•बहुपद•
प्रश्नावली-1A
1. रिक्त स्थानों की पूर्ति करें-
(i) एक वास्तविक संख्या a बहुपद P(x) का शून्यक होगा। यदि P(a)=…………….
Ans. 0
(ii) 2×2-3x-5 का शून्यक…………. है।
Ans. -1
(iii) 3×2-5x+7 के शून्यक का योग=……… तथा गुणनफल=……….
Ans. 5/3, 7/3 क्रमशः
(iv) ax2+bx+c=…….. (x-a)(x-b), जहाँ a, b ax2+bs+c के शून्यक है।
Ans. a
(v) यदि ax2+bx+c के शून्यक a, b तो a+b=……. a•b=………
Ans. -b/a, c/a क्रमशः
(vi)a, b, y बहुपद ax3+bx2+cx+d के शून्यक हों तो a•b+b•y+a•y=……..
Ans. c/a
(vii) यदि a, b, y बहुपद x3-7×2+5x+9 के शून्यक हो तो a•b•y=…..
Ans. -9
2. यदि बहुपद P(x)=ax2-3(a-1)x-1 का एक शून्यक 1 है, तो a का मान ज्ञात कीजिए।
Ans. p(x)=ax2-3(a-1)x-1
p(1)=a•(1)2-3(a-1)•1-1=0
a-3a+3-1=0
-2a+2=0
-2a=-2
a=1
3. निम्नलिखित द्विघात बहुपदों के शून्यक ज्ञात करें एवं शून्यकों और गुणांकों के बीच संबंध को सत्यापित करें-
(i)y2-3
Ans. y2-3=0
y2-(√3)2=0
(y+√3)(y-√3)=0
y+√3=0 y-√3=0
y=-√3 y=√3
शून्यकों का योग=√3+(-√3)=0=-(x का गुणांक)
1 x2 का गुणांक
शून्यकों का गुणनफल=√3x(-√3)=-3= अचर पद
1 x2 का गुणांक
(ii) x2-15
Ans. x2-15=0
y2-(√15)2=0
(y+√15)(y-√15)=0
y+√15=0 y-√15=0
y=-√15 y=√15
शून्यकों का योग=√15+(-√15)=0=-(x का गुणांक)
1 x2 का गुणांक
शून्यकों का गुणनफल=√15x(-√15)=-15= अचरपद
1 x2 का गुणांक
(iii) 4s2+8s
Ans. 4s2+8s=0
4s(s+2)=0
4s=0 s+2=0
s=0/4 s=-2
s=0
शून्यकों का योग=0+(-2)=-2=-(s का गुणांक)
1 s2 का गुणांक
शून्यकों का गुणनफल=0x(-2)=0= अचर पद
4 s2 का गुणांक
(iv) 2×2-8x+6
Ans. 2×2-8x+6=0
2×2-6x-2x+6=0
2x(x-3)-2(x-3)=0
(2x-2)(x-3)=0
2x-2=0 x-3=0
2x=2 x=3
x=1
शून्यकों का योग=3+1=4=-(x का गुणांक)
1 x2 का गुणांक
शून्यकों का गुणनफल=3×1=3= अचर पद
1 x2 का गुणांक
(v) 3y2+5y-2
Ans. 3y2+5y-2=0
3y2+6y-y-2=0
3y(y+2)-1(y+2)=0
(3y-1)(y+2)=0
3y-1=0 y+2=0
3y=1 y=-2
y=1/3
शून्यकों का योग=1+(-2)=1-6=-5 =-(x का गुणांक)
3 1 3 3 x2 का गुणांक
शून्यकों का गुणनफल=-2x1=-2 = अचर पद
3 3 x2 का गुणांक
(vii) t2+7t+10
Ans. t2+7t+10=0
t2+5t+2t+10=0
t(t+5)+2(t+5) =0
(t+5)(t+2)=0
t+5=0 t+2=0
t=-5 t=-2
शून्यकों का योग=(-5)+(-2)=-7=-(x का गुणांक)
1 x2 का गुणांक
शून्यकों का गुणनफल=(-5)x(-2)=10= अचर पद
1 x2 का गुणांक
(viii)3×2-x-4
Ans. 3×2-x-4=0
3×2+3x-4x-4=0
3x(x+1)-4(x+1)=0
(3x-4)(x+1)=0
3x-4=0 x+1=0
3x=4 x=-1
x=4/3
शून्यकों का योग=4+(-1)=4-3=-1 =-(x का गुणांक)
3 1 3 3 x2 का गुणांक
शून्यकों का गुणनफल=-1x4= -4 = अचर पद
3 3 x2 का गुणांक
4. प्रत्येक के लिए द्विघात बहुपद ज्ञात करें जिनके शून्यकों का योगफल और गुणनफल क्रमशः है।
(i)0, √5
Ans. शून्यकों का योगफल(a+b)=0
शून्यकों का गुणनफल(a•b)=√5
x2-(a+b)x+a•b=0
x2-0•x+√5=0
x2+√5=0
बहुपद=x2+√5
(ii) -3, 2
Ans. a+b=-3
a•b=2
x2-(a+b)x+a•b=0
x2-(-3)x+2=0
x2+3x+2=0
बहुपद=x2+3x+2
(iii) 1,1
Ans. a+b=1
a•b=1
x2-(a+b)x+a•b=0
x2-1•x+1=0
x2-x+1=0
बहुपद=x2-x+1
(iv) 4,1
Ans. a+b=4
a•b=1
x2-(a+b)x+a•b=0
x2-4x+1=0
बहुपद=x2-4x+1
(V) -1 , 1
4 4
Ans.
