाँ 3q3=u
27q3+27q2+9q+1
9(3q3+3q+q) +1=9v+1 जहाँ3q3+3q2+q=v
अत: 6k या 6k+1 या 6k+2 या 6k+3 या 6k+4 या 6k+5 के रूप में लिखा जा सकता है।
(v)सिद्ध करें कि दो 4q+1 रूप के पूर्णांक का गुणनफल भी उसी रूप का होगा।
Ans. भाग एल्गोरिदम से a और b धनात्मक पूर्णांक के लिए, a=q+r जहाँ 0_<r<b
इसमें b=4 रखने पर किसी q_>0 के लिए
a=2q+r 0_<r<4
a=4q+0=4q
a=4q+1
a=2q =>a एक सम पूर्णांक है।
a=2q+1 =>a एक विषम पूर्णांक है
गुणनफल
(2q+1)(2q+1)=(2q+1)2
4q2+4q+1=4(q2+q) +1
=4u+1=पूर्णांक जहाँu=q2+q है।
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