a+b= -1/4
a•b=1/4
x2-(a+b)x+a•b=0
x2-(-1/4)x+1/4=0
x2+1/4x+1/4=0
x2+1x+1 =0
4 4
4×2+x+1 =0
4
4×2+x+1=0x4
4×2+x+1=0
बहुपद=4×2+x+1
4. द्विघात बहुपद P(x) ज्ञात करें यदि
(i) p(2)=0, p(-4 )=0 एवं p(-2)=8
3
Ans. माना द्विघात बहुपद p(x)=ax2+bx+c=0
p(2)=0 अर्थात ् p(x)= का शून्यक =2= a(माना)
तथा p(-4/3)=0 अर्थात ् p(x) का दूसरा शून्यक =-4/3=b(माना)
a+b=2+(-4 )= 6-4 =2
3 3 3
a•b=2x(-4 )=-8
3 3
p(x)=ax2+bx+c=a{x2-(a+b)x+a•b}
=a(x2-2 x-8) … (1)
3 3
प्रश्न से p(-2)=8 अत: है(1) से
p(-2)=a{(-2)2-2(-2) -8 }=8
3 3
=a{4 + 4 –8} =8= a{ 12+4-8 }=8
{1 3 3} 3
8a = 8 = 8a=24
3 1
a=24/8=3
(1) से अभीष्ट बहुपद p(x)=x2-2x+(-8 )
3 3
=3{ 3×2-2x-8 }
3
=3×2-2x-8
(ii) p(3)=0, p(4 )=0 एवं p(1)=-6
7
Ans. माना द्विघात बहुपद p(x)=ax2+bx+c=0
p(3)=0 अर्थात ् p(x)= का शून्यक =3= a(माना)
तथा p(4/7)=0 अर्थात ् p(x) का दूसरा शून्यक =4/3=b(माना)
a+b=3+(4 )= 21+4 =25
7 7 7
a•b=3x(4 )= 12
7 7
p(x)=ax2+bx+c=a{x2-(a+b)x+a•b}
=a(x2-25 x+12) … (1)
7 7
प्रश्न से p(1)=-6अत: है(1) से
p(-2)=a{(1)2-25(1) + 12 }=-6
7 7
= a{ 7-25+12 }=-6
7
=a(-6 )=-6
7
ax(-6)=-6×7
a=7
(1) से अभीष्ट बहुपद p(x)=x2-25x+( 12 )
7 7
=7{ 7×2-25x+12 }
7
=7×2-25x+12
(iii) उसके शून्यक 7 और -5 हों एवं अचर पद 70 हों या p(7)=0, p(-5)=0औरp(0)=70
Ans. P(7)=0 , p(x) का एक शून्यक=7=a(माना)
P(-5)=0, p(x) का एक शून्यक=-5=b(माना)
a+b=7+(-5)=2
a•b=7x(-5) =-35
p(x)=ax2+bs+c=a{x2-(a+b)x+a•b}
=a(x2-2x-5) …. (1)
P(0)=70, समी(1) से
P(0)=a{(0)2-2×0+(-35)}=70
=>a•(-35)=70
-35a=70
a= 70
-35
a=-2
So, (1) से P(x)=-2(x2-2x-35)
-2×2+4x+70
6.(i) सत्यापित करें कि 2,1,1 त्रिघाती बहुपद x3-4×2+5x-2 के शून्यक है। शून्यकों और गुणाकों के बीच संबंध भी सत्यापित करें।
Ans. P(x) =x3-4×2+5x-2
P(2) =(2)3-4(2)2+5(2)-2
=8-16+10-2=18-18=0
P(1)=(1)3-4(1)2+5(1) -2
=1-4+5-2=6-6=0
P(1)=(1)3-4(1)2+(1)-2
=1-4+5-2=0
अतः 2,1,1 P(x) के शून्यक है।
शून्यकों का योगफल=2+1+1=4= – x2 का गुणांक
1 x3 का गुणांक
दो दो करके लेने पर शून्यकों के गुणनफलों का योग
=2×1+1×1+1×2=2+1+2= 5 = x का गुणांक
1 x3 का गुणांक
शून्यकों का गुणनफल=2x1x1= 2 = -(अचर पद )
1 x3 का गुणांक
(ii) सत्यापित करें कि 4,-2, 1 त्रिघाती बहुपद 2
2y3-5y2-14y+8 के शून्यक है। शून्यकों और गुणाकों के बीच संबंध भी सत्यापित करें।
Ans. P(y) =2y3-5y2-14y+8
P(4) =2x(4)3-5(4)2-14(4)+8
=2×64-5×16-14×4+8
=128-80-56+8
=136-136=0
P(-2)=2(-2)3-5(-2)2-14(-2)+8
=2(-8)-5(4)+14(2)+8
=-16-20+28+8=36-36=0
P( 1 )=2( 1 )3-5( 1 )-14x 1 +8
(2) (2) (2) (2)
=2x 1 -5x 1 -14x 1 +8 = 1 – 5 – 7+8
8 4 2 4 4
= 1-5 -7+8=-4 -7+8=-1-7+8=8-8=0
4 4
So, 4,-2, 1/2 P(y) शून्यक है।
शून्यकों का योगफल=4-2+1=5= – y2 का गुणांक
2 2 y3 का गुणांक
दो दो करके लेने पर शून्यकों के गुणनफलों का योग
=4x-2+4x1+1x2
2 2
=-8+2-1=-7= -14 = -y का गुणांक
2 y3 का गुणांक
शून्यकों का गुणनफल=4x-2x-1= -4 = -(अचर पद )
2 1 y3 का गुणांक
(iii) सत्यापित करें कि 3,-1, -1 त्रिघाती बहुपद
3
3z3-5z2-11z-3 के शून्यक है। शून्यकों और गुणाकों के बीच संबंध भी सत्यापित करें।
Ans. P(y) =3z3-5z2-11z-3
P(3) =3x(3)3-5(3)2-11(3)-3
=2×27-5×9-11×3-3
=81-81=0
P(-1)=3(-1)3-5(-1)2-11(-1)-3
=-3-5+11-3=11-11=0
P(- 1 )=3( 1 )3-5( 1 )-11x 1 -3
(3) (-3) (-3) (-3)
=2x 1 -5x 1 +11x 1 -3 = 1 – 5 +11–3
-27 9 3 -9 9 3 1
= -1-5+33-27=-33+33=0/9=0
9 9
So, 3,-1, -1/3 P(z) शून्यक है।
शून्यकों का योगफल=3-1-1=5= – z2 का गुणांक
3 3 z3 का गुणांक
दो दो करके लेने पर शून्यकों के गुणनफलों का योग
=3x-1+3x-1-1x-1
3 3
=-3-1+1= -11 = -z का गुणांक
3 3 z3 का गुणांक
शून्यकों का गुणनफल=3x-1x-1= 1 = -(अचर पद )
3 1 z3 का गुणांक
7.(i) एक त्रिघाती बहुपद ज्ञात करें जिनके शून्यकों का योग 3,शून्यकों के दो-दो करके लेकर प्राप्त गुणनफलों का योग=-5 और शून्यकों का गुणनफल=-10 है।
Ans. बहुपद=x3-(शून्यकों का योग)x2+(दो-दो शून्यकों का गुणनफल के योग)x- शून्यकों का गुुणनफल
=x3-3×2-5x+10
(ii) यदि बहुपद P(x)=x3+bx2+cx+d के शून्यक a, b और y हों ताकि a+b+y=-4, ab+by+ay=3 और aby=5, तो P(x) ज्ञात करें।
Ans. P(x)=x3-(a+b+y)x2+(ab+by+ay)x-aby
=x3-(-4)x2x+3x-5=x3+4×2+3x-5
8.(i) एक त्रिघाती बहुपद p(x) ज्ञात कीजिए जिसके शून्यक 3,-1 और -2 है।
Ans. बहुपद ax3+bx2+cx+d के शून्यक a, b, y
a+b+y=3+(-1)+(-2)=0=-b
1 a
ab+by+ay=3x(-1)+(-1)x(-2)+(-2)x3
=-3+2-6=-7= C
1 a
aby=3x(-1)x(-2)=6=-d
1 a
a=1, b=0, c=-7, d=-6
P(x)=a{x3-(a+b+y)x2+(ab+by+ay)x-aby}
=1{x3-0•x2-4x-6}=x3-7x-6
So, (x-3)(x+1)(x+2)
(ii) त्रिघाती बहुपद P(x) के शून्यक 2,1 और 1 है ं।
2
यदि P(-1)=18 तो बहुपद P(x) ज्ञात कीजिए।
Ans.
बहुपद ax3+bx2+cx के शून्यक a, b, y
a+b+y=2+1+1=4+2+1=7=-b
2 2 2 a
ab+by+ay=2×1+1x1+1x2=2+1+1
2 2 1 2 1
=4+1+2=7=c
2 2 a
aby=2x1x1=2=-d
2 2 a
a=2, b=-7, C=7, d=-2
P(x)=2×3+7×2+7x-2
P(-1)=18
P(-1)=a{2(-1)3-7x(-1)2+7x(-1)-2}=18
a{-2-7-7-2}=18
ax(-18)=18
a=-1
बहुपद=a{2×3-7×2+7x-2}
=-1(2×3-7×2+7x-2)
=-2×3+7×2-7x+2
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